Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie ¨ SS 2009 - 12. Serie
12.1 Sei Γ ein Kreis mit dem Radius r > 0 und dem Mit- telpunkt M und α = ∠)(BAC) ein Winkel im Innern des Kreises Γ mit A 6= M im euklidischen Sinn. ϕΓ sei eine Inversion am Kreis Γ, ϕΓ(g(A, B)) = kB und ϕΓ(g(A, C)) = kC, wobei kB und kC Kreise durch den Mittelpunkt M von Γ und dem weiteren gemeinsamen PunktA0 =ϕΓ(A)6=M sind.ϕΓ(α) ist dann der Winkel zwischen den Tangenten von kB und kC im Punkt A0. Beweisen Sie: ϕΓ(α)∼=α im euklidischen Sinn.
12.2 Zeigen Sie: Im Poincar´e-Modell der hyperbolischen Geo- metrie seiengundhparallele Geraden, die auch auf dem Randkreis Γ keinen Punkt gemeinsam haben. Dann ha- beng undhein eindeutig bestimmtes gemeinsames Lot.
12.3 Beweisen Sie: Bei einer Punktspiegelung ϕP : Ω−→Ω des euklidischen Raumes ist das Bild einer Ebene ε eine zu ε parallele Ebene oder ε selbst.
Wann ist ϕP(ε) =ε?
12.4 Gegeben sind in der euklidischen Ebene drei paarwei- se verschiedene parallele Geraden. Konstruieren Sie ein gleichseitiges Dreieck, so dass auf jeder Geraden ein Eck- punkt liegt.
Begr¨unden Sie die Konstruktionsvorschrift.
12.5 Von den Mittelpunkten A1, B1, C1 jeder Seite eines spitzwinkligen Dreiecks 4(ABC) werden die Lote auf die jeweils anderen beiden Seiten gef¨allt.A2, B2, C2 sei- en die im Innern des Dreiecks liegenden Schnittpunkte von jeweils zwei Loten.
Beweisen Sie, dass der Fl¨acheninhalt des Sechsecks (A1C2B1A2C1B2) gleich der H¨alfte des Fl¨acheninhalts des Dreiecks 4(ABC) ist.
(Abgabe am 9.7.2009)
