L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 9

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 9

J. Widenmann

Aufgabe 1:

a) Da wir uns in einem Binomialmodell befinden, wissen wir, dass f¨ur t= 1,2 gilt:

P^∗(Y_t= 4) = 1

5 und P^∗(Y_t= 1 4) = 4

5 Folglich gilt f¨ur dich Dichte:

dP^∗ dP = 4

25·1{(1,1)}+16

25 ·1{(1,−1),(−1,1)}+ 64

25·1{(−1,−1)}. Weiter gilt

U₂^P∗ =C₂ = 1·1^{Y1=Y2=4}+ 1·1{Y1=4,Y2=¹₄}+ 1

4·1{Y1=¹₄,Y2=4}+ 1

16·1{Y1=Y2=¹₄}, U₁^P∗ = max(1,1)·1^{Y1=1}+ max(1

4, 1

10)·1{Y1=¹₄} = 1·1^{Y1=1}+1

4 ·1{Y1=¹₄}, U₀^P∗ = max(1,2

5) = 1.

Somit gilt f¨ur die Menge Π(H) der arbitragefreien Preise von C:

Π(H) ={π_sup(H)}={U₀^P∗}={1}.

b) Es gilt

τ_min = min{t|U_t^P∗ =C_t}= 0.

Außerdem erkennen wir, dass U^P∗ seine Martingaleigenschaft bereits in t = 0 ver- liert. Deshalb gilt

τmax= inf{t|U_t^P∗ 6=EP^∗[U_t+1^P∗|F_t]} ∧2 = 0.

Alle optimalen Aus¨ubungszeitpunkte liegen also int= 0 und es besteht keine Nach- frage nach dieser Option am Markt.

Aufgabe 2:

a) Damit P^∗ ein ¨aquivalentes Martingalmaß ist, muss gelten:

– ( ¯X_t)_t=0,1,2ist adaptiert: Dies gilt jedoch nach Voraussetzung und ist unabh¨angig vom jeweiligen Wahrscheinlichkeitsmaß.

– F¨ur t= 0,1,2 ist X_t¹ integrierbar bzgl. P^∗: X_t¹ nimmt jedoch nur endlich viele Werte in R⁺ an. Die Integrierbarkeit folgt somit unmittelbar.

–

EP^∗[S_t+1¹ |Ft] =S_t¹+EP^∗[Yt+1|Ft] =S_t¹, t∈ {0,1}

Dies impliziert f¨ur t∈ {0,1}die folgende Gleichung:

2·P^∗(Yt+1 = 2|Ft)− 1

2·(1−P^∗(Yt+1 = 2|Ft)) = 0

⇔ P^∗(Yt+1 = 2|Ft) = 1 5.

Man erkennt, dass P^∗ eindeutig ist und dass Y₁ und Y₂ i.i.d Zufallsvariablen bzgl.

P^∗ sind mitP^∗(Y₁ = 2) = ¹₅ und P^∗(Y₁ =−¹₂) = ⁴₅. Folglich gilt f¨ur die Dichte:

dP^∗ dP = 4·

1

251^{(1,1)} + 4

251{(1,−1),(−1,1)}+16

251^{{(−1,−1)}}

.

b) Es gilt

U₂^P∗ =C₂ = 4·1^{Y1=Y2=2}+ 3

2·1{Y1=2,Y2=−¹₂}+ 2·1{Y1=−¹₂,Y2=2}

U₁^P∗ = max(2,2)·1^{Y1=2}+ max(0,2

5)·1{Y1=−¹₂} = 2·1^{Y1=2}+ 2

5·1{Y1=−¹₂}, U₀^P∗ = max(0,18

25) = 18 25.

Somit ist der arbitragefreie Preis der Option U₀^P∗ = ¹⁸₂₅. c) Es gilt

τ_min = min{t|U_t^P∗ =C_t}= 1·1^{Y1=2}+2·1_{Y

1=−1 2}. Außerdem erkennen wir, dass U^P∗ ein P^∗-Martingal ist. Deshalb gilt

τ_max= inf{t|U_t^P∗ 6=EP^∗[U_t+1^P∗|F_t]} ∧2 = 2.

Aufgabe 3:

i) Wir bezeichnen mitU^Pdie SnellscheP-Einh¨ullende vonH. Nach Definition istU₂^P = H₂,U₁^P =H₁∨EP[U₂^P|F₁],U₀^P =H₀∨EP[U₁^P]. Weiter ist wegen der Unabh¨angigkeit von Y₁ und Y₂ unter P

EP[H₂|F₁] =EP[(X₂−(1 +r)⁻²)⁺|F₁]

=EP[(aY2−(1 +r)⁻²)⁺]1^{Y1=a}+EP[(a⁻¹Y2−(1 +r)⁻²)⁺]1{Y1=¹_a}

= 1

2(a²+ 1−2(1 +r)⁻²)1{Y1=a}+ 1

2(1−(1 +r)⁻²)1{Y₁=_a¹}.

Da H₁ = (a−_1+r¹ )1^{Y1=a} ≤EP[H₂|F₁] folgt, dass U₁^P =EP[H₂|F₁] = 1

2(a²+ 1−2(1 +r)⁻²)1^{Y1=a}+1

2(1−(1 +r)⁻²)1{Y1=¹_a}

und

U₀^P =EP[U₁^P] = 1

4(a²+ 2−3(1 +r)⁻²), d.h. U^P ist ein Martingal.

ii) F¨ur alleτ ∈ T gilt EP[H_τ]≤EP[U_τ^P] =

2

X

t=0

EP[U_t^P1^{τ=t}] =

2

X

t=0

EP[U₂^P1^{τ=t}] =EP[U₂^P] =U₀^P. Andererseits ist ˆτ = 2 eine Stoppzeit aus T mit EP[H_τˆ] = EP[H₂] = EP[U₂^P].

Folglich ist

maxτ∈T EP[H_τ] =EP[H_τˆ] =U₀^P = 1 4

a²+ 2− 3 (1 +r)²

.

iii) P^∗ ist gegeben durch

P^∗(i, j) = a^1−i+j2

(a+ 1)², i, j ∈ {−1,1}.

Nach Definition ist U₂^P∗ = H2. Da insbesondere Y1 und Y2 Unabh¨angig unter P^∗ sind, gilt

EP^∗[H₂|F₁] =EP^∗[

X₂− 1 (1 +r)²

+

|F₁]

=EP^∗[

aY₂− 1 (1 +r)²

+

1^{Y1=a}+ 1

aY₂− 1 (1 +r)²

+

1{Y₁=_a¹}|F₁]

=

a²− 1 (1 +r)²

1 a+ 1 +

1− 1

(1 +r)² a

a+ 1

1{Y1=a}

+

1− 1

(1 +r)² 1

a+ 11{Y₁=¹_a}

=

a− 1 (1 +r)²

1{Y1=a}+

1− 1

(1 +r)² 1

a+ 11{Y₁=_a¹}

Wegen H1 ≤EP^∗[H2|F1] folgt U₁^P∗ =EP^∗[H2|F1]. Weiter haben wir U₀^P∗ =H₀∨EP^∗[U₁^P∗] =EP^∗[U₁^P∗] = a² + 2a

(a+ 1)² − 2a+ 1 (a+ 1)²(1 +r)², also ist U^P∗ ein P^∗-Martingal.

iv) Zun¨achst stellen wir fest, dass wegen der P^∗-Martingaleigenschaft von U^P∗ τ_max= inf{t≥0 :EP^∗[U_t+1^P∗ −U_t^P∗|F_t]6= 0} ∧2 = 2

gilt. F¨ur τ_min = min{t ≥0 :U_t^P∗ =H_t} m¨ussen wir zwei F¨alle unterscheiden. Dazu betrachten wir H₁ = (a− _1+r¹ )1^{Y1=a}. Ist r = 0, so folgt, dass τ_min = 1 ist. F¨ur r ∈(0, a−1) ist τ_min = 2.

Aufgabe 4: Zun¨achst bestimmen wir die MengeP der zuP¨aquivalenten Martingalmaße.

Damit (X_t¹)_t=0,1,2 ein Martingal unter P^∗ ist, m¨ussen die folgenden Eigenschaften gelten:

• ( ¯Xt)t=0,1,2 ist adaptiert: Dies gilt jedoch nach Voraussetzung und ist unabh¨angig vom jeweiligen Wahrscheinlichkeitsmaß.

• F¨urt= 0,1,2 istX_t¹ integrierbar bzgl.P^∗:X_t¹ nimmt jedoch nur endlich viele Werte in R⁺ an. Die Integrierbarkeit folgt somit unmittelbar.

• F¨urt= 0,1 muss gelten:

EP^∗[X_t+1¹ |F_t] =X_t¹·EP^∗[Y_t+1| F_t] =X_t¹ (1)

⇔ EP^∗[Y_t+1| F_t] = 1 (2)

1) t = 0:

EP^∗[Y1] = 1

⇔ 2·P^∗(Y₁ = 2) +P^∗(Y₁ = 1) + 1

2P^∗(Y₁ = 1 2) = 1

Mit P^∗(Y₁ = 1) =:p und der Gleichung P^∗(Y₁ = 2) +P^∗(Y₁ = 1) +P^∗(Y₁ = ¹₂) = 1 folgt dann P^∗(Y1 = 2) = ^1−p₃ , sowie P^∗(Y1 = ¹₂) = ^2−2p₃ .

2) t = 1:

EP^∗[Y₂| F₁] = 1

⇔ 2·P^∗(Y₂ = 2|F₁) +P^∗(Y₁ = 1|F₁) + 1

2P^∗(Y₁ = 1

2|F₁) = 1 ((*)) ACHTUNG: P^∗(Y1 = 1|F1) ist eine Zufallsvariable!!! Wir d¨urfen also NICHT einfach P^∗(Y₁ = 1|F₁) =:p₁ ∈(0,1) setzen, sondern m¨ussen (∗) zun¨achst weiter umformen.

Wegen F₁ = σ({Y₁ = 2},{Y₁ = 1},{Y₁ = ¹₂}) k¨onnen wir (∗) auf den einzelnen Atomen betrachten und erhalten

• auf {Y₁ = 2}:

2·P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 2) +P^∗(Y₁ = 1|Y₁ = 2) + 1

2P^∗(Y₁ = 1

2|Y₁ = 2) = 1

• auf {Y₁ = 1}:

2·P^∗(Y₂ = 2|Y₁ = 1) +P^∗(Y₁ = 1|Y₁ = 1) + 1

2P^∗(Y₁ = 1

2|Y₁ = 1) = 1

• auf {Y₁ = ¹₂}:

2·P^∗(Y2 = 2|Y1 = 1

2) +P^∗(Y1 = 1|Y1 = 1 2) + 1

2P^∗(Y1 = 1

2|Y1 = 1 2) = 1 Mit P^∗(Y₁ = 1|Y₁ = 2) =: p⁺, P^∗(Y₁ = 1|Y₁ = 1) =: p⁰, sowie P^∗(Y₁ = 1|Y₁ = ¹₂) =: p⁻ (Diese Annahmen k¨onnen wir nun teffen, da diese bedingten Wahrscheinlichkeiten reelle Zahlen sind), folgen dann, analog wie in Schritt 1), P^∗(Y₁ = 2|Y₁ = 2) = ^1−p₂⁺, P^∗(Y₁ =

1

2|Y1 = 2) = ^2−2p₂ ⁺. Ebenso folgen P^∗(Y1 = 2|Y1 = 1) = ^1−p₂⁰, P^∗(Y1 = ¹₂|Y1 = 1) = ^2−2p₂ ⁰ und P^∗(Y₁ = 2|Y₁ = ¹₂) = ^1−p₂⁻, P^∗(Y₁ = ¹₂|Y₁ = ¹₂) = ^2−2p₂ ⁻.

ACHTUNG: Damit alle so definierten (bedingten) Wahrscheinlichkeiten ein zuP¨aquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß definieren, m¨ussen alle Werte im Intervall (0,1) liegen! Insbe- sondere muss durch die Wahl von p, p⁺, p⁰, p⁻ ∈ (0,1) auch gew¨ahrleistet sein, dass

1−p

3 ,^1−p₃⁺,^1−p₃⁰,^1−p₃⁻ ∈(0,1), sowie ^2−2p₃ ,^2−2p₃ ⁺,^2−2p₃ ⁰,^2−2p₃ ⁻ ∈(0,1). Dies ist jedoch gl¨ucklicherweise f¨ur jedes p, p⁺, p⁰, p⁻ ∈(0,1) der Fall.

Alle ¨aquivalenten Martingalmaße P^∗ sind durch diese Werte eindeutig bestimmt (!). Au- ßerdem erkennen wir (!), dass Y₁ und Y₂ weder unabh¨angig, noch identisch verteilt unter den Maßen P^∗ sind.

Als n¨achstes berechnen wir f¨ur beliebiges P^∗ die Snellsche P b-Einh¨ullendeU^P∗. Es gilt:

•

U₂^P∗ =H₂ = 3·1^{Y1=Y2=}+ 1·1^{Y1=2,Y2=1}+ 1·1^{Y1=1,Y2=2}

•

U₁^P∗ =H₁∨EP^∗[U₂^P∗|F₁] = max(1,1)·1^{Y1=2}+ max(0,1−p⁰

3 )·1^{Y1=1}

= 1·1^{Y1=2}+1−p⁰

3 ·1^{Y1=1}

•

U₀^P∗ =H₀∨EP^∗[U₁^P∗] = max(0,1−pp⁰

3 ) = 1−pp⁰ 3 Somit gilt wegen p, p⁰ ∈(0,1):

π_inf(H) = inf

P^∗∈PU₀^P∗ = inf

p,p⁰∈(0,1)

1−pp⁰

3 = 0

π_sup(H) = sup

P^∗∈P

U₀^P∗ = sup

p,p⁰∈(0,1)

1−pp⁰

3 = 1

3

Da außerdemπ_inf(H) = 0 f¨ur keine Kombination vonp, p⁰ ∈(0,1) angenommen wird, gilt Π(H) = (0,1

3).