BTU COTTBUS
LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND
WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm
Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)
Serie 13
www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html
Hausaufgaben zur Abgabe am 09.07.04
1. Bearbeiten Sie die Programmieraufgabe zum Adams-Moulton-Verfahren, für die wir Ihnen das Material auf der Internetseite der Vorlesung hinterlegt haben. Die genaue Beschreibung der Auf- gabe finden Sie in der DateiREADME. Wenden Sie das dabei programmierte Verfahren oder das von voriger Woche auf das folgende System von Anfangswertproblemen an:
x0=
9(y−27x−37) falls x<−1 9(y−17x) falls −1≤x≤ −1 9(y−27x+37) sonst
y0=x−y+z z0=−100
7 y
x(0) =1, y(0) =0, z(0) =0 2. Vorgelegt sei das Modellproblem
˙
u=qu, (ℜq≤0). Man untersuche das charakteristische Polynom zum Verfahren
yn+1=yn−1+2hqyn
und überprüfe, ob die beiden Nullstellenλ1(z),λ2(z) (z=hq) gleichzeitig betraglich≤1 sein können.
HINWEIS: Taylorentwicklung
3. Man zeige, dass für die Wurzel λ1=1 des Stabilitätspolynoms einer konsistenten LMM die Entwicklung
λ1(z) =1+z+O(z2) für z→0 gilt.
4. Man gebe eine Entwicklung der Formλi(z) =a0+a1z+O(z2)für alle Wurzeln des Stabilitäts- polynoms der BDF-Formel
3yn−4yn−1+yn−2=2h fn an. Hinweis: Verwenden Sie einen Potenzreihen-Ansatz fürλi(z).
Skizzieren Sie die Wurzelortskurve. Ist die Formel A-stabil?
5. Man bestimme das Stabilitätsgebiet der expliziten Mittelpunktsregel yn+1−yn−1=2h fn
Hinweis: Betrachten Sie die Wurzelortskurve.
