BTU COTTBUS
LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND
WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm
Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)
Serie 8
www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html
Hausaufgaben zur Abgabe am 04.06.04
1. Bearbeiten Sie die Programmieraufgabe, für die wir Ihnen das Material auf der Internetseite der Vorlesung hinterlegt haben. Die genaue Beschreibung der Aufgabe finden Sie in der Datei.
README.
2. Schlechte Aufgabe. Mit Formel 5.10 folgt es direkt aus der Definition der Determinanten. Der Nenner ist dann einfach Eins.
a) (Für alle Teilnehmer(innen) der Vorlesung) Zeigen Sie, daß für eine strenge untere Drei- ecksmatrix A (d. h. Einträge ungleich Null nur unterhalb der Diagonalen) der Dimension s×s gilt
As=0.
b) (Für Studierende der Mathematik bzw. Wirtschaftsmathematik) Man zeige, daß die Stabili- tätsfunktion für ein explizites Runge-Kutta Verfahren ein Polynom ist.
HINWEISE:
• Verwenden Sie den ersten Aufgabenteil.
• Verwenden Sie Formel 5.9. aus Lemma 5.1 im Skript.
• Entwickeln Sie den Term(I−zA)−1in eine Neumannsche Reihe.
• Folgen Sie im Wesentlichen der Beweisskizze auf Seite 66 des Skriptums.
• Es geht bei der Aufgabe nicht einfach darum, etwas vorzurechnen, sondern einen sau- beren exakten Beweis zu führen.
3. Wenden Sie das Extrapolationsprinzip auf das explizite Eulerverfahren an, und zeigen Sie:
Bei Verwendung der Folge hi= i+11 ,i=0,1,2, . . .ergibt sich für den Wert T11 das modifizierte Eulerverfahren, sowie für die Werte T20,T21und T22die Runge-Kutta-Verfahren
0
1 3
1 3 2 3
1 3
1 3 1 3
1 3
1 3
0
1 2
1 2 1 3
1
3 0
2 3
1
3 0 13
0 −1 1 1
0
1 2
1 2 1 3
1
3 0
2 3
1
3 0 13
0 −2 32 32
