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– in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel ¨ubereinstimmen (SWS) – in einer Seite und zwei Winkeln ¨ubereinstimmen (WSW, SWW)

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CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund79.pdf

7. Klasse TOP 10 Grundwissen 7 Kongruenz, Konstruktionen, Transversalen 09

Kongruenz

Zwei Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen kongruent.

Zwei Dreiecke sind kongruent (in Zeichen ∼ =), wenn sie – in allen Seiten ¨ubereinstimmen (SSS)

– in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel ¨ubereinstimmen (SWS) – in einer Seite und zwei Winkeln ¨ubereinstimmen (WSW, SWW)

– in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der gr¨oßeren Seiten ¨ubereinstimmen (SsW).

Hat man solche drei St¨ucke gegeben, so kann man das Dreieck eindeutig konstruieren.

Konstruktionen

Beginne mit einer Planfigur und markiere darin farbig die gegebenen St¨ucke. Manchmal muss man zuerst ein Teildreieck konstruieren oder mit dem Satz von Thales (bei 90

-Winkel) oder mit Parallelen arbeiten (vgl. ueb710.pdf, Aufgabe 4).

Beispiele:

1. Konstruiere ein Dreieck ABC mit a =

BC

= 4 cm, α = 110

, β = 30

. (Im Dreieck liegt die Seite a dem Punkt A gegen¨uber, usw.)

Das Dreieck ist gem¨aß SWW eindeutig konstruierbar.

γ = 180

− α − β = 40

.

Konstruktionsbeschreibung:

1. DurchasindBundCfestgelegt.

2. Trageβundγan,Aliegt auf den freien Schenkeln dieser Winkel.

β γ

α

B a C

A

2. Konstruiere ein Viereck ABCD mit a =

AB

= 4, c =

CD

= 6, d =

AD

= 2, Diagonale f =

BD

= 5,5, < ) CBD = 80

, indem zuerst ∆ABD (SSS) und dann

∆DBC (SsW) konstruiert wird. Miss die L¨ange e =

AC

der anderen Diagonalen .

Konstruktionsbeschreibung:

1. DurchasindAundBfestgelegt.

2.Dliegt aufk(A; 2)undk(B; 5,5)(Schnittpunkt der Kreise umAmit Radius 2 und umBmitr= 5,5) 3. Trage80-Winkel beiBan

4. C liegt auf freiem Schenkel des Winkels aus Schritt 3 undk(D; 6).

Da sich dabei genau ein Schnittpunkt ergibt (die l¨angere Seite6>5,5liegt dem gegebenen Winkel

gegen¨uber), ist die Konstruktion eindeutig.

A B

C

D

80

a

c

d f

e ≈ 5,6

Dreieckstransversalen Mittelsenkrechte:

Senkrecht auf der Seite im Seiten- mittelpunkt.

Die Mittelsenk- rechten schneiden sich im Umkreis- mittelpunkt.

T T

T T

TT

Winkelhalbierende:

(vgl. grund74.pdf).

Die Winkelhalbie- renden schneiden sich im Inkreismit- telpunkt.

T T

T T

TT

&%

'$

H¨ohe:

Lot von einer Ecke auf die gegen¨uberliegende Seite.

Die drei H¨ohen schneiden sich in einem Punkt.

Beachte:

Eine H¨ohe kann auch

”¨uberh¨angend“ sein:

T T

T T

TT

Seitenhalbierende:

Von der Ecke zur Mitte der gegen¨uber- liegenden Seite.

Die Seitenhalbieren- den schneiden sich im Schwerpunkt.

T T

T T

TT

Referenzen

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