Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

(1)

BTU COTTBUS

LEHRSTUHLNUMERISCHE MATHEMATIK UND

WISSENSCHAFTLICHESRECHNEN Prof. Dr. G. Bader, Dipl.-Math. Friedemann Kemm

Numerik II (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

Serie 3

www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/ode/index.html

Aufgaben zur Übung am 30.04.04

Liegengebliebene Aufgaben der beiden letzten Übungsblätter Hausaufgaben zur Abgabe am 30.04.04

1. Man bestimme alle Lösungen der AWA y⁰=p

1−y², y(0) =−1

2. Zur Konstruktion von Differenzenformeln für die skalare Differentialgleichung u⁰(t) = f(t,u(t)) über die Taylor-Entwicklung benötigt man die k-ten Ableitungen der Lösung u(t). Dazu wird der von der rechten Seite f abhängige Differentialoperator D definiert:

D(ϕ(t,u)):=ϕt(t,u) +f(t,u)ϕu(t,u)

Die k-te Ableitung von u läßt sich durch (k-1)-malige Anwendung von D auf f berechnen:

u⁰ = D₀(f) = f(t,u) u^(k) = Dk−1(f) Dk(ϕ) := D(Dk−1(ϕ)) Desweiteren sei der folgende Operator definiert:

Dⁿ(ϕ):=

∑

n k=0

n k

∂ⁿϕ

∂t^n−k∂u^k·f^k

Beweisen Sie die Relation D(Dⁿ(ϕ)) =Dⁿ⁺¹(ϕ) +n Dⁿ⁻¹(ϕu)D(f) und stellen Sie die ersten vier Ableitungen von u mit Hilfe der Operatoren D^kdar.

Konstruieren Sie die Ableitungen für das AWP y⁰=y²,y(0) =1 ! 3. Gegeben sei die Differentialgleichung zweiter Ordnung

u⁰⁰(t) + (u⁰(t))²=0. (1)

Ihre allgemeine Lösung lautet

u(t) =ln(c₁t+c2) mit reellen Konstanten c1und c2.

(2)

a) Stellen Sie für diese Differentialgleichung entsprechend Satz 1.3 im Skriptum die Matrix- Differentialgleichung für die Abhängigkeit von den Anfangsdaten auf.

b) Lösen Sie das Anfangswertproblem für (1) mit den Anfangsdaten u(0) =1; u⁰(0) =0

und lösen Sie die Matrix-Differentialgleichung aus dem ersten Teil für diese Nominallö- sung.