Elementare Geometrie Vorlesung 24

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Elementare Geometrie Vorlesung 24

Markus Rost

11.7.2019

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Kongruenzs¨ atze I

Die Kongruenzs¨ atze haben Sie schon benutzt, hier ist nochmal eine Zusammenfassung.

Zuerst wiederholen wir eine Definition.

Definition

Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind.

Etwas formaler:

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie durch eine Translation

(=Verschiebung), eine Drehung und evtl. eine Spiegelung

ineinander ¨ uberf¨ uhrt werden k¨ onnen.

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Kongruenzs¨ atze II

Sind zwei Dreiecke kongruent, so gilt

Beide Dreiecke haben gleichlange Seiten.

Beide Dreiecke haben gleichgroße Winkel.

Die Kongruenzs¨ atze beantworten die Frage, welche der Seiten und Winkel gleich sein m¨ ussen, um sicher zu wissen, daß zwei Dreiecke kongruent sind.

Weiß man das, so sind auch alle anderen entsprechenden Seiten und Winkel gleich.

Damit kann man z.B. manchmal beweisen, daß zwei Winkel in zwei

irgendwo in der Ebene liegenden Dreiecken gleich sind.

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Kongruenzs¨ atze III

Satz (SSS-Satz, 1. Kongruenzsatz)

Zwei Dreiecke, die in ihren drei Seitenl¨ angen ¨ ubereinstimmen, sind kongruent.

Dies ist die ¨ ubliche Sprechweise, aber etwas ungenau: Hat man zwei Dreiecke ABC und A

^′

B

^′

C

^′

mit den Seitenl¨ angen

a = ∣ BC ∣ a

^′

= ∣ B

^′

C

^′

∣

b = ∣CA∣ b

^′

= ∣C

^′

A

^′

∣

c = ∣AB∣ c

^′

= ∣A

^′

B

^′

∣

so besagt der Satz:

Stimmen die L¨ angen a, b, c des Dreiecks ABC mit den L¨ angen

a

^′

, b

^′

, c

^′

des Dreiecks A

^′

B

^′

C

^′

bis auf Reihenfolge uberein, so sind ¨

die Dreiecke ABC und A

^′

B

^′

C

^′

kongruent.

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Kongruenzs¨ atze IV

Zum Beweis der Kongruenzs¨ atze gibt man meist eine Konstruktion des Dreiecks aus den vorhandenen Daten (bei SSS sind das die 3 Seitenl¨ angen) an.

Zum Beweis von SSS beginnt man mit einer Seite, z. B. die Seite BC mit der L¨ ange a.

Der dritte Punkt A hat den Abstand c = ∣ AB ∣ von B und den Abstand b = ∣AC∣ von C.

Man schl¨ agt Kreise um B mit Radius c und um C mit Radius b.

Der Punkt A muß dann einer der beiden Schnittpunkte der Kreise

sein.

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Kongruenzs¨ atze V

Es entstehen zwei spiegelsymmetrische (also kongruente) Dreiecke:

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Kongruenzs¨ atze VI

Bei zwei vorgelegten Dreiecken ABC und A

^′

B

^′

C

^′

mit gleichlangen Seiten (a = a

^′

, b = b

^′

, c = c

^′

):

Man f¨ uhrt zuerst eine eine Verschiebung durch (lege B

^′

auf den entsprechenden Punkt B).

Dann f¨ uhrt man eine Drehung mit Fixpunkt B durch (lege die Seiten der L¨ ange a aufeinander).

Die obige Konstruktion zeigt dann, daß es f¨ ur die Punkte A und A

^′

nur die zwei M¨ oglichkeiten A

1

oder A

2

gibt.

Die beiden Dreiecke A

₁

BC und A

₂

BC gehen aber durch eine Spiegelung auseinander hervor.

Daher sind die urspr¨ unglichen Dreiecke ABC und A

^′

B

^′

C

^′

kongruent.

Insbesondere sind alle entsprechenden Winkel gleich (α = α

^′

etc.).

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Kongruenzs¨ atze VII

Satz (SWS-Satz, 2. Kongruenzsatz)

Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenl¨ angen und in dem eingeschlossenen Winkel ¨ ubereinstimmen, sind kongruent.

Satz (WSW-Satz, 3. Kongruenzsatz)

Zwei Dreiecke, die in einer Seitenl¨ ange und den beiden daran anliegenden Winkel ¨ ubereinstimmen, sind kongruent.

(siehe auch Bilder in externem Link)

Bei diesen beiden Kongruenzs¨ atzen geht die Rekonstruktion so:

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Kongruenzs¨ atze VIII

SWS: Bekannt sind b, α, c.

Man beginne etwa mit zwei Strahlen mit Winkel α und trage

darauf die Strecken b bzw. c ab. Das Dreieck ABC ist fertig.

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Kongruenzs¨ atze IX

SWS: Wenn man b und c vertauscht, erh¨ alt man

spiegelsymmetrische Dreiecke:

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Kongruenzs¨ atze X

WSW: Bekannt sind β, a, γ.

Man beginne wie bei SSS mit der Seite BC. Der dritte Punkt A

ist der Schnittpunkt der Strahlen durch B und C mit den

entsprechenden Winkeln.

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Kongruenzs¨ atze XI

WSW: Auch hier kann man β und γ vertauschen und erh¨ alt

spiegelsymmetrische Dreiecke.

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Kongruenzs¨ atze XII

Wenn man zwei Winkel kennt, so auch den dritten (Winkelsumme im Dreieck).

Daher ist WSW gleichbedeutend mit “WSWW”. Und dann auch zu SWW.

Bei SWW darf man aber die beiden Winkel nicht mehr

vertauschen. Man muss wissen, welcher der beiden Winkel an der Seite S anliegt und welcher gegen¨ uberliegt.

Satz (SWW-Satz)

Zwei Dreiecke, die in einer Seitenl¨ ange, einem dieser Seite anliegenden Winkel und dem dieser Seite gegen¨ uberliegenden Winkel ¨ ubereinstimmen, sind kongruent.

(Keine Skizze, man benutze WSW zur Konstruktion.)

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Kongruenzs¨ atze XIII

Satz (SSW-Satz, 4. Kongruenzsatz)

Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenl¨ angen und in dem Winkel, der der l¨ angeren Seite gegen¨ uberliegt, sind kongruent.

Es gibt andere Schreibweisen wie etwa SsW um anzudeuten, daß der Winkel der l¨ angeren Seite gegen¨ uberliegen muß (und an der kleineren Seite anliegt).

Bemerkung

Ist der Winkel 90

^○

, so liegt der Winkel automatisch der l¨ angeren Seite gegen¨ uber.

Denn in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die

l¨ angste Seite.

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Kongruenzs¨ atze XIV

SsW: Bekannt sind b, c, β (b > c).

Man beginne mit c, trage den Strahl mit Winkel β an und schneide

den Strahl mit dem Kreis um A mit Radius b. Es gibt nur den

einen Schnittpunkt C. (Der andere Schnittpunkt D mit der Gerade

liefert den falschen Winkel 180

^○

− β.)

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Kongruenzs¨ atze XIV

“sSw” ist falsch: ¨ Ahnliche Skizze, jetzt aber mit b < c:

Jetzt hat der Kreis zwei Schnittpunkte mit dem Halbstrahl. Die

Dreiecke ABC und ABC

^′

sind nicht kongruent.

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