Matr.Nr.:
PlatzNr.:Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken
Samstag 17. März 2018
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Zugelassene Hilfsmittel:
• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.
• Ein Taschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der PositivListe steht, die zu Klausurbeginn auch auiegt.
ACHTUNG: Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!
Benutzter Taschenrechner
(genaue Typenbezeichnung) :Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden. Achtung: Fehlende Begründungen führen zu Punktabzügen! Sie können Ihre Klausur am Freitag, dem 23. März 2018 im Raum 149 einsehen und sich (nur!) dort gegebenenfalls zur mündlichen Prüfung anmelden. Eine Einteilung zur Einsicht erfolgt zusammen mit der Bekanntgabe der Ergebnisse.
Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.
Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer auch die benutzten Blanko Blätter.
Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d. h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen. Dieses muss das Datum und die Uhrzeit dokumentieren und die Bestätigung der Ärztin/des Arztes ausweisen, dass die gesundheitliche Beeinträchti- gung nicht vor (bzw. im Falle der Prüfungsunfähigkeit nach Abgabe der Prüfungsunterlagen nicht vor oder während) der Prüfung festgestellt werden konnte. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzureichen. Ggf. entscheidet der Prüfungsausschuss (insbesondere im Fall der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung) unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.
Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der Positiv-Liste bendet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, Smartwatch, MP3-Player usw. bei mir habe.
Name:
Vorname:
Unterschrift:
VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X
:
IGPM RWTHAachen Numerik MB F18
Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)
Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.
Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Zahl mit mindestens 5 signikanten Ziern an. Falls nicht anders gefordert, muss das Ergebnis als Dezimalzahl angegeben werden.
VF-1: Es seien xMIN bzw. xMAX die kleinste bzw. gröÿte (strikt) positive Zahl sowie eps := b1−m2 die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäÿ Vorlesung/Buch und D:= [−xMAX,−xMIN]∪[xMIN, xMAX]. Ferner beschreibefl :D→M(b, m, r, R)die Standardrundung.
1. InM(10,5,−8,8) gilteps = 5·10−5.
2. Für jedesx∈Dexistiert eine Zahlmit || ≤epsundfl(x) =x(1 +). 3. Es gilt:|fl(x)−x| ≤eps|x|für allex∈D.
4. Es giltxMAX=bR.
5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl36inM(7,4,−8,8)an.
6. InM(2,4,−4,4)giltxMIN= 641.
7. Bei einem stabilen Algorithmus ist der durch Rundungseekte verursachte Fehler im Ergebnis von derselben Gröÿenordnung wie der durch die Kondition des Problems bedingte unvermeidbare Fehler.
8. Es seienx= 3undy= 3 + 10−10. Bei der Berechnung vonex−ey tritt Auslöschung auf.
9. Die Funktionf(x) =x21+1 ist für allex∈[−1,1]gut konditioniert.
10. Berechnen Sie die Konditionκrel(x, y)der Funktion f(x, y) =x2y3im Punkt(2,1).
VF-2: Es seienA∈Rn×n beliebig aber regulär,b∈Rn und gesucht sei die Lösungx∈Rn vonAx=b. 1. Es seiB:=DAdie zeilenäquilibrierte Matrix zuA. Dann giltkBk∞= 1.
2. Es seien x˜ eine Annäherung der Lösung x∗ und r := b−Ax˜ das zugehörige Residuum. Es gilt
kx∗−˜xk
kx∗k ≤κ(A)krkkbk, mitκ(A) :=kAkkA−1k.
3. Für die Konditionszahl der MatrixAgiltκ(A)κ(A−1) = 1.
4. Es existiert immer eineL-R-Zerlegung der FormP A=LR, wobeiP eine geeignete Permutations- matrix ist.
5. Berechnen Siedet(A−1)fürA=
5 3 1
0 1 −1
0 0 2
.
6. Die Gauÿ-Elimination ohne Pivotisierung ist für jede symmetrisch positiv denite MatrixAdurch- führbar.
7. Die Gauÿ-Elimination mit Pivotisierung führt auf eine ZerlegungP A=L R.
8. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösungxüber den Gauÿ-Algorithmus mit Spaltenpivo- tisierung beträgt etwa 16n3 Operationen.
9. Es seiA=L D LT dieL-D-LT-Zerlegung vonA mit einer DiagonalmatrixD, für die det(D)>0 gilt. Dann istA symmetrisch positiv denit.
10. Es seienn= 4undA=L D LT dieL-D-LT-Zerlegung vonAmit einer DiagonalmatrixD, für die dii =i(i= 1, . . . ,4) gilt. Berechnen Siedet(A).
Numerik MB F18 IGPM RWTH Aachen VF-3: Es seien A ∈ Rm×n und A = Q R eine Q-R-Zerlegung von A, mit einer oberen Dreiecksmatrix R. Weiterhin seienH1, . . . , Hk Householder-Transformationen mit QT =Hk . . . H2H1.
1. Für jede symmetrische orthogonale MatrixQgiltQ2=I. 2. Es seiA=
0 α α 0
mit |α|= 1. Dann istA eine orthogonale Matrix.
3. Es gilt|det(A)|=|det(R)|. 4. Es giltATA=RTR. 5. Es seien v =
2 3
, e1 = 1
0
und Qv die Householder Transformation bezüglich v. Geben Sie eT1 Qvvan.
6. Es seien m = n und det(A) 6= 0. Dann gilt: κ2(A) = κ2(R), wobei κ2(·) die Konditionszahl bezüglich der euklidischen Norm ist.
7. Die Householder-Methode zur Bestimmung derQ-R-Zerlegung ist nur durchführbar wennAvollen Rang hat.
8. Jede Householder-TransformationHj ist symmetrisch positiv denit.
9. Die ProduktmatrixQT ist orthogonal.
10. Es seienv∈R2, v6= 0,x= 4
2
undQv die Householder Transformation bezüglichv. Geben Sie kQvxk22 an.
VF-4: Es seien A ∈ Rm×n, mit Rang(A) = n≤ m, und b ∈ Rm. Weiter seien Q∈ Rm×m eine orthogonale Matrix und R∈ Rn×n eine obere Dreiecksmatrix so, dassQ A=
R
∅
gilt. Weiter seix∗ ∈Rn die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblemsminx∈RnkA x−bk2 undΘder Winkel zwischenAx∗ undb.
Ebenso seiF :Rn →Rmmitm > nstetig dierenzierbar. Wir betrachten das (nichtlineare) Ausgleichsproblem:
Bestimmexˆ∈Rn so, dasskF(ˆx)k2= minx∈RnkF(x)k2.
1. Je kleiner der Betrag des WinkelsΘ, desto schlechter ist das lineare Ausgleichsproblem konditio- niert.
2. Es giltkAx−bk2= min ⇔(Ax−b)⊥Bild(A), wobei Bild(A) :={Ax|x∈Rn}. 3. Es giltkAxk2=kRxk2 für allex∈Rn.
4. Es giltκ2(A) =κ2(R). 5. Es seienA=
2 1 3 1 0 1
undb=
1 2
−1
. Bestimmen SieΘ. 6. Es seiQb=:
b1
b2
, mitb1∈Rn undb2∈Rm−n. Dann gilt: x∗=R−1b1.
7. Beim Gauÿ-Newton Verfahren zur Lösung des nichtlinearen Ausgleichsproblems ergibt sich in jedem Iterationsschritt stets ein eindeutig lösbares lineares Ausgleichsproblem.
8. Die Konvergenzordnung des Levenberg-Marquardt-Verfahrens ist in der Regel gröÿer als die der Gauÿ-Newton-Methode.
9. Mit einer geeigneten Wahl des im Levenberg-Marquardt-Verfahren verwendeten Parametersµkann man den Einzugsbereich der Methode vergröÿern.
10. Es seienm= 3,n= 2undQ b=
−1 4
−3
. Bestimmen SiekAx∗−bk2.
3
Numerik MB F18 IGPM RWTH Aachen VF-5: Es seienΦ :Rn→Rn zweimal stetig dierenzierbar undx∗ so, dassΦ(x∗) =x∗gilt. Fürx0∈Rn wird die Fixpunktiteration xk+1 = Φ(xk), k = 0,1,2, . . . deniert. Weiter sei Φ0(x) die Ableitung (Jacobi-Matrix) vonΦan der Stellex.
Weiterhin seif : R→Rzweimal stetig dierenzierbar, und f(x∗) = 0, f0(x∗)6= 0. Für das Intervall [a, b]gilt, dassa < x∗< b, wobeix∗ die einzige Nullstelle vonf in[a, b]ist.
1. Es seienn= 1,Φ(x) := 13x2−14x, undx∗= 0. Die Fixpunktiteration konvergiert für alle Startwerte x0 mit|x0| ≤δ undδ >0hinreichend klein.
2. FallsΦ0(x∗) = 0, ist die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration mindestens2.
3. FallskΦ0(x∗)k∞= 2undkΦ0(x∗)k2= 0.6gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Start- werte aus einer hinreichend kleinen Umgebung vonx∗.
4. Es seienn= 1undΦ(x) := e−x. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind für Φauf dem Intervall[0.1,2]erfüllt.
5. Es seiΦ(x) :=x−ff(x)0(x). Bestimmen SieΦ0(x∗).
6. Das vereinfachte Newton-Verfahren benötigt die Ableitungf0 nicht.
7. Es sei f konvex auf [a, b], d.h. f00(x) > 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann gilt: Das Newton-Verfahren konvergiert für jeden Startwert x0∈[a, b].
8. Das Sekanten-Verfahren konvergiert für jeden Startwertx0∈[a, b].
9. Eine Dämpfungsstrategie beim Newton-Verfahren dient dazu, den Einzugsbereich der Methode zu vergröÿern.
10. Es seienx0ein Startwert aus einer hinreichend kleinen Umgebung vonx∗undxk,k≥1, die mit dem Newton-Verfahren berechnete Folge. Geben Sie den Wert fürpso an, dassx∗−xk ≈(xk+1−xk)p fürkhinreichend groÿ gilt.
VF-6: Es seienn∈NundP(f|x0, . . . , xn)das Lagrange-Interpolationspolynom vom Gradn, das die Funktion f : [a, b]→Rin den Stützstellen a≤x0< . . . < xn ≤b interpoliert.
Weiter seienδn der führende Koezient dieses Polynoms und[x0, . . . , xn]f die dividierte Dierenz der Ordnung nvonf.
1. Es gilt:P(f|x0, . . . , xn)(x) =P(f|x0, . . . , xn−1)(x) + Πn−1i=0(x−xi)für alle x∈R.
2. Es giltmaxx∈[a,b]|P(f|x0, . . . , xn)(x)−f(x)| ≤maxx∈[a,b]|P(f|x0, . . . , xn−1)(x)−f(x)|. 3. Es giltP(Q|x0, . . . , xn) =Qfür alle PolynomeQvom Grad maximaln.
4. Es sei`jn(x) = Πnk=0,k6=jxx−xk
j−xk,0≤j ≤n. Dann gilt P(f|x0, . . . , xn)(x) =Pn
j=0f(xj)`jn(x)für alle x∈R.
5. Es seienf(x) =x2,x0=−1 undx1= 5. Bestimmen Sie den Wert[x0, x1]f. Es seif ∈C∞([a, b]). Das IntegralI(f) =Rb
af(x)dxsoll numerisch approximiert werden.
Weiter seiIm(f) = (b−a)Pm
j=0wjf(xj)eine Quadraturformel mita≤x0< . . . < xm≤b. 6. Die relative Kondition, bezüglich der Maximumnorm, der Bestimmung vonI(f)ist gut.
7. Bei der Gauÿ-Quadratur und bei den Newton-Cotes Formeln sind die Gewichte wj unabhängig von der Funktionf.
8. Die Gauÿ-Quadratur basiert auf der analytischen Integration eines Lagrange-Interpolations- polynoms anf, wobei die Stützstellen so gewählt werden, dass der Exaktheitgrad vonImmaximal wird.
9. Für die Newton-Cotes Formeln giltlimm→∞|Im(f)−I(f)|= 0.
10. Es seiena= 0,b= 1undI2(f)die Simpsonregel. Geben Sie das kleinste nan, für das der Fehler I(2xn+x)−I2(2xn+x)nicht0ist.
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F18
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Numerik MB F18 NAME: MATR:
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Gegeben seien
A=
8 2α+ 2 −2 4 −α+ 1 2α−1
0 4α 4
, b=
0
−8α
−16
undα∈R\ {0}.
a) Bestimmen Sie dieL-R-Zerlegung der MatrixAmit Pivotisierung. Geben SieL,RundP explizit an.
b) Berechnen Siedet(A)unter Verwendung der in a) gefundenen Zerlegung für alle α∈R\ {0}. Für welche α hat die MatrixAvollen Rang?
c) Berechnen Sie die Lösung des GleichungssystemsA x=bunter Verwendung der in a) gefundenen Zerlegung für alleα∈R\ {0} mitdet(A)6= 0.
Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB F18
7
Numerik MB F18 NAME: MATR:
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Wir betrachten das lineare Ausgleichsproblem
kAx−bk2= min
y∈Rn
kAy−bk2
für eine MatrixA∈R4×2 und Datenb= (1,0,1,0)T ∈R4. Von der Matrix sei dieQ-R-ZerlegungA=Q Rbekannt mit
Q=
√2
2
1 0 0 1
0 −1 1 0
0 1 1 0
−1 0 0 1
und R=
2 4 0 3 0 0 0 0
.
a) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mithilfe der Q-R-Zerlegung. Geben Sie die Norm des Residuums kAx−bk2 an.
b) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mithilfe der Normalgleichungen.
Hinweis: Die MatrixAmuss dazu nicht ausgerechnet werden.
c) Es sei nun A ∈ Rm×n mit m ≥ n eine beliebige Matrix mit schlechter Kondition und vollem Rang. Sollte man eher dieQ-R-Zerlegung oder die Normalengleichungen zum Lösen eines linearen Ausgleichproblems mit Anehmen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Fortsetzung Aufgabe 2 Numerik MB F18
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Numerik MB F18 NAME: MATR:
Aufgabe 3 (9 Punkte)
Gesucht sind die Lösungen des folgenden nichtlinearen Gleichungssystems:
x2+ 2y2−18 = 0 2x y+ 3x−7 = 0
a) Fertigen Sie eine Skizze an, die die Lage der Lösung(en) im 1. Quadranten verdeutlicht. Bestimmen Sie einen guten, d.h. möglichst kleinen ganzzahligen Bereich[xu, xo]×[yu, yo], in dem eine Lösung liegt.
b) Geben Sie für die in a) xierte Lösung eine geeignete 2D-Fixpunktgleichung an, und weisen Sie hierfür die Voraussetzungen des Fixpunksatzes von Banach nach. Begründen Sie Ihre Aussagen.
c) Eine weitere Lösung liegt in[4,5]×[−1,0]. Für diese ist x
y
=F x
y
=
p18−2y2 7−3x
2x
eine geeignete Fixpunktiteration mit Kontraktionszahl (bezüglich der ∞-Norm) L = 0.5. Wieviele Schritte sind ausgehend von dem ganzzahligen Startwert(x0, y0) = (4,−1)höchstens erforderlich, um eine Genauigkeit vonε= 3
4·10−8 zu erzielen.
d) Geben Sie eine aposterioriFehlerabschätzung für(x2, y2)an.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
y
Fortsetzung Aufgabe 3 Numerik MB F18
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Numerik MB F18 NAME: MATR:
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Für die FunktionF ist eine Wertetabelle gegeben.
x -1 0 1 2 3 4 5 F(x) -2 1 3 3 2 1 1
a) Gesucht ist eine möglichst gute Näherung fürF(1.5) mit der Hilfe eines Polynoms zweiten Grades. Welche Stützstellen wählen Sie, um dieses Polynom zu bestimmen, und warum? Berechnen Sie den entsprechenden Näherungswert mit dem Neville-Aitken-Schema.
b) Geben Sie eine möglichst gute Fehlerabschätzung für den in Aufgabenteil a) berechneten Näherungswert an.
Hinweis: Es gilt |F(n)(x)| ≤2n+ 4, für allenund allex∈[−1,5].
Fortsetzung Aufgabe 4 Numerik MB F18
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Numerik MB F18 NAME: MATR:
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Gegeben sei die Quadraturformel
Q(f) =c0f(−1) +c1f(0) +c2f(1), die näherungsweise das IntegralR1
−1f(x)dxberechnet.
a) Leiten Sie die Werte fürc0,c1 undc2 her, sodass die Quadraturformel mindestens den Exaktheitsgrad 2 hat.
b) Es sei T > 2 gegeben. Nutzen Sie die Quadraturformel aus a) um f(x) := 4
x2 auf dem Intervall [2, T] näherungsweise zu integrieren. Falls Sie in a) keine Werte herausbekommen haben, rechnen Sie allgemein mit den Konstantenc0,c1 undc2 weiter.
c) Es seiT >2gegeben. Bestimmen Sie für die summierte Trapezregel eine geeignete Anzahl Teilintervallenso, dass der Quadraturfehler für das IntegralZ T
2
4
x2 dxunterε= 10−3bleibt.
Fortsetzung Aufgabe 5 Numerik MB F18
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Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F18 NAME: MATR:
Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F18 NAME: MATR:
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Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB F18 NAME: MATR:
