Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie¨ SS 2009 - 10. Serie
10.1 Seiϕ:ε−→εeine Orthogonalstreckung der Ebeneεmit der Fixgeraden s und dem Teilverh¨altnis µ 6= 0. Beweisen Sie:
Ist g eine Gerade, die nicht parallel zusist, und g0 :=ϕ(g) das Bild von g unterϕ, dann schneiden sich s, g und g0 in einem PunktS.
10.2 Das Dreieck mit den Eckpunkten A = (−2,1), B = (8,−4), C = (7,6) soll affin auf das Dreieck mit den Eckpunkten A0 = (−11,3), B0 = (14,−2), C0 = (2,27) abgebildet werden.
a) Bestimmen Sie die Transformationsgleichungen.
b) Untersuchen Sie die Abbildung auf Fixpunkte.
10.3 Die drei nicht-kollinearen Punkte A, B, C einer euklidischen Ebeneεwerden durch eine affine Transformation ϕso abgebildet, dass
ϕ(A) =B, ϕ(B) =C, ϕ(C) =A
gilt. Es ist also ϕ(ϕ(ϕ(A))) =ϕ3(A) =A. Zeigen Sie:
a) Der Schwerpunkt des Dreiecks4(ABC) ist einziger Fixpunkt vonϕ.
b) F¨ur jeden Punkt P ∈εgiltϕ3(P) =P.
10.4 Gegeben sind in einer euklidischen Ebene ein Kreis und eine Ellipse in beliebiger Lage zueinander. Es ist analytisch und synthetisch eine affine Transformation zu bestimmen, durch die der Kreis auf die Ellipse abgebildet wird.
10.5 Beweisen Sie, dass in einer Hilbert-Ebene εfolgende Aussagen gleichwertig sind:
a) Sei 4(ABD) ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck und α=∠)(CAB) ein beliebiger spitzer Winkel, so dassC und D auf derselben Seite von g(AB) liegen. Dann schneidet der Strahl
−→
AC den Strahl
−→
BD.
b) Das Parallelenaxiom gilt inε.
(Abgabe am 25.6.2009)
