Donnerstag 30. August 2018

(1)

Matr.Nr.:

^PlatzNr.:

Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken

Donnerstag 30. August 2018

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Zugelassene Hilfsmittel:

• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.

• Ein Taschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der PositivListe steht, die zu Klausurbeginn auch auiegt.

ACHTUNG: Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!

Benutzter Taschenrechner

(genaue Typenbezeichnung) :

Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden. Achtung: Fehlende Begründungen führen zu Punktabzügen! Sie können Ihre Klausur am Mittwoch, den 19. September 2018, im Raum 149 einsehen und sich (nur!) dort gegebenen- falls zur mündlichen Prüfung anmelden. Eine Einteilung zur Einsicht erfolgt zusammen mit der Bekanntgabe der Ergebnisse.

Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.

Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer auch die benutzten Blanko Blätter.

Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d. h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen. Dieses muss das Datum und die Uhrzeit dokumentieren und die Bestätigung der Ärztin/des Arztes ausweisen, dass die gesundheitliche Beeinträchti- gung nicht vor (bzw. im Falle der Prüfungsunfähigkeit nach Abgabe der Prüfungsunterlagen nicht vor oder während) der Prüfung festgestellt werden konnte. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzureichen. Ggf. entscheidet der Prüfungsausschuss (insbesondere im Fall der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung) unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.

Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der Positiv-Liste bendet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, Smartwatch, MP3-Player usw. bei mir habe.

Name:

Vorname:

Unterschrift:

VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X

:

(2)

IGPM RWTHAachen Numerik MB H18

Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)

Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.

Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Zahl mit mindestens 5 signikanten Ziern an. Falls nicht anders gefordert, muss das Ergebnis als Dezimalzahl angegeben werden.

VF-1: Es seien x_MIN bzw. x_MAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps := ^b^1−m₂ die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D:= [−x_MAX,−x_MIN]∪[x_MIN, x_MAX]. Ferner beschreibefl :D→M(b, m, r, R)die Standardrundung.

1. InM(2,3,−3,3)giltx_MIN= ₆₄⁷. 2. InM(2,5,−8,8)gilteps =₃₂¹.

3. Für jedesx∈Dexistiert eine Zahlmit || ≤epsund|fl(x)−x|=||.

4. Falls die Kondition eines Problems schlecht ist, sind Algorithmen zur Lösung dieses Problems in der Regel instabil.

5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl24inM(4,4,−8,8)an.

6. Die Multiplikation zweier Zahlen ist stets gut konditioniert.

7. Bei einem stabilen Algorithmus ist der durch Rundungseekte verursachte Fehler im Ergebnis von derselben Gröÿenordnung wie der durch die Kondition des Problems bedingte unvermeidbare Fehler.

8. Es seienx= 3undy= 3 + 10⁻¹⁰. Bei der Berechnung vone^xy−e^y tritt Auslöschung auf.

9. Die Funktionf(x) =_x+1¹ ist gut konditioniert für allex∈(−1,1).

10. Berechnen Sie die Konditionκrel(x, y)der Funktion f(x, y) =x²+y³ im Punkt(1,1).

VF-2: Es seienA∈R^n×n beliebig aber regulär,b∈Rⁿ und gesucht sei die Lösungx∈Rⁿ vonAx=b. 1. Ziel der Zeilenäquilibrierung ist es, ein äquivalentes Gleichungssystem zu erhalten, dessen System-

matrix eine kleinere Konditionszahl alsAhat.

2. Es seien x˜ eine Annäherung der Lösung x^∗ und r := b−Ax˜ das zugehörige Residuum. Es gilt

kx^∗−˜xk

kx^∗k ≤ kA⁻¹k^krk_kbk.

3. Für die Konditionszahl der MatrixAgiltκ(A)≥1.

4. Ohne Pivotisierung ist Gauÿ-Elimination fürAnicht immer durchführbar.

5. Berechnen Sieκ₂(A)der MatrixA= 10 0 0 2

! .

6. Pivotisierung verbessert die Stabilität der Gauÿ-Elimination.

7. Die Gauÿ-Elimination mit Pivotisierung führt auf eine ZerlegungA=LR.

8. Es sei A eine untere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösung des Glei- chungsssytemsA x=büber Vorwärtseinsetzen beträgt etwa ¹₂n²Operationen.

9. Es seiA=LDL^T mit einer normierten untere Dreiecksmatrix Lund einer DiagonalmatrixD mit nur strikt positiven Diagonaleinträgen. Dann istAsymmetrisch positiv denit.

10. Berechnen SiekAk1 fürA=







−2 6 2

0 4 −1

5 −1 2





.

(3)

Numerik MB H18 IGPM RWTH Aachen VF-3: Es seienA∈R^m×n undA=QReineQR-Zerlegung vonA, mit einer oberen DreiecksmatrixR.

1. Es giltR=Q^TA.

2. Für jede orthogonale MatrixQgiltQ²=I.

3. Die Summe zweier orthogonalerm×m- Matrizen ist wieder eine orthogonale Matrix.

4. Die Householder-Methode zur Bestimmung derQ R-Zerlegung ist ein stabiles Verfahren.

5. Es seienv= 1 3

!

undQv die Householder Transformation bezüglichv. Geben Sie(Qv)_1,1 an.

6. Es seienv ∈R^m,v 6= 0, undQ_v die Householder Transformation bezüglich v. Es gilt Q_αv =Q_v für alleα∈R,α6= 0.

7. Die Givens-Methode zur Bestimmung derQR-Zerlegung ist nur durchführbar, wennAvollen Rang hat.

8. Jede Givens-Transformation ist symmetrisch und orthogonal.

9. Es gilt:kAk2=kRk2, wobeik · k2 die euklidische Norm ist.

10. Es seienx= 3 2

!

undG∈R^2×2eine Givens Transformation. Geben SiekGxk²₂ an.

VF-4: Es seien A ∈ R^m×n, mit Rang(A) = n < m, und b ∈ R^m. Weiter seien Q∈ R^m×m eine orthogonale Matrix und R ∈R^n×n eine obere Dreiecksmatrix so, dass QA= R

∅

!

gilt. Weiter seix^∗ ∈Rⁿ die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblemsmin_x∈_RnkA x−bk2 undΘder Winkel zwischenAx^∗ undb.

Ebenso sei F :Rⁿ →R^m mit m > nstetig dierenzierbar. Dazu betrachten wir das (nichtlineare) Ausgleichs- problem: Bestimmexˆ∈Rⁿ so, dasskF(ˆx)k2= min_x∈RⁿkF(x)k2.

1. Die Kondition des linearen Ausgleichsproblems hängt vom WinkelΘab.

2. Es giltkA x−bk2=kR x−Q^Tbk2 für allex∈Rⁿ. 3. Es giltA^TAx^∗=A^Tb.

4. Es giltb^T(A x^∗−b) = 0.

5. Es seienm= 4,n= 2undQ b=





 2 1 1

−4







. Bestimmen SiekAx^∗−bk²₂.

6. Es seiQb=: b₁ b2

!

, mitb1∈Rⁿ, b2∈R^m−n. Dann gilt:kx^∗k2=kb1k2.

7. Beim Levenberg-Marquardt-Verfahren zur Lösung des nichtlinearen Ausgleichsproblems ergibt sich in jedem Iterationsschritt stets ein eindeutig lösbares lineares Ausgleichsproblem.

8. Falls die Gauÿ-Newton-Methode konvergiert, so ist die Konvergenzordnung in der Regel1. 9. Mit einer geeigneten Wahl des im Levenberg-Marquardt-Verfahren verwendeten Parameters kann

man die Konvergenzordnung der Methode vergröÿern.

10. Es seienm= 3,n= 1,A=





 1 1 0





,b=





 2 4 6





. Bestimmen Siex^∗.

3

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Numerik MB H18 IGPM RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : Rⁿ → Rⁿ stetig dierenzierbar und x^∗ so, dass Φ(x^∗) = x^∗ gilt. Für x0 ∈ Rⁿ wird die Fixpunktiterationxk+1= Φ(xk), k= 0,1,2, . . .deniert. Weiter seiΦ⁰(x)die Ableitung (Jacobi-Matrix) vonΦ an der Stellex.

Weiterhin seif :Rⁿ →Rⁿ zweimal stetig dierenzierbar in einer UmgebungU von x^∗, es geltef(x^∗) = 0 und f⁰(x^∗)sei regulär.

1. FallsΦ⁰(x^∗) = 0gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mitkx₀−x^∗khinrei- chend klein, und die Konvergenzordnung ist gröÿer als 1.

2. Es seienn= 1,Φ(x) :=¹₃x²−2x, undx^∗= 0. Die Fixpunktiteration konvergiert für alle Startwerte x0 mit|x0| ≤δ undδ >0hinreichend klein.

3. Es seienn= 1undΦ(x) = 2 cos(^x₃). Die Fixpunktiteration konvergiert für jeden Startwertx0∈R.

4. Die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration ist immer 1.

5. Es seienn= 1undΦ(x) :=x²+x−4. Geben Sie den eindeutigen negativen Fixpunkt vonΦan.

6. Wenn das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Lösungx^∗ vonf(x) = 0 konvergiert, dann gilt für genügend groÿek-Werte : ||xk−x^∗|| ≈ ||xk−xk+1||.

7. Die Newton-Methode zur Bestimmung der Lösungx^∗vonf(x) = 0ist lokal quadratisch konvergent.

8. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren dient dazu, den Einzugsbereich der Methode zu vergröÿern.

9. Die Bisektionsmethode ist auch in Dimensionn >1 ein zuverlässiges Verfahren zur Bestimmung der Lösungx^∗ von f(x) = 0.

10. Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren zuf(x) =x²−5 mit dem Startwertx₀= 5die zweite Iteriertex₂.

VF-6: Es seienn∈NundP(f|x0, . . . , xn)das Lagrange-Interpolationspolynom vom Gradn, das die Funktion f : [a, b] →Rin den Stützstellen a≤x0 < . . . < xn ≤b interpoliert. Weiter seienδn der führende Koezient dieses Polynoms und[x0, . . . , xn]f die dividierte Dierenz der Ordnungnvonf.

1. Es gilt:P(f|x₀, . . . , x_n)(x) =P(f|x₀, . . . , x_n−1)(x) +δ_nΠⁿ⁻¹_i=0(x−x_i)für allex∈R.

2. Es sei`jn(x) = Πⁿ_k=0,k6=j_x^x−x^k

j−x_k, 0≤j ≤n. Es gilt P(f|x0, . . . , xn)(x) =Pn

j=0`jn(x)[x0, . . . , xj]f für allex∈R.

3. Der Fehlermax_x∈[a,b]|P(f|x₀, . . . , x_n)(x)−f(x)|ist minimal wenn man die Stützstellenx_i äqui- distant wählt.

4. Das Verfahren von Neville-Aitken ist eine eziente Methode zur Bestimmung des Polynoms P(f|x0, . . . , xn).

5. Es seif(x) =x². Bestimmen Sie den Wert[x0, x1, x2]f. Es sei f ∈C^∞([a, b]). Das Integral I(f) =Rb

af(x)dx soll numerisch approximiert werden. Weiter sei Im(f) = (b−a)Pm

j=0w_jf(x_j)eine Quadraturformel mita≤x₀< . . . < x_m≤b. 6. Bei der Gauÿ-Quadratur gilt: Im(f) = Rb

a P(f|x0, . . . , xm)(x)dx, wobei P(f|x0, . . . , xm) das Lagrange-Interpolationspolynom zu geeignet gewählten Stützstellenxi ist.

7. Bei der Gauÿ-Quadratur gilt:I_m(f) =I(f)fallsf ein Polynom vom Grad maximal2m+ 1ist.

8. Bei der Gauÿ-Quadratur und bei den Newton-Cotes Formeln sind die Stützstellenxj unabhängig von der Funktionf.

9. Es sei I_mⁿ(f) die aus I_m(f) konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen [t_j−1, t_j], j = 1, . . . , n, mit t_j = a+jh, h = ^b−a_n . Der Exaktheitsgrad der summierten Qua- draturformelI_mⁿ(f)ist gröÿer als der vonI_m(f).

10. Berechnen Sie eine Approximation vonR2

0 x³dxmit Hilfe der Simpsonregel.

(5)

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H18

5

(6)

Numerik MB H18 NAME: MATR:

Aufgabe 1 (5 Punkte)

Es seienλ∈Reine Konstante, sowie

A=





3 1 2

9λ 3λ+ 2 6λ+ 1

0 4λ 2λ+ 1



.

a) Bestimmen Sie dieLR-Zerlegung (ohne Pivotisierung) von A. Es seien nun

P =







1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0







, D=







2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3







, L=







1 0 0 0 0 1 0 0 7 0 1 0 3 2 1 1







, R=







2 3 4 0 0 3 3 1 0 0 3 1 0 0 0 2







undb=







1 2

11

11 4 1 3







undB∈R^4×4. Dabei sindL undR die Matrizen derLR-Zerlegung vonP DB, d.h.P DB=LR. b) Berechnen Sie die Determinante vonB.

c) Lösen Sie das GleichungssystemBx=bmittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen.

(7)

Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB H18

7

(8)

Die Funktiony(t) := (√

t−a)²+√

t−b²soll im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate optimal an folgende Messwerte angepasst werden:

ti 0.25 1 4 y_i 2 1 6 Bestimmen Sie die Parameteraundbnäherungsweise:

a) Formulieren Sie dazu das entsprechende nichtlineare AusgleichsproblemkF(x)k2→min. Geben SieF undx explizit an.

b) Für das Gauÿ-Newton-Verfahren ist der Startwert (a⁰, b⁰) = (0,1) gegeben. Stellen Sie das zugehörige linearisierte Ausgleichsproblem für den ersten Schritt auf.

c) Es sei nuna=b= 1. Geben sie für diesen Wert das Residuum des in a) aufgestellten nichtlinearen Ausgleichs- problems an.

Wir betrachten nun das linearisierte Ausgleichsproblem





 0 1 1

−1





 +







0 −3

−2 −1

−1 1

2 1





 ∆c⁰

∆d⁰

₂

→ min

(∆c⁰,∆d⁰)^T∈R²

zum Startwert(c⁰, d⁰) = (0,1).

d) Führen Sie mit Hilfe dieses linearisierten Ausgleichsproblems einen Gauÿ-Newton-Schritt durch. Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mittels Normalgleichungen.

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Die Lösungen des Gleichungssystems

f(x, y) =

x²+ 3x y+ 2 x+y²+ 2y−3

= 0

0

sollen iterativ mit dem Newton- und dem vereinfachten Newton-Verfahren für Systeme bestimmt werden.

a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, aus der die Lage aller Nullstellen mitx >−2hervorgeht, und geben Sie für jede dieser Nullstellen einen geeigneten Startwert an (Genauigkeit±0.5).

b) Benutzen Sie dann als Startwert für die Nullstelle im 4. Quadranten für beide Verfahren x0

y0

= 4

−1

,

und führen Sie je zwei Iterationen durch.

Bem.: Die übrigen Nullstellen müssen nicht berechnet werden.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x

y

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Es ist die folgende Wertetabelle für eine unbekannte Funktionf gegeben

x -0.30 0.10 0.50 0.90 1.30 1.70 f(x) 1.0453 1.0050 1.1276 1.4331 1.9709 2.8283

a) Berechnen Sie die fehlenden WertePi,k in dem folgenden Neville-Aitken-Tableau fürf(1.0): x0=−0.30 1.0453

&

x1= 0.10 1.0050 → 0.91432

& &

x2= 0.50 1.1276 → 1.2808 → 1.5098

& & &

x3= 0.90 1.4331 → 1.5095 → P3,2 → 1.5405

& & & &

x4= 1.30 P4,0 → 1.5676 → 1.5458 → 1.5439 → P4,4

& & & & &

x₅= 1.70 2.8283 → 1.3279 → 1.5376 → P_5,3 → 1.5431 → 1.5432

Geben Sie einen möglichst guten Näherungswert p₂(1.0) für f(1.0) basierend auf einem Polynom zweiten Grades an und begründen Sie Ihre Antwort.

b) Die obigen Werte gehören zu der Funktion f(x) = cosh(x) = ¹₂(e^x+ e^−x). Geben Sie eine möglichst scharfe Fehlerabschätzung für den WertP_4,2 an, ohne jedoch die Funktionf auszuwerten!

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13

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Gegeben sei die Quadraturformel

Q(f) =w f 1

2−α

+w f 1

2 +α

, mit w∈R, α∈R, die näherungsweise das IntegralR1

0 f(x)dxberechnet.

a) Leiten Sie die Werte fürwundαso her, dass die Quadraturformel mindestens den Exaktheitsgrad 3 hat.

Wir betrachten nun die summierte Gauÿformel mit zwei Stützstellen:

b) Bestimmen Sie für diese Formel eine geeignete Anzahl an Teilintervallen n, so dass der Quadraturfehler für das IntegralZ 1

0

e^sin(x) dxunterε= 10⁻³ bleibt.

Hinweis: Fürf(x) =e^sin(x)giltmaxξ∈R|f⁽ⁱ⁾(ξ)| ≤3i efüri= 1,2, . . . ,5.

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Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H18 NAME: MATR:

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