Finanzmathematik I
L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 5
J. Widenmann
Aufgabe 1: Sei ¯ξ eine Strategie mit ¯ξ·S¯ ≥ 0 P-f.s. und P( ¯ξ ·S >¯ 0) > 0, dann gilt nat¨urlich auch f¨ur jedes P∗ ≈ P, dass ¯ξ ·S¯ ≥ 0 P∗-f.s. und P∗( ¯ξ ·S >¯ 0) > 0. W¨are ξ¯·π¯≤0, dann w¨are ¯ξ eine Arbitragestrategie. Es gilt jedoch
ξ¯·π¯ =
∞
X
i=0
ξiEP∗
Si 1 +r
(∗)
= EP∗
ξ¯·S¯ 1 +r
>0.
(∗) gilt dabei wegen dominierter Konvergenz, denn es gilt
n
X
i=0
ξiSi
≤
n
X
i=0
ξiSi ≤
∞
X
i=0
ξiSi ≤
ξ0
|{z}<∞
+ kSk∞
| {z }
∈L1(Ω,F,P∗)
∞
X
i=0
ξi
| {z }
<∞
∈ L1(Ω,F,P∗)
Aufgabe 2:
(a)⇔(b) Klar, da die definierenden Gleichungen jeweils nur mit dem positiven WertSt0 bzw.
1
S0t multipliziert werden m¨ussen.
(b)⇔(c)
ξ¯t·X¯t= ¯ξt+1·X¯tf¨urt= 1, ..., T −1
⇐⇒ ξ¯t+1·X¯t+1−ξ¯t·X¯t = ¯ξt+1·( ¯Xt+1−X¯t) = ξt·(Xt+1−Xt) f¨urt = 1, ..., T −1
⇐⇒ Vt−V1 =
t−1
X
k=1
ξ¯k+1·X¯k+1−ξ¯k·X¯k
=
t−1
X
k=1
ξk·(Xk+1−Xk)
⇐⇒ (c)
Aufgabe 3: Wir betrachten ˜Φ := {f◦Y :Y ∈Φ}, wobei f :R→[0,1] streng monoton wachsend, und beweisen den Satz f¨ur ˜Φ. F¨ur Φ betrachten wir dann das Urbild.
Sei also Ψ⊂Φ eine abz¨˜ ahlbare Teilmenge von Φ. Dann ist YΨ(ω) := sup
Y∈Ψ
Y(ω) eine Zufallsvariable (insbesondere messbar). Sei nun
c:= sup{E[YΨ] : Ψ⊂Φ abz¨˜ ahlbar}.
Das Supremum wird von einer abz¨ahlbaren Teilmenge Ψ∗ ⊂Φ angenommen:˜
Sei Ψn ⊂ Φ eine Folge abz¨˜ ahlbarer Mengen, mit E[YΨn] → c, n → ∞. Definiere Ψ∗ :=
S
n∈NΨn. Dann ist Ψ∗ abz¨ahlbar und damit giltE[YΨ∗]≤c. Andererseits gilt E[YΨ∗] =E[ sup
Y∈Ψ∗
Y(ω)]≥E[ sup
Y∈Ψn
Y(ω)]→c, n→ ∞.
Also folgt E[YΨ∗] =c.X∗ :=YΨ∗ hat die gew¨unschten Eigenschaften:
1) Angenommen, es existiert ein Y ∈Φ miP(Y > X∗)>0. Dann gilt f¨ur Ψ0 := Ψ∗∪ {Y} E[YΨ0]>E[YΨ∗] =c,
und das ist ein Widerspruch zur Definition von c. Also giltY ≤X∗ ∀Y ∈Φ.˜
2) Sei Z ≥ Y ∀ Y ∈ Φ. Dann gilt insbesondere˜ Z ≥ Y ∀ Y ∈ Ψ∗ ⊂ Φ. Damit folgt˜ Z(ω)≥supY∈Ψ∗Y(ω) = X∗(ω).
Also hat X∗ die gew¨unschten Eigenschaften.
Anhand der Konstruktion im Beweis erkennen wir also, dass X∗ = supY∈Ψ∗Y P-f.s. f¨ur eine abz¨ahlbare Teilmenge Ψ∗ ⊆ Φ. Das essentielle Supremum kann also stets als Supre- mum einer abz¨ahlbaren Teilmenge von Zufallsvariablen in Φ dargestellt werden.
Aufgabe 4:
(i) ξt=1{S1t>St−11 } ist nicht previsibel, da St1 wegen der Adaptiertheit zwar Ft-messbar aber nicht unbedingt Ft−1-messbar ist. Insbesondere liegt {St1 > St−11 } nicht unbe- dingt in Ft−1.
(ii) ξ1 = 1 und ξt=1{S1t−1>St−21 } (t ≥2) ist previsibel, da St−21 wegen der Adaptiertheit Ft−2- und insbesondere Ft−1-messbar ist. Deshalb liegt {St1 > St−11 } inFt−1. (iii) ξt=1A·1{t>t0}, wobeit0 ∈ {0, ..., T}und A∈ Ft0 ist previsibel, denn f¨urB ∈ B(R)
gilt
ξt−1(B) =
∅ falls ((t0 ≥t)∨({0}*B))∧((t0 < t)∨({0,1}*B)) Ω falls ((t0 ≥t)∨({0} ⊆B))∧((t0 < t)∨({0,1} ⊆B)) A falls (t0 < t)∨({0}*B)∨({1} ⊆B)
AC falls (t0 < t)∨({1}*B)∨({0} ⊆B)
Ω und ∅ sind offensichtlich in Ft−1, f¨ur t0 < t liegt A und AC in Ft0, also auch in Ft−1. Somit ist ξt Ft−1-messbar.
(iv) ξt=1{S1t>S01} ist mit ¨aquivalenter Begr¨undung zu (i) nicht previsibel.
(v) ξ1 = 1 und ξt = 2ξt−11{St−11 <S10} (t ≥ 2): Induktiv sieht man, dass ξ previsibel ist, da ξt−1 und 1{S1t−1<S01}, also auch ξt Ft−1-messbar sind.
Aufgabe 5:
(i)⇒(ii) Klar.
(ii)⇒(i) Seien s, t ∈ {0, ..., T} mit t ≤ s. Die F¨alle t = s bzw. t = s −1 sind klar. F¨ur t ≤s−2 gilt mit der Turmeigenschaft der bedingten Erwartung:
E[Ms| Ft] =E[E[· · ·E[E[Ms | Fs−1]| Fs−2]· · · | Ft+1]| Ft]
=E[E[· · ·E[Ms−1 | Fs−2]· · · | Ft+1]| Ft]
=· · ·=Mt Also ist M ein Martingal.
(i)⇒(iii) F =MT ist beispielsweise ein geeigneter Kandidat.
(iii)⇒(i) Seien s, t ∈ {0, ..., T} mit t ≤ s, dann gilt mit der Turmeigenschaft der bedingten Erwartung:
E[Ms| Ft] =E[E[F | Fs]| Ft] =E[F | Ft] =Mt. Also ist M ein Martingal.
