Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

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BTU COTTBUS

LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND

WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm

Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

Serie 6

www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html

Hausaufgaben zur Abgabe am 21.05.04

1. (Hatten wir Ihnen schon letzte Woche zur Verfügung gestellt:) Bearbeiten Sie Teil c) der Pro- grammieraufgabe, für die wir Ihnen das Material auf der Internetseite der Vorlesung hinterlegt haben. Die genaue Beschreibung der Aufgabe finden Sie in der Datei.README.

2. Die AWA

u⁰=−200tu², t∈[−3,3], u(−3) =1/901

hat die Lösung u(t) =1/(1+100t²). Analysieren Sie durch Untersuchung der Lipschitzkon- stanten von f entlang der Lösung u, welcher Beschränkung die Schrittweite h für das implizite Gauss-Verfahren der Stufenzahl 2 unterliegt, damit die Fixpunktiteration zur Lösung des nichtli- nearen Gleichungssystems für die Stufen an jeder Stelle des Lösungsgraphen konvergiert.

3. Gegeben seien die Koeffizienten c_i,i=1, . . . ,s, eines impliziten Runge-Kutta Verfahrens.

a) Zeigen Sie, daß die Bedingung

B(s):

∑

s i=1

b_ic^q−1_i =1

q, i,q=1, . . . ,s

als lineares Gleichungssystem ausgedrückt werden kann. Geben Sie die zugehörige Matrix und die rechte Seite an.

b) Tun Sie das selbe für die Bedingung

C(s):

∑

s j=1

ai jc^q−1_j =c^q_i

q i,q=1, . . . ,s.

c) Unter welcher Bedingung sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt?

d) Berechnen Sie mithilfe dieser Systeme die Koeffizienten der Verfahren von Gauß (p=4) und Lobatto IIIA (p=4).

Bonusaufgabe

1. (Immer noch die von letzter Woche:) Bearbeiten Sie Teil d) der Programmieraufgabe, für die wir Ihnen das Material auf der Internetseite der Vorlesung hinterlegt haben. Die genaue Beschreibung der Aufgabe finden Sie in der Datei.README.