BTU COTTBUS
LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND
WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm
Numerik partieller Differentialgleichungen
Übung 1
www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/pde/index.html
Hausaufgaben zur Abgabe am 28.10.04
1. Die einfachste partielle Differentialgleichung ist die lineare Advektionsgleichung in einer Raum- dimension.
ut+aux=0.
a) Das Cauchyproblem für eine hyperbolische Differentialgleichung ist ein Anfangswertpro- blem, bei dem die (zeitlichen) Anfangswerte auf der ganzen x-Achse gegeben sind. Leiten sie für die lineare Advektionsgleichung eine allgemeine Formel der exakten Lösung des Cauchyproblems her.
HINWEIS: Setzen sie x=x(t) =x0+at an, und leiten Sie eine gewöhnliche Differential- gleichung für u(x(t),t)her.
b) Berechnen Sie mit dieser Formel die Lösung des Cauchyproblems mit u(x,0) =sin(x)als Anfangswertverteilung und a=π. Wie lautet die Lösung zum Zeitpunkt t=2?
c) Berechnen Sie die Lösung für
u(x,0) =
(−1 für x≤0 1 für x>0 und a=1
d) Lösen Sie das Anfangrandwertproblem für die lineare Advektionsgleichung auf dem Raum- intervall[−2,2]mit
u(x,0) =
(−1 für x∈(−2,0]
1 für x∈(0,2), a=1 sowie u(−2,t)≡2 und u(2,t)≡3.
2. Eine Funktion f heißt homogen von erster Ordnung, wenn f(u) = df
duu.
Dabei bezeichnet dudf die Jacobimatrix von f bezüglich u.
a) Finden Sie alle skalaren Funktionen mit dieser Eigenschaft.
b) Zeigen Sie, daß der Fluß F der Eulergleichungen homogen ist von erster Ordnung.
