Ubungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie¨ WS 2008/2009 - 10. Serie
10.1 Sei (G,◦) eine Gruppe und N / G ein Normalteiler in (G, ◦).
Zeigen Sie, dass die Komplexmultiplikation (N ◦a)(N ◦b) =N ◦(a◦b)
von der speziellen Auswahl von a und b unabh¨angig ist, d.h. wenn a0, b0 ∈G mit
N◦a =N ◦a0 undN ◦b=N ◦b0, dann ist
N ◦(a◦b) =N ◦(a0◦b0).
10.2 Zeigen Sie, dass die multiplikative Gruppe (Z/7·Z)∗ von Z/7·Z zyklisch ist.
Bestimmen Sie die Ordnung eines jeden Elementes dieser Gruppe und s¨amtliche erzeugende Elemente dieser Gruppe.
10.3 Sei M die Menge aller nat¨urlichen Zahlen der Artu3−umit einer ungeraden Zahl u >1:
M ={u3−u|u >1, uungerade}.
Ermitteln Sie den gr¨oßten gemeinsamen Teiler aller Zahlenn ∈M.
10.4 a) Beweisen Sie: F¨ur jede nat¨urliche Zahl a ist a2 entweder von der Form 4k oder von der Form 8k+ 1, wobei k jeweils eine nat¨urliche Zahl ist.
b) Gibt es eine n-stellige Quadratzahl mit n > 1, die aus lauter gleichen Ziffern besteht? Beweisen Sie die Antwort.
(Abgabe am 8.1.2009)
