Finanzmathematik I
L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 2
J. Widenmann
Aufgabe 1:
i)⇒ii) Seiη ∈Rd+1 eine Arbitragestrategie. Dann gilt f¨ur πi >0, Si >0 : ηπ
πi ≤0, ηS
Si ≥0P-f.s. und P
ηS Si >0
>0.
Dann folgt offensichtlich ηS
Si−ηπ
πi ≥0P-f.s. und P
η S
Si − π πi
>0
=P
ηS
Si > ηπ πi
≥P
ηS Si >0
>0.
Folglich ist ξ:=η die gesuchte Arbitrage Strategie im diskontierten Markt.
ii)⇒i) Wir behauptenη = (η0, . . . , ηd) := (ξ0, ξ1, . . . , ξi−1, ξi−ξππi, ξi+1, . . . , ξd)∈ Rd+1 ist eine Arbitrage Strategie. Tats¨achlich gilt
η π =ξ π−ξ π = 0.
Weiterhin gilt:
η S =Siξ S
Si − π πi
≥0P-f.s.
Analog folgt auch P(η S >0)>0.
Aufgabe 2:
a) “⊇” Sei Pe∗ ∈n Pe∗
deP∗
dP = E S1
P∗[S1] f¨ur ein P∗ ∈ Po
, dann gilt EeP∗
Si S1
=EP∗
Si S1
S1 EP∗[S1]
= EP∗[Si]
EP∗[S1] = (1 +r)πi (1 +r)π1 =πei, also Pe∗ ∈Pe
“⊆” Sei nun eP∗ ∈ P, dann definieren wir ein MaßP∗ mit der Dichte (!) dP∗
deP∗
:= (1 +r)π1 S1 . Dann gilt wie bei “⊇00, dass P∗ ∈ P, denn
EP∗[ Si
1 +r] =EeP∗[Si
S1]π1 =eπiπ1 =πi.
Wir haben also ein Maß P∗ ∈ P definiert, so dass gilt (beachte ¨U-Blatt 1, Aufgabe 2)
deP∗
dP∗ = S1
(1 +r)π1 = S1 EP∗[S1] , also Pe∗ ∈n
eP∗
deP∗
dP = E S1
P∗[S1] f¨ur ein P∗ ∈ Po b)”⇐“: Folgt direkt aus Teil a).
”⇒“: Ist S1 nicht P-f.s. konstant, dann gilt mit der Jensen’sche Ungleichung, ange- wandt auf f(x) = 1+rx ,
1 +r
EP∗[S1] = 1
π1 =πe0 =EPe∗
1 +r S1
> 1 +r EeP∗[S1], und somit EeP∗[S1]>EP∗[S1] f¨ur alle eP∗ ∈Pe und P∈ P. Daraus folgt P ∩Pe=∅.
Aufgabe 3:
a) Wegen π1 = 12(X1(ω1) +X1(ω3)) muss mit P∗(X1 = 1) :=p∗ >0 gelten:
P∗(X1 = 0) =P∗(X1 = 2) = 1−p∗ 2 . Somit gilt f¨ur einen arbitragefreien Preis π2 der Option S2:
π2 = 1−p∗
2 ·0 +p∗·0 + 1−p∗
2 ·1 = 1−p∗ 2
F¨urp∗ →1 erhalten wirπ2 = 0 und f¨urp∗ →0π2 = 12. Aus der Vorlesung wissen wir jedoch, dass die Arbitragegrenzen im vorliegenden Fall nicht angenommen werden, also gilt
Π2 =
0,1 2
.
b) Π2 = (0,12), wie aus der folgenden Abbildung deutlich wird:
Aufgabe 4:
a) Die Menge Π der arbitragefreien Preise (π1, π2) lautet:
Π ={(x, y)∈R2|x >0, y >0, x−1< y < x},
wie aus der folgenden Abbildung deutlich wird. F¨ur Π2 lesen wir unter der Annahme π1 = 112 außerdem direkt ab, dass Π2 = (12,112).
b) Nun zu den ¨aquivalenten Martingalmaßen:
Sei (π1, π2) ∈ M. Wir w¨ahlen a ∈ (0,1) und b > 1 so, dass (π1, π2) = α·(a,0) + (1−α)·(b, b−1) f¨ur ein α >0.
1. Variante: Direkte Konstruktion eines zur gemeinsamen Verteilung von (1+rS1 ,1+rS2 )
¨
aquivalenten Martingalmaßes im R2:
Wir w¨ahlen Maße µ mit Tr¨ager [0,1] und ν mit Tr¨ager [1,∞), so dass der Erwar- tungswert von µgerade a und der Erwartungswert von ν gerade b ist.
Z.B. liefert die Beta-Verteilung mit Dichte dµ
dλ(x) = 1
B(0,1, a,1−a)xa−1(1−x)−a1[0,1](x), auf [0,1] f¨ur µdas Gew¨unschte. Dabei steht B(0,1, a,1−a) = R1
0 ua−1(1−u)−adu f¨ur die (allgemeine) Betafunktion.
Die Exponentialverteilung mit Dichte dν
dλ(x) = 1 b−1exp
−x−1 b−1
1[1,∞)(x). auf [1,∞) liefert f¨urν das Gew¨unschte (bitte nachpr¨ufen!).
Dabei ist λ jeweils das Lebesguemaß auf R.
Nun definieren wir ein Maß ρ∗ auf (R2,B(R2)) durch ρ∗(A) :=α
Z
R2
1A(x, y)1[0,1]×{0}(x, y)d(µ×δ0)(x, y)+
(1−α) Z
R2
1A(x, y)1{[1,∞)}×{x−1}(x, y)d(δx−1×ν)(y, x).
ρ∗ hat denselben Tr¨ager wie P(S1,S2) und ist damit ¨aquivalent zur Verteilung von (S1, S2) unter P. Nach dem Satz von Radon Nikodym existiert folglich eine Dichte
f := dρ∗ dPS
>0 PS−f.s. .
Nun definieren wir ein zu P¨aquivalentes Maß P∗ auf (Ω,F) durch dP∗
dP
=f S1
1 +r, S2 1 +r
>0. Dann ist
E∗ S1
1 +r
=E S1
1 +rf S1
1 +r, S2 1 +r
= Z
R2
xf(x, y)dP(S1,S2)(x, y) = Z
R2
xdρ∗(x, y) = π1. Eine analoge Rechnung f¨ur 1+rS2 zeigt, dass P∗ ein ¨aquivalentes Martingalmaß ist.
2. (elegante) Variante:
Wir definieren f :R→R+,
f(x) := α
B(0,1, a,1−a)xa−1(1−x)−a1[0,1](x) + (1−α) b−1 exp
−x−1 b−1
1[1,∞)(x). Sei fS1
1+r
die Dichte von 1+rS1 . Dann definiert dP∗
dP := f(1+rS1 ) fS1
1+r
(1+rS1 ) >0 ein zu P ¨aquivalentes MaßP∗. Außerdem gilt:
E S1
1 +rf S1
1 +r
= Z ∞
0
xf(x)dx=αa+ (1−α)b=π1 und
E S2
1 +rf S1
1 +r
= Z ∞
0
(x−1)f(x)dx= (1−α)(b−1) = π2. Daher ist P∗ ein ¨aquivalentes Martingalmaß.
