L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 1

Finanzmathematik I

L¨osungvorschl¨age f¨ ur ¨ Ubungsblatt 1

J. Widenmann

Aufgabe 1: Zu zeigen ist, dassQ die Definition ¨U.1.1.2 erf¨ullt. Zun¨achst bemerken wir, dass Qwegen der Annahme f ≥0 Werte in R+ annimmt. Außerdem gilt:

(i) Q(∅) =R

∅f(ω)P(dω) =R

1^∅(ω)f(ω)P(dω) = 0.

(ii) Sei (A_i)i≥1 eine Folge paarweise disjunkter Mengen in F, dann gilt Q [

i≥1

Ai

!

= Z

S

i≥1Ai

f(ω)P(dω) = Z

1^Si≥1Ai(ω)f(ω)P(dω)

=

Z X

i≥1

1^Ai(ω)f(ω)P(dω) ^monotone=

Konvergenz

X

i≥1

Q(Ai).

Foglich ist Q ein Maß.

Aufgabe 2: Da QP wissen wir, dass ^dQ_dP ≥0 existiert.

“⇒” Sei nun auch PQ. Es gilt f¨ur A∈ F Q(A) =

Z

A

dQ dPdP=

Z

A∩{^dQ

dP>0}

dQ dPdP=

Z

{^dQ

dP>0}

1A

dQ dPdP=

Z

{^dQ

dP>0}

1AdQ

Insbesondere gilt f¨urA = Ω, dass Q(^dQ_dP >0) = 1 und wegen der AnnahmeP Q nat¨urlich auchP(^dQ_dP >0) = 1.

“⇐” Ist ^dQ_dP >0P-f.s., betrachten wir ^dQ_dP⁻¹

. Dann gilt f¨urA∈ F P(A) =

Z

A

dP= Z

A

dQ dP

dQ dP

−1

dP= Z

A

dQ dP

−1

dQ Folglich besitzt P die Dichte ^dQ_dP⁻¹

bzgl. Q. Also gilt auch PQ.

Aufgabe 3:

i) Nach Konstruktion von F gilt: es gibt genau eine Menge A ∈ F mit P(A) = 0, n¨amlich die leere Menge A = ∅. Wegen Q Wahrscheinlichkeitsmaß, gilt offensicht- lich Q(∅) = 0, also folgt QP. Nach dem Satz von Radon-Nikodym existiert also in diesem Wahrscheinlichkeitsraum IMMER eine Dichte ^d_d^Q

P, mit ^d_d^Q

P ∈ L¹(Ω,F,P) und ^d_dP^Q ≥0P-f.s.

ii) Jede Zufallsvariable auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum (also auch die Dichte ^d_dP^Q) ist von der Form X : Ω → R, X = Pn

i=1c_i1Ai, c_i ∈ R. Sei nun zun¨achst Ω = Sn

i=1Ai. Der Satz von Radon-Nikodym ergibt

∀A ∈ F :Q(A) =EP

dQ dP1A

.

Wir setzen ein:

Q(A_j) = EP

" _n X

i=1

c_i1Ai1Aj

#

=EP

c_j1Aj

=c_jP(A_j).

Also haben wir c_j = ^Q(Aj)

P(Aj), und damit dQ dP =

n

X

i=1

Q(A_i) P(A_i)1Ai. Im Falle Ω6=Sn

i=1A_i definieren wir A^C_n+1 :=Sn i=1A_i. IstP(An+1)>0, so gilt dann analogQ(An+1) =EP

Pn+1

i=1 ci1Ai1An+1

=cn+1P(An+1) und damit ^d_d^Q

P =Pn+1 i=1

Q(Ai) P(Ai)1Ai.

Ist hingegen P(An+1) = 0, so gilt erneut ^d_d^Q

P =

n

P

i=1 Q(Ai)

P(Ai)1^Ai, denn z.B. f¨ur Ω (=

n+1

S

j=1

A_j):

Q(Ω) =EP





n

X

i=1

Q(A_i)

P(A_i)1Ai1ⁿ⁺¹S

j=1

Aj



=

n

X

i=1

Q(A_i) P(A_i)P(A_i)

=Q(

n

[

i=1

A_i) = Q(Ω)−Q(A_n+1)

| {z }

=0,daQ≈P

= 1

Aufgabe 4:

(i) DaEP[X|G] G-messbar ist, gilt {EP[X|G]≥0} ∈ G sowie{EP[X|G]<0} ∈ G und insbesondere

EP

EP[X|G]₊

=EP[EP[X|G],EP[X|G]≥0]

=EP[X,EP[X|G]≥0]≤EP[|X|]<∞ Analog zeigt man EP

EP[X|G]₋

<∞, also EP[X|G]∈ L¹(Ω,G,P).

(ii) Ist X ≥0, dann gilt 0≤EP

EP[X|G]₋

| {z }

≥0

=−EP[EP[X|G],EP[X|G]<0]

=−EP[X,EP[X|G]<0]

| {z }

≥0,daX≥0

≤0,

also EP

EP[X|G]₋

= 0. Folglich gilt EP[X|G]₋ = 0 P-f.s., d.h. EP[X|G] ≥ 0 P-f.s..

(iii) Folgt direkt aus der Definition.

(iv) – EP[X] ist als Konstante {∅,Ω}-messbar.

– F¨ur A=∅gilt

EP[EP[X],∅] = 0 =EP[EP[X|G],∅]

– F¨ur B = Ω gilt

EP[EP[X],Ω] = EP[X, Ω

|{z}

∈G

]^Def= EP[EP[X|G],Ω]

Es folgt die Behauptung.

(v) Es gilt EP[EP[X|G]] =EP[EP[X|G],Ω] =EP[X,Ω] =EP[X]

(vi) (1) - EP[X|A] ist nach DefinitionA-messbar.

- Sei A∈ A, dann gilt

EP[EP[X|A], A] =EP[X, A]^A∈A⊂G= EP[EP[X|G], A]

=EP[EP[EP[X|G]|A], A]

(2) - EP[X|A] ist nach DefinitionA-, also auch G-messbar.

- Sei A∈ G, dann gilt

EP[EP[X|A], A] =EP[EP[EP[X|A]|G], A]

Es folgt die Behauptung.

(vii) Seien X, Y ∈ L¹(Ω,F,P), sowie α, β ∈ R, dann ist zu zeigen: EP[αX+βY|G] = αEP[X|G] +βEP[Y|G]. Es gilt aber

– αEP[X|G]+βEP[Y|G] ist als linearkombinationG-messbarer Funktionen selbst G-messbar.

– Sei A∈ G, dann gilt

EP[αEP[X|G] +βEP[Y|G], A] =αEP[EP[X|G], A] +βEP[EP[Y|G], A]

=EP[αX, A] +EP[βY, A] =EP[αX +βY, A]

(viii) Folgt direkt aus (ii) und (vii)

(ix) Wir zeigen hier nur den vereinfachten Fall, in demZ zus¨atzlich beschr¨ankt ist. Die Behauptung gilt aber auch ganz allgemein. Dies d¨urfen Sie o.B.d.A f¨ur alle weiteren Ubungsaufgaben verwenden.¨

F¨ur den hier gezeigten Beweis verwenden wir das Konzept der maßtheoretischen Induktion

– ZEP[X|G] ist G-messbar.

– Sei A∈ G und Z =Pn

k=1α_k1Bk f¨urα_k ∈R,B_k∈ G, n∈N. Dann gilt EP[ZEP[X|G], A] =

n

X

k=1

α_kEP[EP[X|G], A∩B_k

| {z }

∈G

] =

n

X

k=1

α_kEP[X, A∩B_k]

=EP[ZX, A] =EP[EP[ZX|G], A]

F¨ur den allgemeinen Fall verwenden wir, dass jede beschr¨ankte G-messbare Funktion Z durch eine Folge (Z_n)_n∈N von Funktionen der obigen Gestalt ap- proximiert werden kann. Dann folgt

EP[ZEP[X|G], A]dom. Konvergenz (!)

= lim

n→∞EP[Z_nEP[X|G], A] = lim

n→∞EP[Z_nX, A]

dom. Konvergenz (!)

= EP[ZX, A] =EP[EP[ZX|G], A]

(x) – EP[X] ist als Konstante trivialerweiseG-messbar.

– Sei A∈ G, dann gilt

EP[EP[X], A] =EP[X]EP[1A]X unabh. vonG

= EP[X, A] =EP[EP[X|G], A]

(xi) Zun¨achst bemerken wir, dass f¨ur eine konvexe Funktion f die Abbildung z 7→

f(z)−f(y)

z−y monoton steigend ist. Insbesondere existieren f¨ur alle y∈R die links- und rechtsseitigen Ableitungen f_l⁰(y) = lim_z%y ^f(z)−f_z−y^(y), f_r⁰(y) = lim_z&y ^f(z)−f(y)_z−y und es gilt f¨ur alley₁ < y < y₂ ∈R:

f(y1)−f(y)

y1−y ≤f_l⁰(y)≤f_r⁰(y)≤f_l⁰(y) = ^f(y_y^2)−f(y)

2−y und daher f¨ur allex∈R:

f(x)≥f(y) + (x−y)f_r⁰(y). (*) Nun zum eigentlichen Beweis. Zun¨achst bemerken wir, dass f stetig, also B(R)- messbar ist. Außerdem istx7→f_r⁰(x) = limn→∞n(f(x+_n¹−f(x)) als Limes messbar.

Nun setzen wir X und Y :=EP[X|G] in (*) ein und erhalten f(X)≥f(Y) + (X−Y)f_r⁰(Y) und daher mit (viii):

EP[f(X)|G]≥EP[f(Y)

| {z }

G−m.b.

|G] +EP[X|G]f_r⁰(Y)

| {z }

G-m.b.

−Y f_r⁰(Y)

| {z }

G−m.b.

=f(EP[X|G])

(xii) Zun¨achst bemerken wir, dass wegen (viii) auch EP[X_n|G] P-f.s. monoton steigend, also konvergent gegen eine ZVe Z konvergiert.

– Z ist als Limes G-messbarer ZVen ebenfalls G-messbar.

– Wegen 0≤EP[X_n|G]≤EP[X|G] ist Z ∈ L¹(Ω,F,P).

Sei nun A∈ G, dann gilt EP[Z, A] = lim

n→∞EP[EP[X_n|G], A] = lim

n→∞EP[X_n, A] =EP[X, A]

(xiii) Zun¨achst bemerken wir, dass X ∈ L¹(Ω,F,P), da auch |X| ≤Z P-f.s. Wir setzen U_n := infm≥nX_m und V_n= sup_m≥nX_m, dann gilt

−Z ≤U_n ≤X_n ≤V_n≤Z

und außerdem U_n %X sowie V_n &X P-f.s..

Mit (xii) gilt dann

EP[U_n|G]→EP[X|G] sowie EP[V_n|G]→EP[X|G]

Aus (viii) folgt insbesondere EP[U_n|G] ≤EP[X_n|G]≤ EP[V_n|G] und somit mit dem gezeigten die Behauptung.

Aufgabe 5: Sei A∈ G. Wegen QP aufF gilt offensichtlich auch QP aufG ⊂ F. Dann gilt

dQ dP

_G =E^P dQ

dP G

, denn:

Q(A) =E^P dQ

dP 1A

=E^P

E^P dQ

dP G

1A

. Wegen

Q

E^P dQ

dP G

= 0

= Z

{E^P[^dd^QP|G]⁼⁰}E^P dQ

dP G

dP= 0 folgt Q

E^P_dQ

dP | G

>0 = 1.

Sei X ≥0, A∈ G. Dann gilt E^Q[X·1A] =E^P

X·dQ dP ·1A

=E^P

E^P

X· dQ dP G

·1A

=E^P

"

E^P

X· dQ dP G

· E^P_dQ

dP | G E^P_dQ

dP | G ·1{^EP[^d_d^Q_P^|G]^>0} ·1A

#

+E^P

E^P

X· dQ dP G

·1{^EP[^dd^QP|G]⁼⁰} ·1A

(∗)= E^Q

"

E^P X·^d_d^Q

P | G E^P_dQ

dP | G ·1A

# + 0.

Damit ist die Behauptung gezeigt f¨urX ≥0. F¨urX ∈ L¹(Ω,F,Q) zerlegeX =X⁺−X⁻ in Positiv- und Negativteil und benutze die Linearit¨at der bedingten Erwartung.

Zu (∗): Wegen E^P

dQ dP

·1{^EP[^dd^QP|G]⁼⁰}

=E^P

E^P dQ

dP

·1{^EP[^dd^QP|G]⁼⁰} G

=E^P

E^P dQ

dP G

·1{^EP[^dd^QP|G]⁼⁰}

= 0 und ^d_d^Q

P ≥0P-f.s. folgt

dQ

dP ·1{^EP[^dQ_dP^|G]⁼⁰} = 0P-f.s.

Also haben wir

E^P

E^P

X· dQ dP G

·1_{EP[^dd^QP|G]^=0}·1A

=E^P















 E^P





X· dQ

dP ·1_{EP[^dd^QP|G]^=0}

| {z }

=0P-f.s.

G







| {z }

=0P-f.s.

·1A

















= 0.

Aufgabe 6:

(i)⇔(ii) ist klar, da wir die einzelnen Ungleichungen der beiden Definitionen nur mit den (deterministischen) Konstanten (1 +r) bzw. _1+r¹ multiplizieren m¨ussen.

(i)⇒(iii) Seiηeine Arbitragem¨oglichkeit, dann gilt insbesondere 0≥η¯·π¯ =η⁰+η·π. Folglich gilt

η·S−(1 +r)η·π ≥η·S+ (1 +r)η⁰ = ¯η·S.¯

Da nach Voraussetzung ¯η·S¯ P-f.s. nicht-negativ und außerdem strikt positiv mit positiver Wahrscheinlichkeit ist, muss dies auch f¨ur η·S−(1 +r)η·π gelten. (Es gilt also ξ=η.)

(iii)⇒(i) Sei ξ gegeben wie in (iii), dann betrachten wir das Portfolio ¯η = (η⁰, ξ), mit η⁰ :=

−ξ·π. Dann gilt offensichtlich ¯η·π¯ = 0 und außerdem

¯

η·S¯=−(1 +r)ξ·π+ξ·S,

was nach Voraussetzung P-f.s. nicht negativ und positiv mit positiver Wahrschein- lichkeit ist. ¯η ist also eine Arbitragestrategie.