Ubungsaufgaben Lineare Algebra f¨ ¨ ur Physiker WS 2009/2010 - 4. Serie
4.1 Entscheiden Sie, ob folgende Mengen von VektorenM =
a1 a2 a3
; a1, a2, a3 ∈R
mit der Einschr¨ankung
a) a1 rational; b) a1 = 0; c) a2+a3 = 0; d) a1+a3 = 1;
Vektorr¨aume ¨uber dem K¨orper der reellen Zahlen sind.
Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung!
4.2 Im R3 sind die Vektoren
~a1 =
−1 2 1
, ~a2 =
1 1
−2
, ~a3 =
−3 3 4
gegeben. Bestimmen Sie f¨ur W =h~a1, ~a2, ~a3i eine Basis und die Dimension.
4.3 Sei (V, +, K) ein Vektorraum ¨uber K. Beweisen Sie:
∀~v ∈V und ∀λ∈K gilt: {λ·~v =~0 ⇒ λ = 0 oder~v =~0}
4.4 Zeigen Sie: Sei (V, +, K) ein Vektorraum ¨uber K und B ={~a1, . . . , ~an}, n >1, eine Basis von V. Dann istB∗ ={~b1, . . . ,~bn} mit
~b1 =~a1, ~bi =~ai+αi1~a1+· · ·+αi,i−1~ai−1, α1, . . . , αi−1 ∈K
f¨uri= 2, . . . , nebenfalls eine Basis f¨urV.
(Abgabe am 12.11.2009)
