im Falle des Gauß-Seidel- bzw

Numerik f¨ur Maschinenbauer und Mechaniker, ¨Ubung 13, L¨osungsvorschlag 6

Haus¨ubung

H 40 (Ferien¨ubung: Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax=b mit

A=

5 −4 1 −2

und b = 9

−1

.

a) F¨uhren Sie mit dem Startvektor x⁽⁰⁾ = (−6,−6)^T jeweils drei Schritte des Jacobi-, des Gauß-Seidel-, und des SOR-Verfahrens (ω = 1.5) aus.

b) Erstellen Sie eine Skizze, die die beiden Gleichungen des Systems als Geraden in- terpretiert ( die exakte L¨osung lautet x^∗ = (3.6,2.3)^T ) und erg¨anzen Sie die Skizze um die Iterationsfolgen

x⁽⁰⁾₁ x⁽⁰⁾₂

!

, x⁽¹⁾₁ x⁽⁰⁾₂

!

, x⁽¹⁾₁ x⁽¹⁾₂

!

, x⁽²⁾₁ x⁽¹⁾₂

! , · · ·

im Falle des Gauß-Seidel- bzw. SOR-Verfahrens und

x⁽⁰⁾₁ x⁽⁰⁾₂

!

, x⁽¹⁾₁ x⁽¹⁾₂

!

, x⁽²⁾₁ x⁽²⁾₂

!

, x⁽³⁾₁ x⁽³⁾₂

! , · · ·

im Falle des Jacobi-Verfahrens.

a) Die Zerlegung der Matrix A in D−L−U ergibt f¨ur das Jacobi-Verfahren die Iterationsvorschrift

x^(k+1) = D⁻¹(L+U)x^(k)+D⁻¹b

= ₁

5 0

0 −¹₂

0 0

−1 0

+

0 4 0 0

x^(k)+

₁

5 0

0 −¹₂

9

−1

=

0 ⁴₅

1

2 0

x^(k)+

₉

51 2

Damit ergibt sich die Iterationsfolge −6

−6

,

−3

−2.5

,

−¹₅

−1

,

1

2 5

, · · ·

Das Gauß-Seidel-Verfahren ist gegeben durch

x^(k+1) = D⁻¹(Lx^(k+1)+U x^(k)+b) x^(k+1)₁ = ¹₅(9 + 4x^(k)₂ )

x^(k+1)₂ = ¹₂(1 +x^(k+1)₁ ) Damit ergibt sich die Iterationsfolge

−6

−6

,

−3

−1

,

1 1

,

₁₃

59 5

, · · ·

Numerik f¨ur Maschinenbauer und Mechaniker, ¨Ubung 13, L¨osungsvorschlag 7 Das SOR-Verfahren ist gegeben durch

x^(k+1) = ωD⁻¹(Lx^(k+1)+U x^(k)+b) + (1−ω)x^(k) x^(k+1)₁ = 1.5¹₅(9 + 4x^(k)₂ )−0.5x^(k)₁

x^(k+1)₂ = 1.5¹₂(1 +x^(k+1)₁ )−0.5x^(k)₂ Damit ergibt sich die Iterationsfolge

−6

−6

,

−1.5

−6

,

−1.5 2.625

,

6.6 2.625

, · · ·

b) Die graphische Darstellung ergibt

6

-

c

c c

s

s

s s

-

6 - 6-6

x⁽⁰⁾

x⁽¹⁾_J

x⁽²⁾_J x⁽¹⁾_GS

x⁽²⁾_GSx⁽³⁾_GS x⁽¹⁾_SOR

x^∗

H 41 (Ferien¨ubung: Jacobi-, Gauß-Seidel- und SOR-Verfahren) Gegeben seien

A =





3 1 1 1 3 1 1 1 3



 und



 6 0 4



.

a) Stellen Sie f¨ur das GleichungssystemAx=bjeweils die Gleichungen zur Berechnung von x^(k+1) auf unter Verwendung

• des Gesamtschrittverfahrens (Jacobi),

• des Einzelschrittverfahrens (Gauß-Seidel),

• des SOR-Verfahrens.

b) Verwenden Sie den Startvektor x⁽⁰⁾ = (0,0,0)^T und berechnen Sie mit jedem der drei Verfahren x⁽²⁾ (ω= 1.14589 im Falle des SOR-Verfahrens). Bestimmen Sie die Fehler kx⁽²⁾−x^∗k₂.

Die Zerlegung vonA ist gegeben durch A=D+L+U =



 3

3 3



+



 1 1 1



+





1 1 1



.

Damit ergibt sich

Numerik f¨ur Maschinenbauer und Mechaniker, ¨Ubung 13, L¨osungsvorschlag 8 a) • Gesamtschrittverfahren: x^(k+1) =D⁻¹(b−(L+U)x^(k))

x^(k+1)₁ = ¹₃(6−x^(k)₂ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₂ = ¹₃(0−x^(k)₁ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₃ = ¹₃(4−x^(k)₁ −x^(k)₂ )

• Einzelschrittverfahren: x^(k+1) =D⁻¹(b−Lx^(k+1)−U x^(k))

x^(k+1)₁ = ¹₃(6−x^(k)₂ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₂ = ¹₃(0−x^(k+1)₁ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₃ = ¹₃(4−x^(k+1)₁ −x^(k+1)₂ )

• SOR-Verfahren:x^(k+1) =ωD⁻¹(b−Lx^(k+1) −U x^(k)) + (1−ω)x^(k)

x^(k+1)₁ = (1−ω)x^(k)₁ + ^ω₃(6−x^(k)₂ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₂ = (1−ω)x^(k)₂ + ^ω₃(0−x^(k+1)₁ −x^(k)₃ ) x^(k+1)₃ = (1−ω)x^(k)₃ + ^ω₃(4−x^(k+1)₁ −x^(k+1)₂ )

b) Die exakte L¨osung des LGS ist x^∗ = (2,−1,1)^T. F¨ur die Verfahren ergibt sich

• Gesamtschrittverfahren:

x⁽⁰⁾ = (0,0,0)^T, x⁽¹⁾ = (2,0,⁴

3)^T und x⁽²⁾ = (¹⁴₉,−¹⁰₉,²

3)^T. Damit ist kx⁽²⁾−x^∗k2 = 0.5665.

• Einzelschrittverfahren:

x⁽⁰⁾ = (0,0,0)^T, x⁽¹⁾ = (2,−²₃,⁸₉)^T und x⁽²⁾ = (⁵²₂₇,−⁷⁶₈₁,²⁴⁴₂₄₃)^T. Damit ist kx⁽²⁾−x^∗k₂ = 0.0974.

• SOR-Verfahren:

x⁽⁰⁾ = (0,0,0)^T, x⁽¹⁾ = (2.291,−0.875,0.987)^T und x⁽²⁾ = (1.915,−0.981,1.027)^T.

Damit ist kx⁽²⁾−x^∗k2 = 0.0911.