PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 13¨
Abzugeben bis Freitag, den 27. Januar, vor der Vorlesung
Aufgabe 1. (Lineare AWP zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten) Bestimmen Sie die L¨osungen der folgenden Anfangswertprobleme:
(a) x00(t)−4x0(t) + 3x(t) = 0 mit x(0) =−1 undx0(0) =−5;
(b) x00(t) + 2x0(t) +x(t) =tmitx(0) = 0 undx0(0) = 1.
(Bemerkung: Die inhomogene DGL hat eine spezielle L¨osung der Form xp(t) = c1t+c0 mit Koeffizientenc1, c0 ∈R, die man durch Einsetzen in die DGL findet.) Aufgabe 2. (Herabrutschende Kette)
Eine Kette der L¨ange c+d mit Masse m h¨angt zum Zeitpunkt t = 0 ¨uber einem glatten Rundholz (mit idealisiertem Durchmesser 0) c Meter auf der einen und d > c Meter auf der anderen Seite herab und gleitet infolge der Erdanziehung g herunter.
Zum Zeitpunktt h¨angt dann von der Kette auf einer Seite die L¨anged+x(t) und die Masse d+x(t)d+c m, auf der anderen Seite die L¨angec−x(t) und die Masse c−x(t)d+c m, und die auf die Differenz einwirkende Erdbeschleunigung gf¨uhrt nach Umstellen zu der DGL
x00(t)− 2g
c+dx(t) = d−c c+dg.
(a) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der zugeh¨origen homogenen DGL.
(b) Bestimmen Sie f¨ur die inhomogene DGL eine konstante und die allgemeine L¨osung.
(c) Bestimmen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems x(0) = 0, x0(0) = 0.
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