BTU COTTBUS
LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND
WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm
Numerik partieller Differentialgleichungen
Übung 5
www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/pde/index.html
Hausaufgaben zur Abgabe am 25.11.04
1. Leiten Sie die Stabilitätsbedingung her für das a) Lax-Wendroff Verfahren,
b) Beam-Warming Verfahren, c) Leapfrog Verfahren
un+1k =cunk−1+un−1k −cunk+1.
2. Leiten Sie für die folgenden Verfahren, angewandt auf die lineare Advektionsgleichung, die Er- satzgleichung (modifizierte Gleichung) her.
a) Lax-Friedrichs b) Lax-Wendroff c) Leapfrog
Verwenden Sie dabei die Differentialgleichung, um im Fehlerterm die Zeit- durch Raumablei- tungen zu ersetzen.
Machen Sie jeweils einen Ansatz mit einer ebenen Welle u(x,t) =eαt+i(Px−ωt)
(P=Wellenzahl) und setzen diesen in die Ersatzgleichung ein. Tun Sie dies auch für die Ersatz- gleichung des CIR-Verfahrens (Vorlesung). Welche Aussagen über das Verhalten der Lösungen der Ersatzgleichung und damit auch der Näherungslösungen des entsprechenden Verfahrens kön- nen Sie hieraus ableiten?
3. Erstellen Sie in Matlab / Octave ein Programm, das die lineare Advektionsgleichung wahlwei- se mit dem CIR, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff oder dem Leapfrog-Verfahren löst. Die Wahl der Ausbreitungsgeschwindigkeit und der CFL-Zahl c sind dem „Benutzer“zu überlassen. Setzen Sie die Randbedingungen periodisch. Als Berechnungsintervall wählen Sie[−π,π]. Als Anfangszu- stand probieren Sie die folgenden Variationen aus:
u(x,0) =sin 5x,
u(x,0) =sin 5x +sin 50x
sowie ein Rechtecksignal. Variieren Sie die CFL-Zahl und vergleichen Sie die Resultate mit Ihren theoretischen Vorhersagen aus den beiden vorigen Aufgaben.
