J. Wengenroth SS 2011
N. Kenessey 05.05.2011
M. Riefer
Differentialgleichungen Ubungsblatt 4¨
Abgabe: Donnerstag, 12.05.2011, 08.00 Uhr, ¨Ubungskasten 5
Tutoriumsaufgaben Tutorium:
Die Aufgaben T 1 - T 3 werden am Dienstag im Tutorium besprochen. Dieses findet am 10.05.2011 um 12:25 Uhr im E51 statt.
T 1
Bestimmen Sie alle L¨osungen der folgenden DGL (i) u000−u00+u0−u= 0,
(ii) u000−3u00+ 3u0−u=t2
T 2
SeiP ein Polynom vom Gradnmit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass NP ={u∈Cn(I,C) :P(D)u= 0}
eine Basis aus reellwertigen Funktionen besitzt. Stimmt diese Aussage auch f¨ur Polynome mit komplexen Koeffizienten?
Hinweis:
Berechnen SieP(λ) f¨ur eine NullstelleλvonP. T 3
Seiu∈Cn(]0,∞[) eine L¨osung der Eulerschen DGL
n
X
j=0
ajtju(j)(t) = 0
mit Koeffizienten aj ∈ C, j = 0, .., n. Zeigen Sie die Existenz einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten mit L¨osung v(t) = u(exp(t)). Beweisen Sie außerdem, dass f¨ur jede weitere L¨osung w dieser linearen DGL die auf ]0,∞[
durch u(t) =w(log(t)) definierte Funktion eine L¨osung der obigen Eulerschen DGL ist.
Ubungsaufgaben¨
Ubungen: Donnerstag, 08:00-10:00 und 10:00-12:00 E52¨
Diese Aufgaben sollen bis Donnerstag, den 12.05.2011, 08:00 im ¨Ubungskasten 5 abgegeben werden.
Aufgabe 1
Bestimmen Sie alle L¨osungen der folgenden DGL (i) u000−3u0+ 2u=te−t,
(ii) u000−3u0+ 2u=tet
Aufgabe 2
SeiP ein Polynom vom Gradnmit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass KP ={u∈Cn(I,R) :P(D)u= 0}
als Vektorraum ¨uberRdie Dimension dimRKP =nbesitzt, und bestimmen Sie eine Basis vonKP.
Aufgabe 3
Finden Sie alle L¨osungen u∈C4(]0,∞[) der DGL
t4u(4)(t) + 7t3u000(t) + 7t2u00(t) + 4u0(t)−2u(t) = 0.
Aufgabe 4
Seiu∈Cn(I) eine L¨osung der linearen DGL
n
X
k=0
ak(t)u(k)(t) = 0
mit Koeffizientenfunktionen ak ∈C∞(I),(0≤k≤n), wobeian(t)6= 0 f¨ur alle t∈I. Zeigen Sie, dassuunendlich oft differenzierbar ist. Finden Sie außerdem eine L¨osung u∈C1(R)\C2(R) der DGL
u0=√ u.
