H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik L¨ osungsvorschl¨ age zum 5. ¨ Ubungsblatt

Institut f¨ ur Analysis

PD Dr. Peer Christian Kunstmann 18.11.2016

Dipl.-Math. Leonid Chaichenets Johanna Richter, M.Sc. Tobias Schmid, M.Sc.

H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik L¨ osungsvorschl¨ age zum 5. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 25:

(a) Es gilt

a_2k= 1

2k →0 und a_2k+1= 1

2^2k+1 →0.

Nach Aufgabe 19 gilt

n→∞lim a_n= lim

k→∞a_2k= lim

k→∞a_2k+1 = 0.

(b) Angenommen P∞

n=1(−1)ⁿa_n konvergiert. Bezeichne etwaa:= P∞

n=1(−1)ⁿa_n den Reihen- wert. F¨ur die 2N-te Partialsumme gilt

2N

X

n=1

(−1)ⁿan=

N−1

X

k=0

(−1)^2k+1a2k+1+

N

X

k=1

(−1)^2ka2k= 1 2

N

X

k=1

1 k−1

2

N−1

X

k=0

1 2^2k und folglich

N−1

X

k=0

1 4^k + 2

2N

X

n=1

(−1)a_n=

N

X

k=1

1 k. Nach Beispiel (1) aus dem Abschnitt 7.1 des Skriptes ist

∞

X

k=0

1

4^k = 1 1−¹₄ = 4

3 (geometrische Reihe). Nach Annahme ist P∞

n=1(−1)ⁿa_n konvergent. Dann ist also auch P∞

k=1 1

k konvergent (gegen ⁴₃ + 2a). Aber nach Beispiel (3) aus Abschnitt 7.1 des Skriptes ist P∞

k=1 1

k divergent (harmonische Reihe). Also muss die Annahme verworfen werden — P∞

n=1(−1)ⁿa_n ist divergent.

(c) Die Folge (an) ist nicht monoton fallend. Wegen 2^2k≥1 + 2k > k+ 1 ist a2k+1 = 1

2^2k+1 < 1

2k+ 2 =a2k+2

f¨ur jedes k∈N.

Aufgabe 26:

(a) F¨urn= 1 ist an= 2>0. F¨urn >1 ist √

n < n bzw. _n¹ < ^√1_n. Deshalb gilt a_n= 1

√n +(−1)ⁿ

n ≥ 1

√n− 1 n > 1

n− 1 n = 0.

Die Konvergenz von (an)n∈Ngegen 0 ist klar wegen ^√1_n →0 und ¹_n →0 f¨urn→ ∞.

(b) Nach dem Leibniz-Kriterium aus Abschnitt 7.5 des Skriptes ist die Reihe P∞ n=1

(−1)√ ⁿ n kon- vergent. W¨are die Reihe P

n=1(−1)ⁿa_n konvergent, so w¨are auch die Reihe

∞

X

n=1

(−1)ⁿa_n−

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n =

∞

X

n=1

1 n

konvergent. Nach Beispiel (3) aus Abschnitt 7.1 des Skriptes ist die harmonische Reihe P∞

n=1 1

n jedoch divergent. Also muss die ReiheP

n≥1(−1)ⁿan divergieren.

(c) Die Folge (a_n)n∈N ist nicht monoton fallend (keine leichte Rechnung).

Aufgabe 27:

(i) Sei N ∈N. F¨ur die N-te PartialsummeSN der Reihe gilt

S_N =

N

X

n=1

n (n+ 1)! =

N

X

n=1

n+ 1

(n+ 1)! − 1 (n+ 1)!

=

N

X

n=1

1 n!−

N

X

n=1

1 (n+ 1)!

Indexshift

=

N

X

n=1

1 n!−

N+1

X

n=2

1 n!

Teleskopsumme

= 1− 1

(N + 1)!. Folglich ist die Reihe konvergent und es gilt: P∞

n=1 n

(n+1)! = limN→∞S_N = 1.

(ii) SeiN ∈N. F¨ur die N-te PartialsummeS_N der Reihe gilt

S_N =

N

X

n=1 n

X

k=0

n k

1 2^n+k =

N

X

n=1 n

X

k=0

n k

1 2^n−k · 1

2^2k =

N

X

n=1 n

X

k=0

n k

1 2^n−k · 1

4^k

Binom.

=

N

X

n=1

1 2+1

4 n

=

N

X

n=1

3 4

n

=−1 +

N

X

n=0

3 4

n

.

Der zweite Summand ist die N-te Partialsumme der geometrischen Reihe P∞

n=0zⁿ mit 0< z = ³₄ <1. Nach Beispiel (1) aus Abschnitt 7.1 des Skriptes ist der Reihenwert der geometrischen Reihe in diesem Fall _1−z¹ = 4. Also ist die vorliegende Reihe konvergent und es giltP∞

n=1

Pn k=0

n k

₁

2^n+k = limN→∞SN =−1 +P∞ n=0 3

4

n

= 3.

Aufgabe 28:

(i) Sei N ∈N. F¨ur die N-te PartialsummeSN der Reihe gilt

S_N =

N

X

n=1

(n+ 1−ⁿ_e)e⁻ⁿ n(n+ 1) =

N

X

n=1

(n+ 1)e⁻ⁿ−ne⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

n(n+ 1) =

N

X

n=1

e⁻ⁿ n −

N

X

n=1

e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ (n+ 1)

Indexshift

=

N

X

n=1

e⁻ⁿ n −

N+1

X

n=2

e⁻ⁿ n

Teleskopsumme

= 1

e− 1

N + 1· 1 e^N+1. Folglich ist die Reihe konvergent und es giltP∞

n=1

(n+1−ⁿ_e)e⁻ⁿ

n(n+1) = lim_N→∞S_N = ¹_e. (ii) SeiN ∈N. F¨ur die N-te PartialsummeS_N der Reihe gilt

S_N =

N

X

n=1

(4x)ⁿ

(1 + 2|x|)ⁿ⁻¹ = 4x·

N

X

n=1

(4x)ⁿ⁻¹ (1 + 2|x|)ⁿ⁻¹

Indexshift

= 4x·

N−1

X

n=0

4x 1 + 2|x|

n

.

Der zweite Faktor ist die (N−1)-te Partialsumme der geometrischen Reihe P

n=0yⁿmit y= _1+2|x|^4x . Nach Beispiel (1) des Abschnittes 7.1 des Skriptes ist die geometrische Reihe genau dann konvergent, wenn|y|<1 ausf¨allt. Es gilt

|y|<1⇔ 4|x|

1 + 2|x| <1⇔4|x|<1 + 2|x| ⇔ |x|< 1 2. In diesem Fall betr¨agt der Reihenwert P∞

n=0yⁿ = _1−y¹ = ₁₋ ¹4x 1+2|x|

= 1+2(|x|−2x)^1+2|x| . Folglich gilt dann auchP∞

n=1

(4x)ⁿ

(1+2|x|)ⁿ⁻¹ = 4·1+2(|x|−2x)^x(1+2|x|) . Ist |y| ≥ 1, so ist x 6= 0. Folglich muss P

n≥1

(4x)ⁿ

(1+2|x|)ⁿ⁻¹ divergieren, da ansonsten die geometrische ReiheP∞

n=0yⁿ mit einem|y| ≥1 konvergent w¨are.

Aufgabe 29:

(i) Sei n∈N. Es gilt

(−1)ⁿ 2n

n

=

2n n

= (2n)!

(2n−n)!n! = (2n)!

(n!)² = Q_2n

j=1j Qn

j=1j 2 =

Q_2n

j=n+1j Qn

j=1j

Indexshift

=

Qn

j=1(n+j) Qn

j=1j =

n

Y

j=1

n+j

j =

n

Y

j=1

1 +n

j

| {z }

≥2

≥2ⁿ.

Wegen (2ⁿ) → ∞, ist (a_n)n∈N := (−1)^{n 2n}_n

n∈N keine Nullfolge. Nach Satz (4) aus Abschnitt 7.2 des Skriptes ist dies aber eine notwendige Bedingung daf¨ur, dass P∞

n=1an

konvergiert. Also istP∞

n=1an divergent.

(ii) F¨urn∈Ngilt

b_n := ⁿ s

n n+ 1

n²

= n

n+ 1 n

=

n+ 1 n+ 1− 1

n+ 1 n

=

1− 1 n+ 1

n+1

·

1− 1 n+ 1

−1

.

Wegen

1−_n+1¹ n+1

→ ¹_e (vgl. Aufgabe 21 (v)) und

1− _n+1¹ −1

→1 gilt lim sup

n→∞

b_n= lim

n→∞b_n= 1 e <1.

Folglich istP∞ n=1

n n+1

n²

nach dem Wurzelkriterium (absolut) konvergent.

(iii) F¨ur 0< a <1 und allen∈Ngilt 0< √ⁿ

a <1 und 0< ⁿ⁺¹√

a <1. Deshalb gilt

√n

a= ⁿ⁺¹ q

√n

an+1

= ⁿ⁺¹ q

a√ⁿ

a < ⁿ⁺¹√

a·1 = ⁿ⁺¹√ a.

Folglich ist (1−√ⁿ

a)n∈N (streng) monoton fallend. Ferner ist limn→∞ ⁿ

√a= 1. Nach dem Leibniz-Kriterium ist die alternierende ReiheP∞

n=1(−1)ⁿ(1− √ⁿ

a) konvergent.

Erinnerung (dritte binomische Formel — siehe (1) im Abschnitt 4.11 des Skriptes): F¨ur alleα, β∈Rund alle n∈N gilt

αⁿ−βⁿ= (α−β)·

n−1

X

k=0

α^n−1−k·β^k. (1)

Einsetzen von α= 1,β = √ⁿ

aund Umstellen nachα−β liefert (−1)ⁿ(1− √ⁿ

a)

= 1− √ⁿ

a= 1−a Pn−1

k=0

√n

ak

| {z }

≤1

≥ 1−a Pn−1

k=01 = (1−a)· 1 n.

Da die Reihe P

n≥1 1−a

n = (1−a)·P

n≥1 1

n divergent ist, liefert das Minorantenkrite- rium zusammen mit der obigen Absch¨atzung, dass P

n≥1(−1)ⁿ(1− √ⁿ

a) nicht absolut konvergent ist.

(iv) F¨urn∈Nsei a_n:= 1·3·5···(2n−1)^n! . Offenbar ista_n>0 und es gilt b_n:= a_n+1

a_n = (n+ 1)!

n! ·1·3·5· · ·(2n−1)

1·3·5· · ·(2n+ 1) = (n+ 1)· 1

2n+ 1= 1 +¹_n 2 +¹_n.

Wegen lim sup_n→∞b_n = limn→∞b_n = ¹₂ folgt mit dem Quotientenkriterium, dass die ReiheP∞

n=1 n!

1·3·5···(2n−1) (absolut) konvergent ist.

(v) F¨ur alle n≥3 gilt

a_n:= n+ 4

n²−3n+ 1 = n+ 4 n(n−3) + 1

| {z }

>0

≥ n n² = 1

n ≥0 und die harmonische ReiheP

n≥1 1

n ist nach der Vorlesung divergent. Folglich ist auch die ReiheP∞

n=1 n+4

n²−3n+1 divergent nach dem Minorantenkriterium.

(vi) F¨ur alle n∈Ngilt

(−1)ⁿ 1

n+ 3− 1 n+ 2

=

1

n+ 3− 1 n+ 2

=

(n+ 2)−(n+ 3) (n+ 3)(n+ 2)

= 1

(n+ 3)(n+ 2) ≤ 1 n² und die ReiheP

n≥1 1

n² ist konvergent nach Vorlesung. Die ReiheP∞

n=1(−1)ⁿh

1

n+3− _n+2¹ i ist nach dem Majorantenkriterium folglich auch absolut konvergent.

Aufgabe 30:

(i) Nat¨urlich ist P

n≥1 x²ⁿ

1+x⁴ⁿ konvergent f¨ur x = 0. Sei also im Folgenden x 6= 0. Dann ist y:=x² >0. F¨ur alle n∈Ngilt

x²ⁿ

1 +x⁴ⁿ = yⁿ

1 +y²ⁿ = 1

y⁻ⁿ+yⁿ = 1 1

y

n

+yⁿ .

Isty= 1, so gilt

x²ⁿ

1 +x⁴ⁿ = 1 1

y

n

+yⁿ

= 1

1ⁿ+ 1ⁿ = 1 2 und folglich ist (a_n)n∈N:=

x²ⁿ 1+x⁴ⁿ

n∈N

keine Nullfolge. Nach Satz (4) aus Abschnitt 7.2 des Skriptes ist dies aber eine notwendige Bedingung daf¨ur, dass P∞

n=1an konvergiert.

Also istP∞ n=1 x²ⁿ

1+x⁴ⁿ divergent f¨urx² ∈ {−1,1}.

Isty6= 1, so isty <1 oder ¹_y <1. O.B.d.A. sei y <1. Dann gilt x²ⁿ

1 +x⁴ⁿ = 1 1

y

n

+yⁿ

< 1 1

y

n =yⁿ. Die geometrische Reihe P

n≥1yⁿ mit dem Parameter |y| = y < 1 ist nach Beispiel (1) des Abschnittes 7.1 des Skriptes konvergent. Weil |a_n| < yⁿ f¨ur alle n ∈ N ausf¨allt, ist die Reihe P

n≥1a_n (absolut) konvergent nach dem Majorantenkriterium (Satz (1) aus Abschnitt 7.4 des Skriptes).

(ii) F¨urn∈Ngilt

b_n:= ⁿ v u u t

1 3ⁿ

1 +(−1)ⁿ n

n²

= 1 3

1 +(−1)ⁿ n

n

≤ 1 3

1 + 1

n n

und folglich ist lim sup

n→∞ bn≤lim sup

n→∞

1 3

1 + 1

n n

= 1 3 lim

n→∞

1 + 1

n n

= e 3 <1.

Nach dem Wurzelkriterium (vgl. Abschnitt 7.6 des Skriptes) ist P

n≥1 1 3ⁿ

1 +⁽⁻¹⁾_nⁿ n²

(absolut) konvergent.

(iii) Wegen

iⁿ n

= 1

n ∀n∈N ist die Reihe P

n≥1 iⁿ

n nicht absolut konvergent (P∞ n=1 1

n ist die harmonische Reihe aus Beispiel (3) im Abschnitt 7.1 des Skriptes).

Betrachte die N-te Partialsumme S_N = P_N

n=1iⁿ

n f¨ur N ∈ N. Die Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge (S_N)N∈N konvergent ist. Nach Aufgabe 19 gilt dies genau dann, wenn (S2N) und (S2N+1) gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Wir beginnen mit der Teilfolge (S_2N). Diese ist genau dann konvergent, wenn ihr Realteil und ihr Imagin¨arteil konvergent ist. F¨urN ∈Ngilt

S2N =

2N

X

n=1

iⁿ n =

N

X

n=1

i²ⁿ⁻¹ 2n−1 +i²ⁿ

2n

=

N

X

n=1

i²ⁿ⁻¹ 2n−1 +

N

X

n=1

i²ⁿ 2n

= 1

i ·

N

X

n=1

(i²)ⁿ 2n−1 +

N

X

n=1

(i²)ⁿ

2n = (−i)·

N

X

n=1

(−1)ⁿ 2n−1 +

N

X

n=1

(−1)ⁿ 2n

=

N

X

n=1

(−1)ⁿ 2n

| {z }

=Re(S2N)

+i·

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ 2n−1

| {z }

=Im(S2N)

.

Also ist Re(S2N) gerade die N-te Partialsumme der Reihe P∞ k=1

(−1)^k

2k . Diese ist nach dem Leibniz-Kriterium (siehe Abschnitt 7.5 des Skriptes) konvergent. Ferner ist Im(S_2N) gerade die N-te Partialsumme der Reihe P∞

k=1

(−1)^k−1

2k−1 = (−1)·P∞ k=1

(−1)^k

2k−1. Diese ist ebenfalls konvergent nach dem Leibniz-Kriterium. Damit ist (S2N) konvergent.

Schließlich gilt

Nlim→∞S_2N+1= lim

N→∞S_2N + i^2N+1

2N + 1 = lim

N→∞S_2N + i· lim

N→∞

(−1)^N 2N + 1

| {z }

=0

= lim

N→∞S_2N.

Also ist die ReiheP∞ n=1 iⁿ

n konvergent.

(iv) F¨urn∈Nsei a_n:= _(3n)^(2n)!nn!. Offenbar ista_n>0 und es gilt a_n+1

a_n = (2(n+ 1))!

(3(n+ 1))ⁿ⁺¹(n+ 1)! ·(3n)ⁿn!

(2n)! = (2n+ 2)!

(2n)! · n!

(n+ 1)! · (3n)ⁿ (3(n+ 1))ⁿ⁺¹

= (2n+ 2)(2n+ 1)

n+ 1 · (3n)ⁿ

(3(n+ 1))ⁿ⁺¹ = 2(n+ 1)(2n+ 1)

n+ 1 · 1

3n· (3n)ⁿ⁺¹ (3(n+ 1))ⁿ⁺¹

= 4 3 ·

1 + 1

2n

· n

n+ 1 n+1

= 4 3·

1 + 1

2n

·

1− 1 n+ 1

n+1

.

Ferner ist lim sup

n→∞

an+1

a_n

= lim

n→∞

an+1

a_n

= 4 3 · lim

n→∞

1 + 1

2n

| {z }

=1

· lim

n→∞

1− 1 n+ 1

n+1

| {z }

=¹_e

= 4 3e.

Dae >2 ist lim sup_n→∞

an+1

an

< ²₃ <1. Mit dem Quotientenkriterium (siehe Abschnitt 7.7 des Skriptes), dass die ReiheP∞

n=1 (2n)!

(3n)ⁿn! (absolut) konvergent ist.

(v) F¨ur alle n∈Ngilt an= (√

n−2)² n²+√

n⁴+ 1 =

n(1− ^√2_n)² n²+n²

q 1 +_n¹4

=

(1−^√2_n)² n

1 +

q 1 +_n¹4

. F¨ur die Klammer im Nenner gilt 1 +

q

1 +_n¹4 ≤1 +√

2<3. F¨ur den Z¨ahler gilt abn≥9

1− 2

√n 2

= 4 1

2 − 1

√n

≥4 1

2− 1

√9

= 2 3. Deshalb folgtan≥ ²_9n¹ f¨ur fast allen∈N. Die harmonische ReiheP∞

n=1 1

n ist nach Beispiel (3) im Abschnitt 7.1 des Skriptes divergent. Folglich ist auch die Reihe P∞

n=1 (√

n−2)² n²+√

n⁴+1

divergent nach dem Minorantenkriterium (siehe Satz (2) im Abschnitt 7.4 des Skriptes).

(vi) Wir zeigen vorbereitend, dass

n+1√

n+ 1< √ⁿ n f¨ur alle n≥3. Sei dazu n≥3 beliebig. Es gilt

n+1√

n+ 1< √ⁿ

n ⇔ n > ⁿ⁺¹√

n+ 1n

= ⁿ⁺¹p

(n+ 1)ⁿ

⇔ nⁿ⁺¹ >(n+ 1)ⁿ

⇔ n >

n+ 1 n

n

=

1 +1 n

n

. Nach Abschnitt 6.6 des Skriptes ist limn→∞ 1 +_n¹n

=e <3 und 1 +_n¹n

n∈Nmonoton wachsend. Damit gilt tats¨achlich

n≥3>

1 + 1

n n

f¨ur alle n≥3.

Die Reihenglieder an = ⁿ

√n−ⁿ⁺¹√ n+1

n sind nach Obigem ab n = 3 positiv. Da es bei Konvergenzfragen auf endlich viele Reihenglieder nicht ankommt, istP∞

n=1a_ngenau dann konvergent, wenn sie absolut konvergent ist bzw. wennP∞

n=3a_n konvergent ist.

F¨ur die N-te PartialsummeS_N der letzten Reihe gilt

S_N =

N

X

n=3

√n

n− ⁿ⁺¹√ n+ 1

n =

N

X

n=3

√n

n n −

N

X

n=3

n+1√ n+ 1

n ≤

N

X

n=3

√n

n n −

N

X

n=3

n+1√ n+ 1 n+ 1

Indexshift

=

N

X

n=3

√n

n n −

N+1

X

n=4

√n

n n

Teleskopsumme

=

√3

3 3 −

N+1√ N + 1 N + 1 ≤

√3

3 3 . Also ist (S_N) nach oben beschr¨ankt. Nach Satz 7.2 (1) des Skriptes istP∞

n=3a_nkonvergent.

Also ist die ReiheP∞ n=1

n√ n−ⁿ⁺¹√

n+1

n (absolut) konvergent.

http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm1phys2016w/