L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 10

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 10

J. Widenmann

Aufgabe 1:

a) Damit P^∗ ein ¨aquivalentes Martingalmaß ist, muss gelten:

– ( ¯X_t)_t=0,1,2ist adaptiert: Dies gilt jedoch nach Voraussetzung und ist unabh¨angig vom jeweiligen Wahrscheinlichkeitsmaß.

– F¨ur t= 0,1,2 ist X_t¹ integrierbar bzgl. P^∗: X_t¹ nimmt jedoch nur endlich viele Werte in R⁺ an. Die Integrierbarkeit folgt somit unmittelbar.

– F¨ur t= 0,1:

EP^∗[S_t+1¹ |F_t] =S_t¹+EP^∗[Y_t+1| F_t] =S_t¹ Die letzte Gleichung impliziert:

3·P^∗(Yt+1 = 3| Ft)− 1

3·(1−P^∗(Yt+1 = 3)) = 0

⇔P^∗(Yt+1 = 3| Ft) = 1 10.

Man erkennt, dass Y_t+1 unabh¨angig von F_t ist und somit insbesondere Y₂ von Y₁. Außerdem ist P^∗ eindeutig undY₁ und Y₂ sind identisch verteilt unter P^∗, denn es gilt z.B.

P^∗(Y_t= 3) =E^∗[P(Y_t= 3| F_t−1)] =E^∗[ 1 10] = 1

10. .

Folglich gilt f¨ur die Dichte:

dP^∗

dP = 4 1

1001^{(1,1)} + 9

1001^{(1,−1)}+ 9

1001^{(−1,1)}+ 81

1001^{{(−1,−1)}}

b) Es gilt

U₂^P∗ =C₂ = 1

3 ·1{Y₁=3,Y2=−¹

3}+2

3 ·1{Y₁=−¹

3,Y2=−¹

3}

U₁^P∗ = max{0, 3

10} ·1^{Y1=3}+ max{1 3,3

5} ·1{Y1=−¹₃} = 3

10·1^{Y1=3}+ 3

5·1{Y1=−¹₃}

U₀^P∗ = max{0, 57

100}= 57 100 Somit ist der ”arbitragefreie Preis“ der Option U₀^P∗ = ₁₀₀⁵⁷ .

c) Es gilt

τ_min = min{t|U_t^P∗ =C_t}= 2 Außerdem gilt

τ_max = inf{t|U_t^P∗ 6=EP^∗[U_t+1^P∗ | F_t]} ∧2 = 2

Da f¨ur jede optimale Stoppzeit τ^∗ ∈ T nach Vorlesung τ_min ≤ τ^∗ ≤ τ_max gilt, ist die Menge der optimalen Aus¨ubungszeitpunkte die einelementige (deterministische) Menge {2}.

Aufgabe 2:

a) Die Snell’scheP^∗-Einh¨ullende (U_t^P∗)_t=0,...,T zum (diskontierten) amerikanischen Claim (H_t)_t=0,...,T =

Ct

S_t⁰

t=0,...,T

ist rekursiv definiert durch:

• U_T^P∗ =H_T

• U_t^P∗ =H_t∨EP^∗[U_t+1^P∗ | F_t] t= 0, ..., T −1

b) U_t^P∗ ist der minimale Kapitalbetrag, den der Verk¨aufer des amerikanischen Claims zu jedem Zeitpunkt t ∈ {0, ..., T} halten muss, um sich gegen das Risiko jedes m¨oglichen Payoffs H_τ, τ ∈ T ={τ Stoppzeit :τ ≤T} abzusichern:

– Zum letztm¨oglichen AuszahlungszeitpunktT muss erHT zur Verf¨ugung halten.

– Zu beliebigen Zeitpunkt t ≤ T −1 muss zum einen U_t^P∗ ≥ H_t gelten, falls der K¨aufer die Option zum Zeitpunkt t aus¨ubt. Zum anderen muss U_t^P∗ ≥ EP^∗[U_t+1^P∗ | F_t] gelten, um (vollst¨andiger Markt!!!) den zuk¨unftigen Kapitalbe- darf durch eine Hedging-Strategie decken zu k¨onnen.

Diese R¨uckw¨arts-Iteration ergibt die Definition der Snell’schen P^∗-Einh¨ullenden.

c) Zun¨achst bestimmen wir die MengeP der zuP¨aquivalenten Martingalmaße. Damit (X_t¹)t=0,1,2 ein Martingal unter P^∗ ist, m¨ussen die folgenden Eigenschaften gelten:

– ( ¯X_t)_t=0,1,2ist adaptiert: Dies gilt jedoch nach Voraussetzung und ist unabh¨angig vom jeweiligen Wahrscheinlichkeitsmaß.

– F¨ur t= 0,1,2 ist X_t¹ integrierbar bzgl. P^∗: X_t¹ nimmt jedoch nur endlich viele Werte in R⁺ an. Die Integrierbarkeit folgt somit unmittelbar.

– F¨ur t= 0,1 muss gelten:

EP^∗[X_t+1¹ |F_t] =X_t¹·EP^∗[Y_t+1| F_t] =X_t¹ Die letzte Eigenschaft impliziert:

3·P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 3) + 2·P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 3) + 1

2·P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 3) = 1 3·P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 2) + 2·P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 2) + 1

2·P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 2) = 1 3·P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 1

2) + 2·P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 1 2) + 1

2·P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 1 2) = 1 3·P^∗(Y₁ = 3) + 2·P^∗(Y₁ = 2) +1

2 ·(1−P^∗(Y₁ = 3)−P^∗(Y₁ = 2)) = 1

Mit p⁺ := P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 3) ∈ (0,¹₃), p⁰ := P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 2) ∈ (0,¹₃), p⁻ :=

P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = ¹₂)∈(0,¹₃), sowie p:=P^∗(Y₁ = 2)∈(0,¹₃) erhalten wir somit P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 3) = 1

5 − 3

5p⁺, P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 3) = 4 5− 2

5p⁺ P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 2) = 1

5 − 3

5p⁰, P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 2) = 4 5 −2

5p⁰ P^∗(Y₂ = 3|Y₁ = 1

2) = 1 5− 3

5p⁻, P^∗(Y₂ = 1

2|Y₁ = 1 2) = 4

5− 2 5p⁻ P^∗(Y₁ = 3) = 1

5− 3

5p, P^∗(Y₁ = 1 2) = 4

5− 2 5p

Nun bestimmen wir f¨ur beliebiges P^∗ ∈ P die Snell’sche P^∗-Einh¨ullende U^P∗ der amerikanischen Up-and-In Call Option. Es gilt:

–

U₂^P∗ =H2

=16·1^{Y1=3,Y2=3} + 10·1^{Y1=3,Y2=2}+1{Y1=3,Y2=¹₂}

+10·1^{Y1=2,Y2=3} + 6·1^{Y1=2,Y2=2}

–

U₁^P∗ =H₁∨EP^∗[U₂^P∗|F₁]

= max(4,4)·1^{Y1=3}+ max(2,2)·1^{Y1=2}+ max(0,0)·1{Y₁=¹₂}

= 4·1{Y1=3}+ 2·1{Y1=2}

–

U₀^P∗ =H₀∨EP^∗[U₁^P∗]

= max(0,4 5 − 2

5p)

= 4 5 − 2

5p Somit gilt

π_inf^H = inf

P^∗∈PU₀^P∗ = inf

p (4 5 −2

5p) = 2 3 π_sup^H = sup

P^∗∈P

U₀^P∗ = sup

p

(4 5 −2

5p) = 4 5

Da außerdem der Wert ²₃ f¨ur keine Wert vonp∈(0,¹₃) angenommen wird, gilt Π(H) = (2

3,4 5).

Aufgabe 3:

a) Monotonie: Sei Z ≥ Y. Dann gilt f¨ur alle m ∈ R mit P(m+Y < 0) ≤ α auch P(m+Z <0) ≤ α. Insbesondere gilt {m|P(m+Y < 0)≤ α} ⊆ {m|P(m+Z <

0)≤α} und somit VaR_α(Y)≥VaR_α(Z).

Cash-Invarianz: Sei a ∈ R. Dann gilt f¨ur alle m ∈ R mit P(m+Y < 0)≤ α, dass (m−a)∈RundP(m−a+Y+a <0)≤α. Deshalb gilt VaR_α(Y+a) = VaR_α(Y)−a.

b) Es gilt VaR_α(X) = 0, denn P(X <0) =P(X =−100.000) = 0,008≤0,01.

c) Analog zu b) erhalten wir VaR_α(X_i) = 0, i= 1,2. SeiY := ^X1+X₂ ². Die Wahrschein- lichkeit, dass Y einen Wert echt kleiner 0 annimmt ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Unternehmen ausf¨allt. Da wir den Ausfall der Unternehmen als unabh¨angig angenommen haben, gilt:

P(Y <0) =P(X₁ <0)P(X₂ = 0) +P(X₁ <0)P(X₂ <0) +P(X₁ = 0)P(X₂ <0)

= 0,008(2·0,992 + 0,008) = 0,015036>0,01. Wir erhalten VaRα(Y) = 25.000, denn es gilt

P(Y + 25.000<0) =P(Y <−25.000) =P(Y =−50.000)

= 0,008² = 0,000064<0,01, und f¨ur allem <25.000 giltP(Y <−m) = 0,015036>0,01.

Somit haben wir gezeigt, dass VaR_α nicht konvex ist, denn VaR_α(Y) = 25.0000 = 1

2(VaR_α(X₁) + VaR_α(X₂)), d.h. VaR_α ”bestraft“ den Anleger bei Diversifikation seines Portfolios.

Aufgabe 4:

2) + 3)⇒1) Klar.

1) + 2)⇒3) Es gilt

ϕ(X+Y) =ϕ(1

2(X+Y) + 1

2(X+Y))^Konv.≤ 1

2ϕ(X+Y) + 1

2ϕ(X+Y)

Pos. Hom.

= ϕ(1 2X+ 1

2Y) +ϕ(1 2X+1

2Y)^Konv.≤ 1

2ϕ(X) + 1

2ϕ(Y)1

2ϕ(X) + 1 2ϕ(Y)

=ϕ(X) +ϕ(Y)

1) + 3)⇒2) F¨urλ≥0 ist zu zeigen, dass ϕ(λX) = λϕ(X) gilt.

(i) Die F¨alle λ = 0 undλ= 1 sind klar.

(ii) “≤”: Wir schreibenλ >0 alsλ=bλc+ ˜λ, wobeibxcwie gew¨ohnlich die gr¨oßte nat¨urliche Zahl kleiner alsxist. Dann gilt ˜λ∈[0,1]. Wegen der Subadditivit¨at bzw. der Normalisierung gilt f¨ur jede nat¨urliche Zahln ∈N: ϕ(nX)≤nϕ(X).

Zusammen mit der Konvexit¨at und der Normalisierung erhalten wir somit ins- gesamt

ϕ(λX) =ϕ(bλcX+ ˜λX ^Subadd.≤ ϕ(bλcX) +ϕ(˜λX)

≤bλcϕ(X) + ˜λϕ(X) = λϕ(X)

(iii) “≥” f¨urλ >1:

Wegen der Konvexit¨at und der Normalisierung gilt:

ϕ(X) =ϕ( 1 λ

|{z}

<1

λX)≤ 1

λϕ(λX)

⇔λϕ(X) =ϕ( 1 λ

|{z}≤1

λX)≤ϕ(λX)

(iv) “≥” f¨urλ∈(0,1):

Mit (ii) und (iii) gilt also ϕ(σX) = σϕ(X) f¨ur alle σ > 1. F¨ur λ ∈ (0,1) gilt dann aber

ϕ(λX) = ϕ( 1 λ

|{z}>1

λX)^(ii)+(iii)= 1

λϕ(λX)