Numerik stationärer Differentialgleichungen

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Andreas Prohl Cedric Beschle

Numerik stationärer Differentialgleichungen

Sommersemester 19 Tübingen, 21.06.2019

Übungsaufgaben 9

Problem 1. Die Lagrange Finite-Elemente Ansätze(T ,b P ,b K)b und (T, P, K)seien parametrisch unter der affinen Abbildungχ:Tb→T, also

P ={ub◦χ⁻¹ : bu∈Pb} und K={χ(ξ) : χ∈K}.b

Wir bezeichnen mitI_T :C(T) → P undIb: C(Tb) → Pb zugehörige Interpolationsoperatoren. Zeigen Sie, daß Id_Tu=Ibbu.

Problem 2.a) In der Vorlesung haben wir folgende Abschätzungen fürp= 2gezeigt:

(i) kD^mukˆ _Lp(T)≤ √^|BBB|det^mBBBkD^muk_Lp(T), (ii) kD^muk_Lp(T)≤ |BBB⁻¹|^m√

detBBBkD^mukˆ _Lp(T). Gelten diese Abschätzungen für sämtliche1≤p≤ ∞?

b) Sei p = 2. In der Vorlesung haben wir die inverse Abschätzungkennengelernt, wonach eine Kon- stanteC >0existiert, sodaß

ku_hk_W1,p(O)≤ C

hku_hk_L^p ∀uh∈Uh⊂H¹(O). Gilt diese Abschätzung für sämtliche1≤p≤ ∞?

Problem 3. Sei O ⊂ R³ ein beschränktes Lipschitzgebiet, f : O → R, sowie β~ : O → R³ stetig differenzierbar, sodaß divβ~ ≡ 0. Wir wollen folgendes Problem (lösbare) approximieren: Finde u ∈ H¹₀∩H², sodaß

−∆u+β~· ∇u+u=f aufO.

Hierzu verwenden wir einen konformen affinen FE-Ansatz (auf regulärer Triangulierung von O) mit Lösunguh∈Uh⊂H¹₀. Zeigen Sie: Es existiert eine KonstanteC >0, sodaß

k∇[u−u_h]k²

H¹ ≤Chkuk

H². (1)

Bemerkung:Z.B. im Buch von C. Evans:Partial differential equationsfinde Sie die weitere Abschät- zung

kuk_H2 ≤Ckfk_L2,

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mitC > 0abhängig von den DatenO,β, sodaß hiermit eine Abschätzung der rechten Seite von (1)~ allein durch Daten möglich ist.

Abgabe: 27.06.2019.

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