L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 6

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 6

J. Widenmann

Aufgabe 1:

a) F¨urA∈ F_t⊆ F gilt Q(A) =EP

1A

dQ dP _F

t

=EP

1A

dQ dP

=EP

1AEP

dQ dP

F_t

. Da ^dQ

dP

_F

t nach Definition F_t-messbar ist, ist ^dQ

dP

_F

t nach Definition der bedingten Erwartung also eine Version von EP

_dQ

dP|F_t . b) Folgt unmittelbar aus a).

Aufgabe 2:

a) “⊇⁰⁰ SeiPe^∗ ∈

Pe^∗

deP^∗ dP^∗ = ^X_X^T11

0 f¨ur einP^∗ ∈ P

. Zun¨achst bemerken wir, dass_X1 t

X₀¹

t=0,...,T

ein P^∗-Martingal ist f¨ur jedes P^∗ ∈ P. Insbesondere gilt EP^∗

h_X1 T

X₀¹

i

= 1 und dPe^∗

dP^∗ = X_T¹ X₀¹

definiert tats¨achlich ein zu P^∗ (und somit auch zu P) ¨aquivalentes W’maß Pe^∗. Mit Aufgabe 5, Blatt 1 (Bayes-Formel) erhalten wir f¨ur 0 ≤s ≤t≤T:

EPe^∗

Y¯_t|F_s

= EP^∗

hY¯_t^de_dP^P∗∗|F_si EP^∗

hdeP^∗

dP^∗|F_si = X₀¹ X_s¹EP^∗

"

EP^∗

"

Y¯_tdPe^∗ dP^∗

F_t

#

F_s

#

= X₀¹ X_s¹EP^∗

"

Y¯_tEP^∗

"

deP^∗ dP^∗

F_t

#

F_s

#

= X₀¹ X_s¹EP^∗

Y¯_tX_t¹

X₀¹

F_s

= 1 X_s¹EP^∗

Y¯_tX_t¹|F_s

= 1 X_s¹EP^∗

X¯_t|F_s

= 1 X_s¹

X¯_s = ¯Y_s

Somit ist Pe^∗ ∈Pe.

“⊆⁰⁰ Sei Pe^∗ ∈ Pe. Wir bemerken, dass wegen _X¹1 T

= Y_T⁰ der Prozess _X1 0

X_t¹

t=0,...,T

ein Pe^∗- Martingal ist. Nun definieren wir ein zu Pe^∗ ¨aquivalentes W’Maß P^∗

durch _X^X011

T (!). Dann gilt analog mit Aufgabe 5, Blatt 1 (Bayes Formel) f¨ur 0≤s≤t≤T:

EP^∗

X¯_t|F_s

= EPe^∗

hX¯_t^dP∗

deP^∗|F_si EPe^∗

hdP^∗

deP^∗|F_si = X_s¹ X₀¹EPe^∗

EPe^∗

X¯_tdP^∗

deP^∗

F_t

F_s

= X_s¹ X₀¹EPe^∗

X¯_tEPe^∗

dP^∗ dPe^∗

F_t

F_s

= X_s¹ X₀¹EPe^∗

X¯_tX₀¹

X_t¹

F_s

=X_s¹EPe^∗

Y¯_t|F_s

=X_s¹Y¯_s = ¯X_s

Folglich ist P^∗ ∈ P und es gilt f¨ur die Dichte von Pe^∗ bez¨uglich P^∗ (vergleiche Blatt 1, Aufgabe 2):

dPe^∗

dP^∗ = X_T¹ x¹₀ Also ist Pe^∗ ∈

Pe^∗

deP^∗ dP^∗ = ^X_X^T11

0 f¨ur einP^∗ ∈ P

b) Vergleiche Blatt 2, Aufgabe 2b).

Aufgabe 3:

a) Eine geeignete Modellierung, analog zur Modellierung in ¨Ubungsstunde ¨U6, lautet:

Sei Ω = {−1,1}² = {ω = (y1, y2) | yi ∈ {−1,1}}. Wir definieren Yt(ω) := yt f¨ur ω = (y₁, y₂) (Projektion auf die t-Koordinate). Sei nun

Z_t(ω) :=a1 +Y_t(ω)

2 + 1

a

1−Y_t(ω)

2 .

Dann ist Z_t(ω) = a, falls Y_t(ω) = 1 und Z_t(ω) = ¹_a, falls Y_t(ω) = −1. Unser Preisprozess S¹ kann dann geschrieben werden als

S_t¹ :=S₀¹

t

Y

k=1

Z_k =

t

Y

k=1

Z_k.

Als Filtration definieren wir F_t := σ(S₀¹, ..., S_t¹), so dass insbesondere F₀ = {∅,Ω}

und F1 =σ(Y1) =σ(Z1) undF :=F2 =σ(Y1, Y2) = P(Ω).

P ist wegen F = σ(Y₁, Y₂) und durch die implizite Forderung der Unabh¨angigkeit der Projektionen Y_t durch deren Verteilung PYt = ¹₂(δ₁+δ−1) eindeutig festgelegt.

b) Nach dem FTAP ist der Markt genau dann arbitragefrei, wenn ein zuP¨aquivalentes Martingalmaß P^∗ existiert, d.h. falls

X_t=EP^∗[X_t+1| F_t] f¨ur allet ≤2 gilt. Nun ist aber

X_t+1 =S_t+1 =

t+1

Y

k=1

Z_k = X_t

Ft-messbar|{z}

·Z_t+1.

und somit

X_t =^! EP^∗[X_t+1| F_t] =X_tEP^∗[Z_t+1| F_t] Dies ist ¨aquivalent zu (vgl. Bsp. ¨U 1.4.4)

1 = EP^∗[Z_t+1| F_t] =aP^∗(Z_t+1 =a|F_t) + 1

a(1−P^∗(Z_t+1 =a|F_t)) und folglich

P^∗(Z_t+1 =a|F_t) = 1

a+ 1 ∈(0,1 2)

Dies bedeutet aber, dass Z_t+1 unter P^∗ unabh¨angig vonF_t und somit vonZ₁, ..., Z_t ist. Folglich sind die ZV Z_t unter P^∗ i.i.d mit

P^∗(Z_t=a) = 1

a+ 1 =:p^∗.

Folglich ist P^∗ eindeutig charakterisiert und ein zu P ¨aquivalentes Martingalmaß.

Der Markt ist somit arbitragefrei.

Aufgabe 4:

a) Eine geeignete Modellierung, ¨ahnlich der Modellierung in ¨Ubungsstunde ¨U6, lautet:

Sei Ω ={−1,1}³ ={ω = (y₁, y₂, y₃) | y_i ∈ {−1,1}}. Wir definieren Y_t(ω) :=y_t f¨ur ω = (y₁, y₂, y₃) (Projektion auf die t-Koordinate). Sei nun

Z_t(ω) := u1 +Y_t(ω)

2 +d1−Y_t(ω)

2 .

Dann ist Z_t(ω) = u, falls Y_t(ω) = 1 und Z_t(ω) = d, falls Y_t(ω) = −1. Unser Preisprozess S¹ kann dann geschrieben werden als

S_t¹ :=S₀¹+

t

X

k=1

Zk = 5 +

t

X

k=1

Zk.

Als Filtration definieren wir F_t := σ(S₀¹, ..., S_t¹), so dass insbesondere F₀ = {∅,Ω}

und F_t = σ(Y₁, ..., Y_t) = σ(Z₁, ..., Z_t), t = 1,2,3. F :=F₃ stimmt mit der Potenz- menge auf Ω ¨uberein.

Pist wegenF =σ(Y₁, ..., Y₃) und durch die implizite Forderung der Unabh¨angigkeit der Projektionen Y_t durch deren Verteilung PYt = ³₄δ₁+¹₄δ−1 eindeutig festgelegt.

b) Nach dem FTAP ist der Markt genau dann arbitragefrei, wenn ein zuP¨aquivalentes Martingalmaß P^∗ existiert, d.h. falls

X_t=EP^∗[X_t+1| F_t] f¨ur allet ≤2 gilt. Nun ist aber

X_t+1 =S_t+1 = 5 +

t+1

X

k=1

Z_k = X_t

|{z}

Ft-messbar

+Z_t+1.

und somit

X_t=^! EP^∗[X_t+1| F_t] =X_t+EP^∗[Z_t+1| F_t] Dies ist ¨aquivalent zu

0 =EP^∗[Z_t+1| F_t] =uP^∗(Z_t+1 =u|F_t) +d(1−P^∗(Z_t+1 =u|F_t)) und folglich

P^∗(Z_t+1 =u|F_t) = d d−u

Dies bedeutet aber, dass Z_t+1 unter P^∗ unabh¨angig vonF_t und somit vonZ₁, ..., Z_t ist. Folglich sind die ZV Z_t unter P^∗ i.i.d mit

P^∗(Zt=u) = d

d−u =:p^∗.

Wegen d < 0 < u folgt, dass p^∗ ∈ (0,1) gelten muss. Folglich ist P^∗ ein zu P

¨aquivalentes Martingalmaß und der Markt somit arbitragefrei.

c) Es gilt F1 = σ(Y1) = σ({Y1 = 1},{Y1 = −1}), sowie F2 = σ(Y1, Y2) = σ({Y1 = 1, Y₂ = 1},{Y₁ = 1, Y₂ =−1},{Y₁ = −1, Y₂ = 1},{Y₁ = −1, Y₂ =−1}). Außerdem sind Y_t, t = 1,2,3 unter P und P^∗ i.i.d mit P(Y_t = 1) = ³₄ bzw. P(Y_t = 1) = ¹₅ (wegen u= 2 und d=−¹₂). Somit erhalten wir mit Beispiel ¨U 1.4.4:

EP

X₂¹|F1

= 67

8 ·1^{Y1=1}+47

8 ·1^{Y1=−1} , EP

X₃¹|F1

= 39

4 ·1^{Y1=1}+29

4 ·1^{Y1=−1} , EP

X₃¹|F2

= 83

8 ·1^{Y1=1,Y2=1}+ 63

8 ·1^{Y1=1,Y2=−1}∪{Y1=−1,Y2=1}+ 43

8 ·1^{Y1=−1,Y2=−1}

EP^∗

X₂¹|F₁

=X₁¹ = 7·1^{Y1=1}+ 4,5·1^{Y1=−1}

EP^∗

X₃¹|F₁

=X₁¹ = 7·1^{Y1=1}+ 4,5·1^{Y1=−1}

EP^∗

X₃¹|F2

=X₂¹ = 9·1^{Y1=1,Y2=1}+ 6,5·1^{Y1=1,Y2=−1}∪{Y1=−1,Y2=1} + 4·1^{Y1=−1,Y2=−1}