Geometrie Dreiecke

Dreiecke

Geometrie

Kapitel 2

Gymnasiale Unterstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Uberblick ¨¨ uber die bisherigenGEOMETRIE - Themen:

1 Einf¨urung in die Geometrie Grundlagen Teil 1 1.1 Ein kurzer historischer ¨Uberblick

1.2 Pr¨agende Pers¨onlichkeiten 1.3 Warum Geometrie ?

1.4 Punkt, Strecke, Strahl & Gerade 1.5 Das Geodreieck

1.6 Der Zirkel

1.7 Winkeleigenschaften

ggb-Begleitmaterial zum 1.Teil der Einf¨uhrung

Einf¨urung in die Geometrie Grundlagen Teil 1 1.8 Winkelkonstruktionen - ein selbst¨andiges Erarbeiten 1.9 Das regelm¨assige 5-Eck & seine Winkel

eineLernaufgabemit Hilfe von Wikipedia 1.10 Das Billardspiel

1.11 Abstandsbestimmungen 1.12 K¨orper,

mit einerLernwerkstattzu den Platonischen K¨orper 1.13 Wo bin ich? Koordinatensysteme

Inhaltsverzeichnis

2 Das Dreieck 1

2.1 Grundbegriffe & Notationen im & am Dreieck . . . 2

2.1.1 In- & Ankreise . . . 8

2.2 Der Feuerbachkreis & die Eulergerade . . . 11

2.3 Spezielle Dreiecksformen . . . 13

2.3.1 Gleichschenklige Dreiecke . . . 13

2.3.2 Gleichseitige Dreiecke . . . 14

2.3.3 Spitz-, stumpf- & rechtwinklige Dreiecke . . . 15

2.4 Notationen & Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks . . . 17

2.5 Geometrische Orte & weitere Dreieckskonstruktionen . . . 23

2.6 Die Kongruenzs¨atze & weitere Konstruktionsaufgaben . . . 26

2.7 Meine Zusammenfassung. . . 35

2 Das Dreieck

Wir werden uns in diesem Kapitel mit einer f¨ur die Geometrie sehr zentralen Figur auseinandersetzen:

dem Dreieck

Die grosse Bedeutung des Dreieck liegt darin, dass sich jede geradlinig be- grenzte Figur in Dreiecke zerlegen l¨asst (Triangulation) und wir davon ausge- hend von den Eigenschaften der Teildreiecke auf die Eigenschaften der urspr¨ung- lichen geometrischen Figur schliessen k¨onnen.

Eine solche Anwendung kennen wir schon:

Warum ist die Winkelsumme in einem Viereck 360⁰?

Wir werden uns vorerst aber weniger mit solchen Schlussfolgerungen besch¨afti- gen, sondern mehr mit denGrundbegriffenam und im Dreieck.

Die ¨ublichenNotationenund die einem Dreieck zugeh¨origen geometrischen Gr¨ossen werden wir kennenlernen und ebenso deren Konstruktionen besprechen. Das be- deutet, dass unsere Geschicklichkeit im Umgang mit Geodreieck & Zirkel wieder gefragt ist. Zu den Konstruktionen geh¨oren auch diespeziellen Dreiecksformen.

Die Diskussion, unter welchen Bedingungen wir Dreiecke eindeutig konstruieren k¨onnen f¨uhrt uns dann auf dieKongruenzs¨atze. Den Abschluss bilden die geo- metrischen Orte, wo die Mengenlehre und die Konstruktion von Mengen eine gemeinsame Anwendung finden wird.

In den Aufgabenserien geht es dann mehrheitlich um das Konstruieren von Dreiecken und auch wieder um Winkelberechnungen. Im Zusammenhang mit den L¨osungen der Konstruktionen werden wir wieder mit freeware GeoGebra arbeiten.

2.1 Grundbegriffe & Notationen im & am Dreieck

Wir werden die Grundbegriffe am Dreiecke definieren und die zugeh¨origen¨ubli- chenNotationen einf¨uhren. Insbesondere werden wir auch deren Konstruktionen besprechen.

• dieWinkelhalbierende . . . ist definiert als

und wird wie folgt konstruiert:

• dieSeitenhalbierende . . . ist definiert als

und wird wie folgt konstruiert:

• dieMittelsenkrechte . . . ist definiert als

und wird wie folgt konstruiert:

Aufgaben 2.1 • Konstruiere alle Winkelhalbierenden:

Wir stellen fest:

• Konstruiere alle H¨ohen:

Wir stellen fest:

• Konstruiere alle Seitenhalbierenden:

Wir stellen fest:

• Konstruiere alle Mittelsenkrechten:

Wir stellen fest:

2.1.1 In- & Ankreise

DenInkreissatz, mit welchem die Konstruktion den Inkreises beschrieben wird, kennen wir schon: . . .

Konstruiere den Inkreis:

Wir k¨onnen somit denAnkreissatzformulieren: . . .

Aufgaben 2.2 Konstruiere

• den In- & Umkreis,

• alle Ankreise

und zeiche alleBer¨uhrungsradien ein.

Wir schliessen mit einer wichtigen Aussage:

Satz 2.1 (Dreiecksungleichung)

In jedem Dreieck ist die Summe der L¨ange zweier Seiten gr¨osser als die L¨ange der dritten Seite.

d.h.: Es gilt folgendes:

Aufgaben 2.3 Beweise den Satz geometrisch

2.2 Der Feuerbachkreis & die Eulergerade

Die folgende Aufgabe soll euch erm¨oglichen, eure eigene Genauigkeit selber zu

¨uberpr¨ufen, in dem ihr folgendes konstruiert:

Aufgaben 2.4 Gebe dir ein beliebiges Dreieck∆ABC vor und konstruiere

• alle SeitenmittenMa, Mb undMc,

• alle H¨ohenfusspinkteHa, Hb und Hc,

• den H¨ohenschnittpunktH,

• den SchwerpunktS.

auf der n¨achsten Seite geht’s weiter . . .

DeineKonstruktionsgenauigkeitkannst Du nun selber ¨uberpr¨ufen:

1. Alle Seitenmitten und H¨ohenfusspunkte liegen auf einem Kreis, demFeuerbachkreis

Er hat noch eine weitere Eigenschaft, die du selber herausfinden kannst:

Konstruiere dazu die Strecken zwischen den Ecken des Dreiecks ∆ABC und dem H¨ohenschnittpunkt und schneide sie mit dem Feuerbachkreis.

Was f¨allt auf:

2. Der H¨ohenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Mittelpunkt des Feu- erbachkreises liegen auf einer Geraden,

derEulergeraden

Sie hat noch eine weitere Eigenschaft, die du ebenfalls selber herausfinden kannst:

Konstruiere dazu den Umkreis des Dreiecks ∆ABC.

Was f¨allt auf:

2.3 Spezielle Dreiecksformen

2.3.1 Gleichschenklige Dreiecke

Def.: Ein Dreieck heisstgleichschenklig:⇔

Aufgaben 2.5 Skizziere & konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck mit a=b= 7cmundγ= 70⁰.

Eigenschaften:

2.3.2 Gleichseitige Dreiecke

Def.: Ein Dreieck heisstgleichseitig:⇔

Aufgaben 2.6 Skizziere & konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit a= b=c= 9cm.

2.3.3 Spitz-, stumpf- & rechtwinklige Dreiecke

Aufgaben 2.7 Definiere die obigen Dreieckstypen und konstruiere je ein zugeh¨origes Beispiel.

Aufgaben 2.8 Gegeben ist ein Dreieck∆ABC mitα= 90⁰.

Weiter liegen die PunkteD und E so auf der Seitea, dass gilt:CA=CD und BA=BE.

• Skizziere die Situation.

• Konstruiere das Dreieck∆ABC, mit L¨osungsbericht.

• Berechne den Winkel∠DAE.

2.4 Notationen & Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks

Skizziere ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck:

Aufgaben 2.9 Konstruiere ¨uber der folgenden Hypotenuse mehrere recht- winklige Dreieck:

Was l¨asst sich vermuten?

Diese Eigenschaft wird in folgenden Satz zusammengefasst:

Es gilt auch dieUmkehrungdes Satzes von Thales:

Aufgaben 2.10 Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck∆ABC

1. mit einer Hypotenuse von 8cm und einer H¨ohe von 3cm,

2. mit einer Hypotenuse von6cmund einem Winkelα= 33⁰.

Aufgaben 2.11 Wir gehen von einem beliebigen, gleichschenkligen ∆ABC mit der SpitzeC aus.

Weiter schneidet ωα die Seite a in D und das Lot zu ωα

durchD schneidetAB inE.

• Skizziere die Situation.

• Konstruiere das Dreieck∆ABC, mit L¨osungsbericht.

• Berechne den Winkel∠DAE.

Aufgaben 2.12 Wir gehen von einem Dreieck∆ABC aus mitα= 90⁰. Weiter liegen die PunkteD undE so auf der Seitea, dass gilt: CA=CD und BA=BE.

• Skizziere die Situation.

• Konstruiere ein solches Dreieck.

• Berechne den Winkel∠EAD.

• Berechne die Winkel ∠AED und ∠ADE in Abh¨angigkeit von β.

• Wie gross muss β sein, damit das Dreieck ∆ADE gleichschenklig wird, mit DE als Basis.

2.5 Geometrische Orte & weitere Dreieckskonstruktionen

Bei den bisherigen Konstruktionen haben wirEigenschaften geschnitten. Diese Vorgehensweise l¨asst sich auch mengentheoretisch erkl¨aren und f¨uhrt uns auf den Begriff des

Geometrischen Ortes, einer Menge von Punkten mit spezifischen Eigenschaften.

Durch dasSchneiden Geometrischer Orteentstehen Mengen, deren Elemente Punkte, Geraden, . . . sind, welche die Eigenschaften aller beteiligten geometri- schen Orte besitzen:

• Die Menge aller Punkte, welche von einem Punkt P einen konstanten Abstanddhaben . . .

• Die Menge aller Punkte, welche von einer Geradegeinen konstanten Ab- standdhaben . . .

• Die Menge aller Punkte, welche eine gegebene Strecke AB unter einem 90⁰-Winkel sehen . . .

• Die Menge aller Punkte, welche mit dem Endpunkt einer Strecke AB verbunden und der Strecke selber einen festen Winkelαeinschliessen . . .

Beispiel 2.1 Konstruiere ein Dreieck ∆ABC, mit

c= 8cm, hc = 5cmundα= 35⁰ und untersuche die geometrischen Orte.

Beispiel 2.2 Konstruiere ein Dreieck ∆ABC, mit

b= 6cm, c= 7cmund hc = 4cm und untersuche die geometrischen Orte.

Geometrie-Aufgaben: Dreiecke 4

2.6 Die Kongruenzs¨ atze & weitere Konstruktionsaufga- ben

Wir beginnen als Einstieg mit folgender Aufgabe:

Aufgaben 2.13 Konstruiere das Dreieck∆ABC mit

a= 4cm, b= 6cm und c= 7cm

Wir haben bei mehrere Aufgaben aber auch festgestellt, dass die geforder- ten Bedingungen an ein Dreieck nicht-hinreichend sind (Geometrie-Aufgaben:

Dreiecke 2, Aufg 1), um es eindeutig oder ¨uberhaupt konstruieren zu k¨onnen.

Nicht-hinreichende Angaben f¨ur die Konstruktion eines eindeutig bestimm- ten Dreiecks sind z.B. die Angaben von

•

•

•

•

•

Hinreichendsind z.B. die Angaben von 3 Seitenl¨angen.

Aufgaben 2.14 Formuliere ein eigenes Beispiel und konstruiere es.

(mit L¨osungsbericht)

Wir stellen fest:

und fassen unsere Erkenntnis im 1. Kongruenzsatz zusammen:

1. Kongruenzsatz:

Weitere hinreichende Bedingungen zur Konstruktion von (bis auf Kongru- enz) eindeutig bestimmten Dreiecke sind in den folgenden Aussagen enthalten:

2. Kongruenzsatz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, . . .

3. Kongruenzsatz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, . . .

4. Kongruenzsatz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, . . .

Aufgaben 2.15 Untersuche zuerst auf Kongruenzeigenschaften und kon- struiere anschliessend alle (verschiedenen) Dreiecke:

1. a= 5cm, b= 6cm, γ= 70⁰

2. a= 5.5cm, c= 5cm, α= 70⁰

3. b= 4cm, c= 6cm, β= 35⁰

4. c= 6cm, α= 40⁰, β= 85⁰

5.c= 5.5cm, β= 55⁰, γ= 60⁰

Geometrie-Aufgaben: Dreiecke 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben 2.16 Wir gehen von folgenden Dreieck aus: ∆ABC mit γ = 90⁰, c= 9cmund a= 5cm.

1. Konstruiere das Dreieck∆ABC.

2. Konstruiere die MittelpunkteM₁undM₂der Umkrei- se von ∆AM_cC und ∆BCM_c.

3. Beweise: M₁M₂⊥CM_c.

4. Beweise: AM₁undBM₂schneiden sich auf dem Um- kreis des Dreiecks∆ABC.

2.7 Meine Zusammenfassung