Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie ¨ SS 2009 - 4. Serie
4.1 Beweisen Sie, dass in einer Hilbert-Ebene der Kongruenzsatz (SSWg) gilt:
Haben zwei Dreiecke zwei paarweise kongruente Seiten und sind die Winkel, die der gr¨oßeren Seite gegen¨uber liegen, ebenfalls einander kongruent, dann sind die Dreiecke kongruent.
Gilt der Satz auch, wenn die beiden Seiten des Dreiecks zueinander kongruent, also beide Dreiecke gleichschenklig sind?
4.2 Sei εeine Hilbert-Ebene undϕ : ε−→εeine Bewegung vonε mit mindestens 2 verschiedenen FixpunktenA, B ∈ε, die nicht die Identit¨at ist. Beweisen Sie:
a) S¨amtliche Punkte der Geraden g =g(A, B) sind Fixpunkte vonϕ.
b) ϕ ist eine Spiegelung an der Geraden g =g(A, B).
4.3 Gegeben sind in einer euklidischen Ebene eine Strecke AB, ein Winkel α und eine weitere Strecke d. Unter welchen Bedingungen existiert ein Dreieck 4(ABC), so dass ](ACB) =α und AC+BC =d?
Konstruieren Sie 4(ABC), falls dieses existiert.
4.4 In der euklidischen Ebene sei ein Kreissektor ∠(ABC) gegeben. Konstruieren Sie zu ∠(ABC) einen einbe- schriebenen Kreis.
4.5 In der euklidischen Ebene sei ein Winkel mit dem Scheitel O und ein Punkt P innerhalb des Win- kels gegeben. Von P aus f¨allen wir das Lot auf die beiden Schenkel des Winkels. Seien A und B die Lotfußpunkte. Dann f¨allen wir von O und P je- weils das Lot auf die Gerade g(AB) und erhalten die FußpunkteC undD. Beweisen Sie:AC ∼=BD.
(Abgabe am 07.05.2009)
