BTU COTTBUS
LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND
WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm
Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)
Serie 11
www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html
Hausaufgaben zur Abgabe am 25.06.04
1. Ein allgemeines Runge-Kutta-Verfahren soll auf die Modell-Gleichung u0=λ(t)u, u(0) =1
angewendet werden.
a) Zeigen Sie, dass für die Verstärkung yn+1=K(Z)yndie Darstellung K(Z) =1+bTZ(I−AZ)−111 mit Z=diag(z1, . . . ,zs) gilt, wobei zi=hλ(t+cih)ist.
b) Zeigen Sie damit, daß die Lobatto-IIIA-Methoden nicht AN-stabil sind.
HINWEIS: Leiten Sie entsprechend Lemma 5.1 eine zu 5.10 analoge Formel ab.
c) Zeigen Sie, daß das Gauß-Verfahren (p=4) AN-stabil ist.
2. Sei ein IRK mit nichtsingulärer Koeffizientenmatrix A, paarweise verschiedenen Stützstellen ci
und nichtverschwindenden Gewichten bjgegeben. Dieses erfülle außerdem die Bedingung B(s).
Zeigen Sie die folgenden Implikationen:
C(s) ∧ cs=1 ⇒ as j=bj, j=1, . . . ,s, D(s) ∧ c1=0 ⇒ ai1=b1, i=1, . . . ,s. (D. h., es sind gerade die Voraussetzungen von Lemma 5.3 erfüllt.)
