Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

Prof. Dr. H. J. Pesch

Lehrstuhl f¨ur Ingenieurmathematik Universit¨at Bayreuth

Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen Optimal Control of Partial Differential Equations

(Teil 1: WS 2009/10)

15. ¨Ubung Vorbemerkung:

In diesem ¨Ubungsblatt untersuchen wir die L¨osbarkeit von zwei linear-quadra- tischen parabolischen Optimalsteuerungsproblemen.

Die erste Aufgabe besteht in einer Verallgemeinerung der aus der Vorlesung bekannten Aufgabe der Bestimmung einer optimalen instation¨aren Randtem- peratur auf inhomogene Randbedingungen.

Die zweite Aufgabe besteht darin, eine optimale Temperaturquelle, also ei- ne verteilte Steuerung, so zu bestimmen, dass ein vorgegebener Verlauf der Temperatur yΣ am Rand des Raum-Zeit-Gebietes m¨oglichst gut — in der L²- Norm — approximiert wird. Dieses Problem kann man auch als inverses Pro- blem auffassen: Es ist eine unbekannte Quelle u im Innern des K¨orpers Ω aus Messungen des Temperaturverlaufs y|^Σ an der Oberfl¨ache Γ von Ω zu bestim- men. Wegen der im Allgemeinen schlechten Kondition solcher Probleme ist das Problem zu regularisieren; dies erreicht man durch zus¨atzliche Minimierung der Kosten der

”Steuerung“ u durch den Term ¹₂λkuk², λ >0.

1) Optimale instation¨are Randtemperatur.

Gegeben sei das linear-quadratische parabolische Optimalsteuerungsproblem minJ(y, u) := 1

2 Z

Ω

(y(x, T)−yΩ(x))² dx+λ 2

ZZ

Σ

u(x, t)²ds(x) dt (1) unter den Nebenbedingungen

y_t−∆y= 0 in Q , (2a)

∂y_ν +α y=β u in Σ, (2b)

y(·,0) =y0 in Ω (2c)

sowie

u_a(x, t)≤u(x, t)≤u_b(x, t) fast ¨uberall in Σ . (3) Dabei sollen folgende Voraussetzungen gelten: Es sei Ω ∈R^N ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Γ und Q := Ω×(0, T), T > 0, der Raum-Zeit- Zylinder mit Rand Σ := Γ ×(0, T). Es seien yΩ ∈ L²(Ω), α ∈ L^∞(Σ), β ∈ L^∞(Σ), y0 ∈L²(Ω), u_a∈L²(Σ) und u_b ∈L²(Σ). Ferner sei λ≥0.

Man zeige: Unter diesen Voraussetzungen hat die Optimalsteuerungsaufga- be (1)–(3) mindestens eine optimale L¨osung. Diese ist eindeutig bestimmt, wenn λ >0 ist.

Hinweis: Man passe die Vorgehensweise aus der Vorlesung zum analogen Exi- stenzbeweis f¨ur eine optimale instation¨are Randtemperatur an und begr¨unde jeden Schritt genau, insbesondere die Anwendung der einschl¨agigen S¨atze aus der Vorlesung bzw. dem Buch von F. Tr¨oltzsch.

2) Optimale instation¨are Temperaturquelle.

Gegeben sei das linear-quadratische parabolische Optimalsteuerungsproblem minJ(y, u) := 1

2 ZZ

Σ

(y(x, t)−yΣ(x, t))² ds(x) dt+λ 2

ZZ

Q

u(x, t)²dxdt (4)

unter den Nebenbedingungen

y_t−∆y=β u in Q , (5a)

∂y_ν = 0 in Σ, (5b)

y(·,0) = 0 in Ω (5c)

sowie

u_a(x, t)≤u(x, t)≤u_b(x, t) fast ¨uberall inQ. (6) Dabei sollen folgende Voraussetzungen gelten: Es sei Ω ∈R^N ein beschr¨anktes Lipschitz-Gebiet mit Rand Γ und Q := Ω×(0, T), T > 0, der Raum-Zeit- Zylinder mit Rand Σ := Γ×(0, T). Es seien yΣ ∈ L²(Σ), β ∈ L^∞(Q), u_a ∈ L²(Q) und u_b ∈L²(Q). Ferner sei λ >0.

Man zeige: Unter diesen Voraussetzungen hat die Optimalsteuerungsaufga- be (4)–(6) eine eindeutige L¨osung.

Hinweis: Man passe die Vorgehensweise aus der Vorlesung zum analogen Exi- stenzbeweis f¨ur eine optimale instation¨are Randtemperatur an und begr¨unde jeden Schritt genau, insbesondere die Anwendung der einschl¨agigen S¨atze aus der Vorlesung bzw. dem Buch von F. Tr¨oltzsch.

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