L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 7

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 7

J. Widenmann

Aufgabe 1: Jedes ¨aquivalente MartingalmaßP^∗ bedingt auf das Ereignis{Z1 = 1}muss P^∗[S₂¹ = 4 |Z₁ = 1] =P^∗[S₂¹ = 2|Z₁ = 1] = (1−p⁺)/2

erf¨ullen, wobei p⁺ := P^∗[S₂¹ = 3 | Z₁ = 1] ∈ (0,1). Analog erh¨alt man auf den anderen Ereignissen

P^∗[S₂¹ = 3 |Z₁ = 0] =P^∗[S₂¹ = 1 |Z₁ = 0] = (1−p⁰)/2, wobei p⁰ :=P^∗[S₂¹ = 2 |Z1 = 0]∈(0,1) und

P^∗[S₂¹ = 2 |Z₁ =−1] =P^∗[S₂¹ = 0|Z₁ =−1] = (1−p⁻)/2 mit p⁻ :=P^∗[S₂¹ = 1 |Z₁ =−1]∈(0,1). Und letztlich muss auch

P^∗[S₁¹ = 3] =P^∗[S₁¹ = 1] = (1−p)/2

mit p :=P^∗[S₁¹ = 2] ∈ (0,1) sein. So erh¨alt man die Erwartungen von C bez¨uglich aller Martingalmaße als

(1−p) 2

2(1−p⁺) 2 +p⁺

+p(1−p⁰)

2 +(1−p) 2

(1−p⁻)

2 = 1−p

2 +p(1−p⁰)

2 +(1−p)(1−p⁻) 4

f¨ur beliebige Kombinationen von p, p⁺, p⁻, p⁰ ∈ (0,1). Wir minimieren den obigen Aus- druck durchp, p⁻, p⁰ →1, also inf Π(C) = 0, und wir maximieren ihn durchp, p⁻, p⁰ →0, d.h. sup Π(C) = 3/4.

Aufgabe 2: Unsere replizierende Strategie ¯ξ = ( ¯ξ_t)_t=1,2 = ((ξ_t⁰, ξ¹_t))_t=1,2 muss auf dem Ereignis {S₁¹ =a} folgende Gleichungen erf¨ullen:

ξ⁰₂ +ξ₂¹a² =a² und ξ₂⁰+ξ₂¹ =a .

Die L¨osung hierf¨ur ist ξ₂⁰ = _a+1^a2 und ξ₂¹ = _a+1^a . Analog erh¨alt man aus den Gleichungen ξ₂⁰+ξ₂¹ = 1 und ξ₂⁰+ξ₂¹1/a² = 1,

dass ξ₂⁰ = 1 und ξ₂¹ = 0 auf dem Ereignis {S₁¹ = ¹_a}. Folglich gilt (ξ⁰₂, ξ₂¹) = ( a²

a+ 1, a

a+ 1)1{S₁¹=a}+ (1,0)1{S₁¹=¹_a}.

Damit m¨ussen ξ₁⁰ und ξ¹₁ aufgrund der Selbstfinanziertheit die Gleichungen ξ₁⁰+ξ₁¹a=ξ⁰₂ +ξ₂¹a= 2a²

a+ 1 und ξ₁⁰+ξ₁¹1

a =ξ₂⁰+ξ¹₂1 a = 1 erf¨ullen, also ξ₁⁰ = _(a+1)^a2 2 und ξ₁¹ = ^a(2a+1)_(a+1)2 . Folglich gilt

(ξ₁⁰, ξ₁¹) = ( a²

(a+ 1)²,a(2a+ 1) (a+ 1)² ). Der Preis f¨ur den Hedge ist dann ^a(3a+1)_(a+1)2 .

Aufgabe 3: Das eindeutige Martingalmaß ist, ¨ahnlich wie in ¨Ubungsstunde ¨U7 vor- gef¨uhrt, gegeben durch

P^∗(Y_t= 1) =P^∗(Y_t=−1) = 0.2−(−0.1) 0.5−(−0.1) = 1

2. i) Wir berechnen nun den arbitragefreien Preis des Derivats:

EP^∗

C S_T⁰

= 1

1.44EP^∗[C]

= 1 1.44

0· 1

2 ·1

2 + 0.15· 1 2· 1

2+ 0· 1 2· 1

2+ 0.19· 1 2 ·1

2

= 17

288 ≈0.06.

Um den Hedgeξ_t= (ξ_t⁰, ξ_t¹),t= 1,2 zu berechnen (dieser existiert wegen der Eindeutigkeit des Martingalmaßes), benutzen wir zun¨achst die Gleichung

ξ_TS_T =C, also auf {S₁¹ = 1.5}:

ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·2.25 = 0 und ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·1.35 = 0.15.

Also erhalten wir ξ₂⁰ = 25/96, ξ₂¹ =−1/6.

Auf {S₁¹ = 0.9} erhalten wir:

ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·1.35 = 0 und ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·0.81 = 0.19.

Also erhalten wir ξ₂⁰ = 95/288, ξ₂¹ =−19/54. Insgesamt haben wir also ξ₂ = ξ₂⁰, ξ₂¹

·1{S₁¹=1.5}+ ξ⁰₂, ξ₂¹

·1{S¹₁=0.9}

= (25/96,−1/6)·1{S₁¹=1.5}+ (95/288,−19/54)·1{S₁¹=0.9}

=

25/96·1{S₁¹=1.5}+ 95/288·1{S¹₁=0.9}, −1/6·1{S₁¹=1.5}−19/54·1{S¹₁=0.9}

. Um ξ₁ zu berechnen benutzen wir die durch die Definition eines Hedges verlangte Eigen- schaft der Selbstfinanziertheit

ξ_tS_t=ξ_t+1S_t ∀t = 1, . . . , T −1,

also hier: ξ₁S₁ =ξ₂S₁. Wir erhalten die folgenden Gleichungen:

ξ₁⁰·1.2 +ξ₁¹·1.5 = 25

96·1.2− 1 6 ·1.5, ξ₁⁰·1.2 +ξ₁¹·0.9 = 95

288 ·1.2− 19 54·0.9, also ξ₁ = (25/288,−1/36).

ii) Analog zu i) berechnen wir EP^∗

C S_T⁰

= 1

1.44EP^∗[C]

= 1 1.44

7 12· 1

2· 1 2 +17

60· 1 2 · 1

2+ 1 12· 1

2· 1 2

= 95

576 ≈0.16.

F¨ur den Hedge erhalten wir f¨ur ξ₂ auf {S₁¹ = 1.5}:

ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·2.25 = 7

12 und ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·1.35 = 17

60. Auf {S₁¹ = 0.9} erhalten wir:

ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·1.35 = 1

12 und ξ₂⁰·1.44 +ξ₂¹·0.81 = 0.

Also haben wir ξ₂ =

−25/216·1{S₁¹=1.5}−25/288·1{S₁¹=0.9}, 1/3·1{S¹₁=1.5}+ 25/162·1{S₁¹=0.9}

. F¨urξ₁ erhalten wir dann wieder die folgenden Gleichungen:

ξ₁⁰·1.2 +ξ¹₁ ·1.5 = − 25

216 ·1.2 + 1 3 ·1.5, ξ₁⁰·1.2 +ξ¹₁ ·0.9 = − 25

288 ·1.2 + 25 162 ·0.9, also ξ₁ = (−655/1728,235/432).

Aufgabe 4: Es ist

EP^∗[S_t+1¹ | Ft] = EP[S_t+1¹ (S_T¹)^C | F_t]

EP[(S_T¹)^C | F_t] =S_t¹EP[e^Yt+1e^C·Yt+1] EP[e^C·Yt+1] . Also muss C so bestimmt sein, dass

EP[e^(C+1)Yt+1] =EP[e^C·Yt+1]. Ausrechnen dieser Erwartungen f¨uhrt auf folgende Gleichung

exp

(C+ 1)µ+1

2(C+ 1)²σ²

= exp

Cµ+1 2C²σ²

und wegen der strengen Monotonie von exp(x) auf (C+ 1)µ+1

2(C+ 1)²σ² =Cµ+ 1 2C²σ².

Das ist aber f¨urC =−¹₂ − _σ^µ2 erf¨ullt. Zur Normierung brauchen wir noch Z =EP[(S_T¹)^C] = exp

T Cµ+ 1

2T C²σ²

.

Sei nun B ∈ B(R). Dann gilt

P^∗(Y_t∈B) = EP^∗[1B(Y_t)] =EP

1B(Y_t)· dP^∗ dP

=EP

1B(Y_t)· 1 Z (S_T¹)^C

= 1 Z EP

1B(Y_t)·e^C·Yt

·Y

u6=t

EP

e^C·Yu

= Z

B

e^Cx 1 σ√

2πe^{−12(x−µσ )2}dx·e^{−(Cµ+12C2σ2)}

= Z

B

1 σ√

2πe⁻

1 2

x−(µ+Cσ2) σ

2

dx.

Also sind Y_t,t = 1, . . . , T, unter P^∗ wieder i.i.d. normalverteilt mit L(Y₁) =N(µ+Cσ², σ²) = N(−σ²/2, σ²).