Bei nKugel ist also die Wahrscheinlichkeit genau 21, dass die zweite Kugel einen höheren Wert als die erste hat

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Universität Bremen Fachbereich Mathematik

Stochastik Sommersemester 2007

Lösungsskizzen zur 8. Übung Aufgabe 2

a) Wenn eine1gezogen wird, so ist danach die Wahrscheinlichkeit⁴₄, dass die nachfolgen- de Zahl größer ist. Wird eine2gezogen, so ist die Wahrscheinlichkeit ³₄, bei einer3ist sie ²₄, bei einer4ist sie ₄¹ und bei einer5ist sie0. Daher ergibt sich folgende Gesamtwahrschein- lichkeit dafür, dass die zweite Kugel einen höheren Wert als die erste hat:

1 5

4 4

1 5

3 4

1 5

2 4

1 5

1 4

1

5 0 1

5 1

4 ^ˆ1234^ 1 5

1

4 10 1 2.

c) Allgemein beinKugeln (n>NundnA0) haben wir mit den selben Überlegungen wie oben eine Wahrscheinlichkeit von

1 n ^ˆ

n1 n1

n2 n1

n3

n1

1 n1^

1 n

1 n1

n1

Q

k 1

k

1 n

1 n1

ˆn1^ n 2 1

2.

Bei nKugel ist also die Wahrscheinlichkeit genau ₂¹, dass die zweite Kugel einen höheren Wert als die erste hat.

Aufgabe 3

b) FürPˆDergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit durch Aufsummieren der Wege im ersten Diagramm:

PˆD PˆA PˆDSAPˆB PˆDSBPˆC PˆDSC

PˆA9DPˆB9DPˆC9D.

d) Wegen des Multiplizieren innerhalb eines Weges in den Bäumen, haben wir PˆA9D PˆD PˆASDund

PˆA9D PˆA PˆDSA.

Daraus ergibt sich mit den Ergebnissen von b):

PˆASD

PˆA9D

P D

PˆA PˆDSA

P D

PˆA PˆDSA

P A P DA P B P DB P C P DC .

2

Aufgabe 4Wir bezeichnen folgende Ereignisse:

A Die Scheibenwischer sind von der 1. Firma.

B Die Scheibenwischer sind von der 2. Firma.

C Die Scheibenwischer sind von der 3. Firma.

D Die Scheibenwischer müssen ersetzt werden.

Dann ergeben mit Aufgabe 3 d) folgende Wahrscheinlichkeiten dafür , dass, wenn die Schei- benwischer ersetzt werden müssen, die Scheibenwischer von der 1., der 2., bzw. der 3. Firma sind:

PˆASD

PˆA PˆDSA

PˆA PˆDSAPˆB PˆDSBPˆC PˆDSC

0, 5 0, 2

0, 5 0, 20, 3 0, 250, 2 0, 15 20

41.

PˆBSD

PˆB PˆDSB

PˆA PˆDSAPˆB PˆDSBPˆC PˆDSC

0, 3 0, 25

0, 5 0, 20, 3 0, 250, 2 0, 15 15

41.

PˆCSD

PˆC PˆDSC

PˆA PˆDSAPˆB PˆDSBPˆC PˆDSC

0, 2 0, 15

0, 5 0, 20, 3 0, 250, 2 0, 15 6

41.

Tipp:Dass etwas Sinnvolles herauskommt, kann man auch dadurch überprüfen, dass die Wahscheinlichlichkeiten addiert1ergeben, was sie müssen, also: ²⁰₄₁ ¹⁵₄₁₄₁^{6 41}₄₁ 1. Aufgabe 5

Wir überlegen uns zunächst, was die Wahrscheinlichkeit davon ist, dass der Kandidat ge- naunFragen richtig ankreuzt, wobei0^BnB12. Wir bezeichnen dieses Ereignis mitA_n.

Wenn er genaunmal richtig anwortet, dann antwortet er^ˆ12nmal falsch. Die Wahr- scheinlichkeit zufällig richtig zu tippen ist ₃¹ und die Wahrscheinlichkeit zufällig falsch zu tippen ²₃. Außerdem gibt es genau

‰

12 n^Ž

3

Möglichkeiten, von 12 Fragen nrichtig zu beantworten. Daher ergibt sich für die Wahr- scheinlichkeit:

PˆA_n ‰

12 n^{Ž ˆ}

1 3^

n

ˆ

2 3^

12n.

Für den Fall ,,genau drei Richtige“ ergibt sich so zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit PˆA₃ ‰

12 3^{Ž ˆ}

1 3^

3

ˆ

2 3^

9

0, 21195.

Wir beginnen nun beiA₁₂, also12richtigen Antworten, und summieren die Wahrschein- lichkeiten so lange auf, bis sich eine Wahrscheinlichkeit größer als25%ergibt:

PˆA₁₂0, 00000118 PˆA₁₁0, 00004516 PˆA₁₀0, 000497 PˆA₉0, 003311 PˆA₈0, 0149 PˆA₇0, 047689 PˆA₆0, 11127 PˆA₅0, 19076

Wir können ausrechnen, dass

12

Q

i 6

PˆA_i0, 1778

und 12

Q

i 5

PˆA_i0, 368.

Die Wahrscheinlichkeit ,,mindestens6richtige Anworten zu haben“ ist also etwa17, 78%und die Wahrscheinlichkeit ,,mindestens5richtige Anworten zu haben“ etwa36, 8%.

Da die Wahrscheinlichkeit zum Bestehen unter25%sein soll, müssen wir daher minde- stens6richtige Antworten fordern.