Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

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BTU COTTBUS

LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND

WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm

Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

Serie 4

www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html

Aufgaben zur Übung am 07.05.04

1. Man gebe die Konsistenzordnungen der folgenden Differenzenformeln an:

(i) yn+1=yn+^h₂{f(tn,yn) +f(tn+1,yn+1)}

(ii) yn+1=yn+h f(t_n+^h₂,yn+^h₂f(t_n,yn))

(iii) y_n+1=y_n+^h₆{4 f(t_n,y_n) +2 f(t_n+1,y_n+1) +h f⁰(t_n,y_n)}

2. Leiten Sie die allgemeinen Bestimmungsgleichungen für RK-Formeln 3. Ordnung her und beweisen Sie, daß die Koeffizienten der Heunschen Formel und der Formel von Kutta diese Glei- chungen erfüllen!

0

1 3

1 3 2 3 0 ²₃

1 4 0 ³₄

0

1 2

1 −1 2

1 6

4 6

1 6

Nutzen Sie die sogenannten simplifiying assumptions:

c_i:=

i−1

∑

j=1

a_{i j}, i=2, . . . ,S

Bestimmen Sie für beide Verfahren die jeweils bestmögliche Lipschitz-Konstante.

Hausaufgaben zur Abgabe am 07.05.04

1. Bearbeiten Sie die Programmieraufgabe, für die wir Ihnen das Material auf der Internetseite der Vorlesung hinterlegt haben. Die genaue Beschreibung der Aufgabe finden Sie in der Datei README.

2. Beweisen Sie Satz 2.3 (Konvergenzsatz, S.29) aus dem Skriptum.

3. Zeigen Sie, daß, wie in der Bemerkung zu Satz 2.3 angeführt, Runge-Kutta Verfahren, die der Bedingung

∑

S i=1

bi=1 genügen, konsistent sind.