L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 8

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 8

J. Widenmann

Aufgabe 1:

a) Das beschriebene Marktmodell ist ein Binomialmodell. Wegen −0,1<0 =r <0,2 ist, wie in der Vorlesung und ¨Ubung gezeigt, das eindeutige ¨aquivalente Martingal- maß P^∗ gegeben durch

P^∗(Y_t= 1) = 1 3 .

Somit ist der vorliegende Markt sowohl arbitragefrei als auch vollst¨andig.

b) Wie in Vorlesung und ¨Ubung gezeigt und mit denselben Argumenten wie in Aufga- ben 2 und 3 auf Blatt 7, ist die replizierende Strategie ( ¯ξ_t)_t=1,2 gegeben durch

ξ¯₁ = 38

75,−19 45

ξ¯₂ = 19

25,−19 27

1^{Y1=−1}

Somit erhalten wir als arbitragefreien Preis f¨urP: π^P =ξ⁰₁ ·1 +ξ¹₁ ·1 = 38

75− 19 45 = 19

225 oder auch

π^P =EP^∗[P] = 19 100 · 2

3 · 2 3 = 19

225 .

Aufgabe 2:

a) Zun¨achst zum Hinweis:

Die Menge G :={A |A={X₁ ∈A₁} ∩ {X₂ ∈A₂}, A₁, A₂ ∈ B(R)} ist ein

∩-stabiler Erzeuger derσ-Algebraσ(X₁, X₂) (!). Unterteilen wirY in seinen Positiv- und Negativteil, d.h. Y =Y⁺−Y⁻, dann gilt wegen Y⁺, Y⁻≥0 auch

E[Y⁺|X1, X2],E[Y⁻|X1, X2],E[Y⁺|X1],E[Y⁻|X1]≥0.

Insbesondere k¨onnen wir

E[Y⁺|X₁, X₂],E[Y⁻|X₁, X₂],E[Y⁺|X₁],E[Y⁻|X₁] als Dichten von Maßen

Q^E[Y

+|X1,X2],Q^E[Y

−|X1,X2],Q^E[Y

+|X1],Q^E[Y

−|X1]

bzgl. P interpretieren. Zeigen wir nun die “bedingte Erwartungswerteigenschaften”

Q^E[Y

+|X₁](A) = Z

A

E[Y⁺|X₁]dP= Z

A

E[Y⁺|X₁, X₂]dP=Q^E[Y

+|X₁,X2](A) Q^E[Y

−|X1](A) = Z

A

E[Y⁻|X₁]dP= Z

A

E[Y⁻|X₁, X₂]dP=Q^E[Y

−|X1,X2](A)

f¨ur beliebiges A ∈ G, dann gelten diese Gleichungen wegen dem Eindeutigkeits- satz von Maßen auch direkt f¨ur alle Mengen A ∈ σ(X₁, X₂). Zusammenfassen von Positiv- und Negativteil liefert dann die Behauptung des Hinweises.

Nun zum eigentlichen Beweis:

– E[Y|X₁] ist per Definition σ(X₁)-messbar, Wegen σ(X₁) ⊆ σ(X₁, X₂) also insbesondere σ(X₁, X₂)-messbar.

– Sei wegen dem HinweisA∈ G, dann gilt Z

{X1∈A1}∩{X2∈A2}

E[Y|X₁]dP^Unabh¨=^angigkeit Z

{X2∈A2}

dP Z

{X1∈A1}

E[Y|X₁]dP

= Z

{X₂∈A₂}

dP Z

{X₁∈A₁}

Y dP^Unabh¨=^angigkeit

Z

{X₁∈A₁}∩{X₂∈A₂}

Y dP

und somit die Behauptung.

b) Es gilt

n

X

k=1

Z_k =E

" _n X

k=1

Z_k

n

X

k=1

Z_k

#

=

n

X

k=1

E

"

Z_k

n

X

k=1

Z_k

#

(∗)=

n

X

k=1

E

"

Zi

n

X

k=1

Zk

#

=T ·E

"

Zi

n

X

k=1

Zk

#

Zu (∗): Mit derselben Argumentation wie im Hinweis vona) seiA=S(Z)⁻¹(B) f¨ur einB ∈ B(R). Dabei seienZ = (Z¹, ..., Zⁿ) undS:Rⁿ−R; (z₁, ..., z_n)7→z₁+...+z₂ der (messbare) Summenoperator. Aist also ein Element des (∩-stabilen) Erzeugers von σ(Pn

k=1Z_k). Dann gilt:

Z

A

E

"

Z_i

n

X

k=1

Z_k

# dP=

Z

A

Z_idP= Z

Rⁿ

1B(S(z₁, ..., z_k, ..., z_i, ..., z_n))z_idPZ

= Z

Rⁿ

1B(S(z₁, ..., z_i, ..., z_k, ..., z_n))z_kdPZ^˜ = Z

A

Z_kdP

Dabei haben wir ausgenutzt, dass die Permutations-Abbildung, die diek-te mit der i-ten Komponente inRⁿvertauscht, den SummenoperatorS nicht “beeinflusst” und wegen Z1, ..., Zn i.i.d die Verteilung von

Z˜ = (Z₁, ..., Z_i, ..., Z_k, ..., Z_n)^tr

unter Pdieselbe ist wie die des Vektors Z = (Z₁, ..., Z_k, ..., Z_i, ..., Z_n)^tr unter P. Es folgt die Behauptung.

Aufgabe 3:

a) – X_t ist offensichtlich F_t-messbar.

– Sei t∈ {0, ..., T −1}, dann gilt

E[X_t+1|F_t] =X_t+E[Y_t+1|Y₁, ..., Y_t]^i.i.d= X_t+E[Y_t+1] =X_t

Mit Aufgabe 5, Blatt 5 ist (Xt)t=1,...,T somit ein ((Ft)t=1,...,T,P)-Martingal.

b) Seit ∈ {0, ..., T −1}, dann gilt

E[X_t+1|F˜_t] =X_t+E[Y_t+1|Y₁, ..., Y_t, X_T] =X_t+E

"

Y_t+1

Y₁, ..., Y_t,

T

X

k=t+1

Y_k

#

Aufg. 2 a)

= X_t+E

"

Y_t+1

T

X

k=t+1

Y_k

#

Aufg. 2 b)

= X_t+ 1 T −t

T

X

k=t+1

Y_k 6=X_t P- f.s.

c) – X˜_t ist offensichtlich ˜F_t-messbar.

– Sei t∈ {0, ..., T −1}, dann gilt

E[ ˜X_t+1|F_t] =E[X_t+1|F˜_t]−

t

X

k=0

X_T −X_k T −k

=Xb) _t+ 1 T −t

T

X

k=t+1

Y_k−

t−1

X

k=0

X_T −X_k

T −k − X_T −X_t T −t = ˜X_t

Mit Aufgabe 5, Blatt 5 ist ( ˜X_t)_t=1,...,T somit ein (( ˜F_t)_t=1,...,T,P)-Martingal.

d) Es gilt:

G_T =

T

X

k=1

ξ˜_k( ˜X_k−X˜_k−1+X_T −Xk−1

T −k+ 1 )

=

T

X

k=1

ξ˜_k( ˜X_k−X˜k−1) +

T

X

k=1

ξ˜_k 1 T −k+ 1

T

X

i=k

Y_i

Da ( ˜X_t)_t=0,...,T ein ( ˜F_t)_t=0,...,T-Martingal ist und ( ˜ξ_t)_t=1,...,T nach Angabe ( ˜F_t)_t=0,...,T- previsibel sein soll, gilt:

E[GT|XT] =

T

X

k=1

1 T −k+ 1E

"

ξ˜k T

X

i=k

Yi

XT

#

Wegen der Forderung |ξ˜_t| ≤1 f¨ur allet = 1, ..., T gilt also insbesondere f¨ur alle diese betrachteten Strategien:

E[G_T|X_T] =

T

X

k=1

1 T −k+ 1E

"

ξ˜_k

T

X

i=k

Y_i X_T

#

≤

T

X

k=1

1 T −k+ 1E

" _T X

i=k

Y_i X_T

#

≤

T

X

k=1

1 T −k+ 1E

"

T

X

i=k

Y_i X_T

#

Die Strategie ( ˜ξ_t^∗)_t=1,...,T mit

ξ˜_t+1^∗ := X_T −X_t

|XT −Xt| = PT

i=kY_i

PT i=kY_i

liefert jedoch genau

E[G_T|X_T] =

T

X

k=1

1 T −k+ 1E

"

T

X

i=k

Y_i X_T

#

Da ( ˜ξ_t^∗)_t=1,...,T außerdem previsibel ist, ist dies also die gesuchte Strategie.

Aufgabe 4: Zun¨achst zeigen wie, dass unter den getroffenen Annahmen die Dichte ^dP_dP^∗ von P^∗ bzgl. P gegeben ist durch

dP^∗

dP = 2^T ·(p^∗)^T+2ZT(1−p^∗)

T−ZT 2 .

Tats¨achlich gewichtet P^∗ jedes ω = (y₁, ..., y_T), das exakt k Komponenten mit y_i = +1 beinhaltet durch

P^∗({ω}) = (p^∗)^k(1−p^∗)^T−k.

F¨ur solcheω gilt jedoch Z_T(ω) = k−(T −k) = 2k−T. Mit Beispiel ¨U 1.3.5 Teil 3) folgt schließlich diese Behauptung.

Nun folgt:

P^∗(M_T ≥k, Z_T =k−l) =EP^∗[1^{MT≥k,Z_T=k−l}]

=EP[1^{MT≥k,Z_T=k−l}2^T(p^∗)^T+2ZT(1−p^∗)

T−ZT 2 ]

= 2^T(p^∗)^T+k−l2 (1−p^∗)^T+l−k2 EP[1^{MT≥k,Z_T=k−l}]

= 2^T(p^∗)^T+k−l2 (1−p^∗)^T+l−k2 P(M_T ≥k, Z_T =k−l) = (∗) Mit dem in der Vorlesung gezeigten Reflektionsprinzip f¨ur P gilt

P(M_T ≥k, Z_T =k−l) =P(Z_T =k+l).

Damit und erneuter Anwendung der Dichtefunktion folgt unmittelbar:

(∗) = 2^T(p^∗)^T+k−l2 (1−p^∗)^T+l−k2 P(ZT =k+l)

= 2^T(p^∗)^T+k−l2 (1−p^∗)^T+l−k2 P(Z_T =k+l)

= 2^T(p^∗)^T+k−l2 (1−p^∗)^T+l−k2 2^−T(p^∗)^−T+k+l2 (1−p^∗)^{−T−k−l2} P^∗(Z_T =k+l)

=

1−p^∗ p^∗

l

P^∗(Z_T =k+l)

Die Beweise der anderen Gleichungen folgen analog.

Aufgabe 5: Zun¨achst erkennen wir (z.B. mit Hilfe der Regel von L’Hospital), dass

√

N rN →0, √

N aN → −σ√

T , √

N bN →σ√ T .

Insbesondere gilt a_N < r_N < b_N f¨ur hinreichend großesN. Aus der Vorlesung wissen wir dann, dass dasN’te approximierende Marktmodell f¨ur hinreichend großesN arbitragefrei ist und das eindeutige Martingalmaß P^∗N zul¨asst. P^∗N ist charakterisiert durch

P^∗N(R_k^(N) =b_N) =:p^∗_N = r_N −a_N B_N −a_N.

Mit den obigen Konvergenzen erhalten wir insbesondere

N→∞lim p^∗_N = 1 2.

Nat¨urlich gilt a_N ≤ R^(N)_k ≤ b_N und a_N, b_N → 0. Außerdem gilt EP^∗N[R^(N)_k ] = r_N und somit

N

X

k=1

varN(R_k^(N)) =N(p^∗_Nb²_N + (1−p^∗_N)a²_N −r_N²)→σ²T.

Somit sind die Bedingungen erf¨ullt.

Aufgabe 6: O.b.d.A sei s₀ = 1. Dann gilt logEP^∗N[(S_N^(N))²] = logEP^∗N[(

N

Y

k=1

(1 +R^(N_k ⁾))²] = log

N

Y

k=1

EP^∗N[(1 +R^(N)_k )²]

= log

N

Y

k=1

(var_N(1 +R^(N)_k ) +EP^∗N[1 +R^(N)_k ]²)

=

N

X

k=1

log(var_N(R^(N)_k ) + (1 +r_N)²)

=

N

X

k=1

log(var_N(R^(N)_k ) + (1 +r_N)²−1 + 1)

Hinweis

≤ σ_N²T + 2N r_N +N r_N² + ˜c

N

X

k=1

(var_N(R^(N_k ⁾) + 2|r_N|+r_N²)² f¨ur eine endliche Konstante ˜c. Die rechte Seite konvergiert aber f¨ur N % ∞, so dass logEP^∗N[(S_N^(N))²] insbesondere durch eine von N unabh¨angige Konstante beschr¨ankt ist.

Somit folgt

sup

N EP^∗N[(S_N^(N))²]<∞.

Aufgabe 7: Zun¨achst bemerken wir, dass ϕ(d+) =ϕ(d−+σ√

t) = 1

√2πe⁻

d2

− 2 e^d−σ

√t

e^−σ

2t 2

=ϕ(d−)K xe^−rt Somit gilt:

i)

∆(x, t) = Φ(d₊(x, t)) +xϕ(d₊(x, t)) ∂

∂xd₊(x, t)−e^−rtKϕ(d−(x, t)) ∂

∂xd−(x, t)

= Φ(d+(x, t)) +xϕ(d+(x, t)) 1 xσ√

t −e^−rtKϕ(d−(x, t)) 1 xσ√

t

= Φ(d₊(x, t)) ii)

Γ(x, t) = ϕ(d₊(x, t)) 1 xσ√

t

iii)

Θ(x, t) =xϕ(d₊(x, t))∂

∂td₊(x, t) +re^−rtKΦ(d−(x, t))−e^−rtKϕ(d−(x, t))∂

∂td−(x, t)

=xϕ(d₊(x, t)) 1 2σ√

t(r+σ²

2 )−e^−rtKϕ(d−(x, t)) 1 2σ√

t(r− σ²

2 ) +re^−rtKΦ(d−(x, t))

= xσ 2√

tϕ(d₊(x, t)) +Kre^−rtΦ(d₋(x, t)) iv)

%(x, t) = xϕ(d₊(x, t))∂

∂rd₊(x, t) +te^−rtKΦ(d−(x, t))−e^−rtKϕ(d−(x, t)) ∂

∂rd−(x, t)

=xϕ(d+(x, t))

√t

σ −e^−rtKϕ(d−(x, t))

√t

σ +te^−rtKΦ(d−(x, t))

=te^−rtKΦ(d−(x, t)) v)

V(x, t) =xϕ(d₊(x, t)) ∂

∂σd₊(x, t)−e^−rtKϕ(d−(x, t)) ∂

∂σd−(x, t)

=xϕ(d₊(x, t))σt√

t−(log(_K^x) + (r−σ²/2)t)√ t σ²t

+e^−rtKϕ(d−(x, t))σt√

t+ (log(_K^x) + (r−σ²/2)t)√ t σ²t

=x√

tϕ(d₊(x, t))

Die letzte Gleichung folgt durch simples Einsetzen der Ergebnisse.