Ubungsaufgaben Algebra und Zahlentheorie¨ WS 2008/2009 - 7. Serie
7.1 Bestimmen Sie s¨amtliche primen Restklassen modulo 9 und stellen hierf¨ur die Multiplikationstafel auf. Was bemerken Sie?
7.2 Bestimmen Sie die kleinste nat¨urliche Zahl n >3 mit 3|n, 5|n+ 2, 7|n+ 4.
7.3 Beweisen Sie: Ist a
m eine rationale Zahl undm=m1·m2·. . .·mr eine Zerlegung vonmin paarweise teilerfremde Faktoren, dann l¨asst sich a
m auf genau eine Weise in der Form
a
m =z+ a1 m1 + a2
m2 +. . .+ ar
mr (*)
mit z, a1, a2, . . . , ar ∈Z und 0≤ai < mi (i= 1, . . . , r) darstellen.
Hinweis: Beachten Sie, dass man die Gleichung (*) auch in der Gestalt a=z·m+a1· m
m1
+a2· m m2
+. . .+ar· m mr
betrachten kann!
7.4 Aus einem chinesischen Rechenbuch: Eine Bande von 17 R¨aubern stahl einen Sack mit Goldst¨ucken. Als sie die Beute in gleiche Teile teilen wollten, blieben 3 Goldst¨ucke ¨ubrig. Beim Streit dar¨uber, wer ein Goldst¨uck mehr erhalten sollte, wird ein R¨auber erschlagen. Jetzt blieben bei der Verteilung 10 Goldst¨ucke ¨ubrig.
Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein R¨auber sein Leben. Jetzt ließ sich die Beute gleichm¨aßig verteilen. Wieviel Goldst¨ucke waren mindestens im Sack?
(Abgabe am 3.12.2008)
