Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie ¨ SS 2009 - 5. Serie
5.1 In ein gegebenes Dreieck einer euklidischen Ebene ist ein Qua- drat so einzubeschreiben, dass auf einer Seite des Dreiecks zwei, auf den anderen Seiten des Dreiecks je ein Eckpunkt des Quadrats liegen. Geben Sie eine Konstruktionsm¨oglichkeit f¨ur das Quadrat an.
5.2 In der euklidischen Ebene sei ein Kreis kM mit dem Radius r >0, dem MittelpunktM und einem festen Punkt Aauf der Peripherie des Kreises gegeben. Welches ist der geometrische Ort der Mittelpunkte aller von A ausgehenden Sehnen des Kreises kM? Beweisen Sie ihre Aussage!
5.3 Beweisen Sie: In der euklidischen Ebene sei 4(ABC) ein Dreieck und AD die Winkelhalbierende des Winkel ∠)(BAC).
Dann sind AB und AC proportional zu BD und DC.
5.4 Beweisen Sie: In jeder dreiseitigen Pyramide ∆(ABCD) des euklidischen Rau- mes gibt es eine Ecke, so dass man aus den drei Kanten, die von dieser Ecke ausgehen, ein Dreieck bilden kann.
5.5 Eine projektive Ebeneist eine Menge von Punkten und Teilmengen (Geraden), die den Axiomen (P1) - (P4) gen¨ugt:
(P1) Je 2 verschiedene Punkte liegen auf genau einer Geraden.
(P2) Je 2 Geraden schneiden sich in mindestens einem Punkt.
(P3) Jede Gerade enth¨alt mindestens 3 Punkte.
(P4) Es gibt 3 nicht-kollineare Punkte.
Zeigen Sie: Jede projektive Ebene besitzt mindestens 7 Punkte und es gibt ein Model einer projektiven Ebene mit genau 7 Punkte.
(Abgabe am 14.5.2009)
