Prof. Dr. M. Specovius-Neugebauer 07. Juni 2004 Dr. W. Metzler
Ubungen zur Vorlesung ¨
ELEMENTE DER ARITHMETIK UND ALGEBRA II Ubungsblatt 6¨
Aufgabe 1:(Zum Aufw¨armen!) Untersuchen Sie, ob es sich bei den nachfolgenden Beispielen um Gruppen handelt:
(a) Q×Qmit (a1, a2)∗(b1, b2) := (a1+b2, a2+b1)
(b) (Q\ {0})×(Q\ {0}) mit (a1, a2)∗(b1, b2) := (a1b1, a2b2) (6)
Aufgabe 2:
(a) Beweisen Sie: Genau dann ist eine nicht-leere Teilmenge U von Z eine Untergruppe von
(Z,+), wenn gilt: a, b∈U ⇒a−b ∈U. (4)
(b) Beweisen Sie mit Hilfe von (a): Die Menge der durch 13 teilbaren ganzen Zahlen bildet
eine Untergruppe von (Z,+). (2)
Aufgabe 3:(Diedergruppen)
(a) Geben Sie die Elemente von D5 als Permutationen an.
Anleitung: Verfahren Sie wie in der Vorlesung (mit Zeichnung!!), nummerieren Sie die Ecken eines regelm¨aßigen F¨unfecks und geben Sie die durch D5 bestimmten Permutatio-
nen der Eckennummern an (vgl. auch Skript, S. 32). (4)
(b) Geben Sie mindestens 3 Elemente von S5 an, die (in diesem Sinne) keine Elemente von
D5 sind. (3)
Zusatz:
(c) Geben Sie jeweils ein Element aus S5 der Ordnung 2,3,4,5 an. (4) (d) Beschreiben Sie, wie man S4 als Untergruppe von S5 auffassen kann. (2)
Abgabetermin: Bis Montag, 14. Juni 2004, 13.00 Uhr.
1
