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7. Klasse TOP 10 Grundwissen 7 Kongruenz, Konstruktionen, Transversalen 09
Kongruenz
Zwei Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen kongruent.
Zwei Dreiecke sind kongruent (in Zeichen ∼ =), wenn sie – in allen Seiten ¨ubereinstimmen (SSS)
– in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel ¨ubereinstimmen (SWS) – in einer Seite und zwei Winkeln ¨ubereinstimmen (WSW, SWW)
– in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨oßeren Seiten ¨ubereinstimmen (SsW).
Hat man solche drei St¨ucke gegeben, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.
Konstruktionen
Beginne mit einer Planfigur und markiere darin farbig die gegebenen St¨ucke. Manchmal muss man zuerst ein Teildreieck konstruieren oder mit dem Satz von Thales (bei 90
◦-Winkel) oder mit Parallelen arbeiten (vgl. ueb710.pdf, Aufgabe 4).
Beispiele:
1. Konstruiere ein Dreieck ABC mit a =
BC
= 4 cm, α = 110
◦, β = 30
◦. (Im Dreieck liegt die Seite a dem Punkt A gegen¨uber, usw.)
Das Dreieck ist gem¨aß SWW eindeutig konstruierbar.
γ = 180
◦− α − β = 40
◦.
Konstruktionsbeschreibung:
1. DurchasindBundCfestgelegt.
2. Trageβundγan,Aliegt auf den freien Schenkeln dieser Winkel.
β γ
α
B a C
A
2. Konstruiere ein Viereck ABCD mit a =
AB
= 4, c =
CD
= 6, d =
AD
= 2, Diagonale f =
BD
= 5,5, < ) CBD = 80
◦, indem zuerst ∆ABD (SSS) und dann
∆DBC (SsW) konstruiert wird. Miss die L¨ange e =
AC
der anderen Diagonalen .
Konstruktionsbeschreibung:
1. DurchasindAundBfestgelegt.
2.Dliegt aufk(A; 2)undk(B; 5,5)(Schnittpunkt der Kreise umAmit Radius 2 und umBmitr= 5,5) 3. Trage80◦-Winkel beiBan
4. C liegt auf freiem Schenkel des Winkels aus Schritt 3 undk(D; 6).
Da sich dabei genau ein Schnittpunkt ergibt (die l¨angere Seite6>5,5liegt dem gegebenen Winkel
gegen¨uber), ist die Konstruktion eindeutig.
A B
C
D
80
◦a
c
d f
e ≈ 5,6
Dreieckstransversalen Mittelsenkrechte:
Senkrecht auf der Seite im Seiten- mittelpunkt.
Die Mittelsenk- rechten schneiden sich im Umkreis- mittelpunkt.
T T
T T
TT
Winkelhalbierende:
(vgl. grund74.pdf).
Die Winkelhalbie- renden schneiden sich im Inkreismit- telpunkt.
T T
T T
TT
&%
'$
H¨ohe:
Lot von einer Ecke auf die gegen¨uberliegende Seite.
Die drei H¨ohen schneiden sich in einem Punkt.
Beachte:
Eine H¨ohe kann auch
”¨uberh¨angend“ sein:
T T
T T
TT
Seitenhalbierende:
Von der Ecke zur Mitte der gegen¨uber- liegenden Seite.
Die Seitenhalbieren- den schneiden sich im Schwerpunkt.
T T
T T
TT