Freitag 30. August 2019

(1)

Matr.–Nr.:

^Platz–Nr.:

Klausur zur Numerischen Mathematik im Maschinenbau Prof. Dr. Arnold Reusken

Freitag 30. August 2019

Institut für Geometrie und Praktische Mathematik

Zugelassene Hilfsmittel:

• Die vom Institut zur Klausur verteilte Formelsammlung, die Sie mit Namen und Matrikelnum- mer versehen.

• Höchstens einTaschenrechner, der explizit vom Institut zugelassen wurde und auf der “Positiv–Liste” steht, die zu Klausurbeginn auchaufliegt.

ACHTUNG:Die Benutzung eines anderen Taschenrechners gilt als Täuschungsversuch!

Benutzter Taschenrechner

(genaue Typenbezeichnung) :

Sie haben insgesamt 120 Minuten Zeit zur Bearbeitung. Zum Bestehen der Klausur müssen mindestens 50% der Gesamtpunktzahl erreicht werden.Achtung: Fehlende Begründungen führen zu Punktabzügen!Sie können Ihre Klausur am Montag, dem 16. September 2019 im Raum 149 einsehen und sich (nur!) dort gegebenen- falls zur mündlichen Prüfung anmelden. Eine Einteilung zur Einsicht erfolgt zusammen mit der Bekanntgabe der Ergebnisse.

Bitte beginnen Sie mit der Bearbeitung der Aufgabe direkt unter der Aufgabenstellung. Sollte der Platz unterhalb der Aufgabe nicht ausreichen, so setzen Sie die Aufgabe bitte auf der rechten Seite fort. Wenn auch das noch nicht ausreicht, so fahren Sie auf einem der hinteren Leerblätter fort und geben dies bitte vorne mit einem Hinweis an.

Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer — auch die benutzten Blanko–

Blätter.

Die/der Studierende erklärt hiermit auch, dass sie/er sich aktuell gesund fühlt. Im Falle eines Prüfungsabbruchs wegen Krankheit gilt Folgendes: Die/der Studierende sucht unverzüglich, d.h. direkt im Anschluss an den Prü- fungsabbruch eine Ärztin bzw. einen Arzt auf und lässt sich ein Attest ausstellen. Dieses muss das Datum und die Uhrzeit dokumentieren und die Bestätigung der Ärztin/des Arztes ausweisen, dass die gesundheitliche Beeinträchti- gung nicht vor (bzw. im Falle der Prüfungsunfähigkeit nach Abgabe der Prüfungsunterlagen nicht vor oder während) der Prüfung festgestellt werden konnte. Dieses Attest ist unverzüglich beim ZPA einzureichen. Ggf. entscheidet der Prüfungsausschuss (insbesondere im Fall der vermeintlichen Prüfungsunfähigkeit nach Beendigung der Prüfung) unter Einbeziehung einer/eines Vertrauensärztin/-arztes über die Anerkennung des Attestes.

Ich versichere mit meiner Unterschrift auch, dass ich nur den oben eingetragenen Taschenrechner benutze, der sich zudem auf der “Positiv-Liste” befindet und dass ich keine sonstigen elektronischen Geräte wie Handy, Tablet, Smartwatch, MP3-Player usw. bei mir habe.

Name:

Vorname:

Unterschrift:

VFr: A1: A2: A3: A4: A5: BP: X

:

(2)

IGPM RWTH–Aachen Numerik MB H19

Verständnisfragen-Teil (30 Punkte)

Jeder der 6 Verständnisfragenblöcke besteht aus 10 Verständnisfragen. Werden alle 10 Fragen in einem Verständ- nisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es dafür 5 Punkte. Für 9 richtige Antworten gibt es 4 Punkte; für 8 richtige 3, für 7 richtige 2 und für 6 richtige Antworten gibt es einen Punkt. Werden weniger als 6 Fragen in einem Verständnisfragenblock richtig beantwortet, so gibt es für diesen Block 0 Punkte.

Beantworten Sie alle Fragen mit wahr oder falsch bzw. geben Sie das Ergebnis numerisch als Zahl mit mindestens 5 signifikanten Ziffern an. Falls nicht anders gefordert, muss das Ergebnis als Dezimalzahl angegeben werden.

VF-1: Es seien xMIN bzw. xMAX die kleinste bzw. größte (strikt) positive Zahl sowie eps die relative Maschinengenauigkeit in der Menge M(b, m, r, R) der Maschinenzahlen gemäß Vorlesung/Buch und D :=

[−xMAX,−xMIN]∪[x_MIN, x_MAX]. Ferner beschreibe fl : D → M(b, m, r, R) die Standardrundung, und es sei (gem. Vorlesung/Buch) der Minusoperator fürM, d.h.:x y:= fl(fl(x)−fl(y))wobei wir hier annehmen, dass alle Zwischenergebnisse inDliegen.

1. Es giltxMAX= (1−b^−m)b^R. 2. InM(2,4,−4,4)giltx_MIN= ₃₁¹.

3. Die Anzahl der Maschinenzahlen inM(b, m, r, R)ist endlich.

4. Für jedesx∈Dexistiert eine Zahlmit || ≤epsundfl(x)−x=.

5. Geben Sie die nicht-normalisierte Darstellung der Zahl17inM(3,8,−8,8)an.

6. Es gilt |(x y)−(x−y)|

|x−y| ≤epsfür allex, y∈M(b, m, r, R)mitx6=y.

7. Falls die Kondition eines Problems schlecht ist, wird jede Störung der Eingabedaten viel verstärkt.

8. Es seienx= 5undy= 5−10⁻¹⁰. Bei der Berechnung vonsin(x)−sin(y)tritt Auslöschung auf.

9. Die Funktionf(x) = ln(x)ist gut konditioniert für allex≥3.

10. Berechnen Sie die Konditionκ_rel(x, y)der Funktion f(x, y) =x²cos(y)im Punkt(1,0).

VF-2: Es seienA∈R^n×n beliebig aber regulär,b∈Rⁿ und gesucht sei die Lösungx^∗∈Rⁿ vonAx=b.

1. Es sei B := D A die zeilenäquilibrierte Matrix zu A. Dann gilt κ₂(B) ≤ κ₂(A), mit κ₂(A) :=

kAk2kA⁻¹k2.

2. Wir betrachten das gestörte ProblemAx˜= ˜b. Es gilt ^kb−_kbk^˜^bk ≤κ(A)^kx_kx^∗^−˜∗k^xk, mitκ(A) :=kAkkA⁻¹k.

3. Für die Konditionszahl der Matrix Agiltκ(A²) =κ(A)².

4. Es seiP A=L Rdie über den Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotisierung berechnete Faktorisie- rung. Dann gilt: det(A) = det(R).

5. Berechnen SiekAk1 fürA=





−2 4 1

0 −2 −1

2 −1 7



.

6. Eine LR-ZerlegungP A=L R kann man verwenden, umA⁻¹zu bestimmen.

7. Es sei R ∈ R^n×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Lösungy vonRy=b über Rückwärtseinsetzen beträgt etwan²Operationen gem. Vorlesung.

8. Es seiAsymmetrisch positiv definit. Das Cholesky-Verfahren zur Bestimmung der Zerlegung A=L D L^T is eine stabiles Verfahren.

9. Es seiAsymmetrisch positiv definit. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Cholesky-Zerlegung über das Cholesky-Verfahren beträgt etwa ¹₆n³Operationen gem. Vorlesung.

10. Es seien κ_∞(A) die Konditionszahl bzgl. der Maximumnorm und A :=

2 0 4 1

. Berechnen Sie κ_∞(A).

(3)

Numerik MB H19 IGPM – RWTH Aachen VF-3: Es seienA∈R^m×n undA=Q ReineQR-Zerlegung von A.

1. Es existiert immer eineQ R-Zerlegung vonA.

2. Für jede orthogonale Matrix giltQgiltQ^T =Q.

3. Es seienm=nunddet(A)6= 0. Dann giltκ2(A) =κ2(Q), wobeiκ2(.)ie Konditionszahl bezüglich der euklidischen Norm ist.

4. Es seienm=n,det(A)6= 0undb∈Rⁿ. Dann gilt:A x=b⇔x=R⁻¹Q^Tb.

5. Es seien v, x∈R² mit v 6= 0, x= 0

−6

und Q_v =I−2^vv_v_T^T_v eine Householder-Transformation.

Geben SiekQ_vxk₂ an.

6. Die Householder-Methode zur Bestimmung derQR-Zerlegung ist immer stabil.

7. Die Summe zweier orthogonalerm×m- Matrizen ist eine orthogonale Matrix.

8. Es seienQv diem×m- Householder-Transformation bezüglich v undx∈R^mbeliebig.

Dann giltkQvxk∞=kxk∞.

9. Das Produkt zweier Givens-Transformationen ist eine orthogonale Matrix.

10. Es sei Qv eine Householder-Transformation. Geben Sie den Wert des größten Eigenwertes der MatrixQv an.

VF-4: Es seien A ∈ R^m×n mit Rang(A) = n ≤ m und b ∈ R^m. Weiter seien Q ∈ R^m×m eine orthogonale Matrix undR ∈ R^n×n eine obere Dreiecksmatrix so, dass Q A=

R

∅

gilt. Weiter sei x^∗ ∈ Rⁿ die eindeutige Minimalstelle des Minimierungsproblemsmin_x∈RⁿkA x−bk2 undΘ∈

0,^π₂

der Winkel zwischenA x^∗ undb.

Ebenso sei F :Rⁿ →R^m mit m > nstetig differenzierbar. Dazu betrachten wir das (nichtlineare) Ausgleichs- problem: Bestimmexˆ∈Rⁿ so, dasskF(ˆx)k2= min_x∈RⁿkF(x)k2.

1. Die MatrixA^TAist symmetrisch positiv definit.

2. Es giltx^∗= argmin_x∈_RnkA x−bk2⇔Q A x^∗=Q b.

3. Je kleiner der Winkel Θ, desto besser ist die Stabilität des Lösungsverfahrens über die QR- Zerlegung.

4. Es seiQ b=:

b1

b₂

mitb1∈Rⁿ und b2∈R^m−n. Dann gilt:x^∗=R⁻¹b1. 5. Es seienA=





−2 1 0 1 3 1



undb=



 0 2 5



. Bestimmen SieΘ.

6. Die MatrixR kann man über Householder-Transformationen bestimmen.

7. Die Gauß-Newton Methode ist immer konvergent in einer hinreichend kleinen Umgebung vonx.ˆ 8. Mit einer geeigneten Wahl des im Levenberg-Marquardt-Verfahren verwendeten Parameters kann

man die Konvergenzordnung der Methode vergrößern.

9. Die Konvergenzordnung der Gauß-Newton-Methode ist in der Regel 1.

10. Es seienm= 4,n= 2undQ b=





 1 2 0

−4







. Bestimmen SiekAx^∗−bk2.

3

(4)

Numerik MB H19 IGPM – RWTH Aachen VF-5: Es seien Φ : Rⁿ → Rⁿ stetig differenzierbar und x^∗ so, dass Φ(x^∗) = x^∗ gilt. Für x0 ∈ Rⁿ wird die Fixpunktiterationxk+1= Φ(xk), k= 0,1,2, . . .definiert. Weiter seiΦ⁰(x)die Ableitung (Jacobi-Matrix) vonΦ an der Stellex.

Weiterhin seif : R→Rzweimal stetig differenzierbar, und f(x^∗) = 0, f⁰(x^∗)6= 0. Für das Intervall [a, b]gilt, dassa < x^∗< b, wobeix^∗ die einzige Nullstelle vonf in[a, b]ist.

1. FallsΦ⁰(x^∗) = 0gilt, so konvergiert die Fixpunktiteration für alle Startwerte mitkx₀−x^∗khinrei- chend klein, und die Konvergenzordnung ist größer als 1.

2. Die Konvergenzordnung der Fixpunktiteration ist höchstens 2.

3. Das Gauss-Newton-Verfahren ist eine Fixpunktiteration.

4. Es seienn= 1undΦ(x) = cos(¹₂x). Die Fixpunktiteration konvergiert für jeden Startwertx0∈R. 5. Es seix₀ein Startwert aus einer hinreichend kleinen Umgebung vonx^∗undx_k,k≥1, die mit dem Newton-Verfahren berechnete Folge: xk =x_k−1−_f^f(x0(x^k−1k−1⁾). Geben Sie den Wert für pan, sodass x^∗−xk≈(xk+1−xk)^p fürkhinreichend groß gilt.

6. Es seien n= 1 und Φ(x) := 2e⁻¹²^x. Alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes sind fürΦauf dem Intervall[¹₂,1]erfüllt.

7. Das Bisektionsverfahren zur Bestimmung einer Nullstelle vonf konvergiert, wenn man die Start- werte x₀=aundx₁=bwählt.

8. Seif konvex auf[a,∞), d.h.f⁰⁰(x)>0für allex≥a. Dann gilt: Das Newton-Verfahren konvergiert gegenx^∗ für jeden Startwertx0≥a.

9. Es seienΦ(x) =x−f(x)undx^∗ die Nullstelle vonf in [a, b]. Dann giltΦ⁰(x^∗) = 0.

10. Es seien[a, b] = [0,2] undf(x) = x³−1. Wir betrachten das Sekantenverfahren zur Annährung einer Nullstelle dieser Funktion, mit Startwertenx0= 0,x1= 2. Berechnen Siex2.

VF-6: Es seienn∈NundP(f|x0, . . . , x_n)das Lagrange-Interpolationspolynom vom Gradn, das die Funktion f : [a, b] →Rin den Stützstellen a≤x₀ < . . . < x_n ≤b interpoliert. Weiter seienδ_n der führende Koeffizient dieses Polynoms und[x₀, . . . , x_n]f die dividierte Differenz der Ordnungnvonf.

1. Es gilt:P(f|x0, . . . , xn)(x) =P(f|x0, . . . , xn−1)(x) +δnΠⁿ⁻¹_i=0(x−xi)für allex∈R. 2. Es sei`_jn(x) = Πⁿ_k=0,k6=j_x^x−x^k

j−xk,0≤j ≤n. Es giltP(f|x₀, . . . , x_n)(x) =Pn

j=0f(x)`_jn(x_j)∀x∈R. 3. Der Fehler max_x∈[a,b]|P(f|x0, . . . , xn)(x)−f(x)|ist minimal wenn man die Stützstellenxi äqui-

distant wählt.

4. Es seif ein Polynom vom Grad maximaln. Dann gilt:f(x) =P(f|x₀, . . . , x_n)(x)für allex∈R. 5. Es seienf(x) = 4x²−2, x0= 1,x1= 2,x2= 3. Berechnen Sieδ2.

Es seif ∈C^∞([a, b]). Das IntegralI(f) =Rb

af(x)dxsoll numerisch approximiert werden.

Es seiIm(f) = (b−a)Pm

j=0wjf(xj)eine Quadraturformel mita≤x0< . . . < xm≤b. Weiter seiI_mⁿ(f)die aus Im(f) konstruierte summierte Quadraturformel auf den Teilintervallen[t_j−1, tj], j = 1, . . . , n, mittj =a+jh, j= 0,1, . . . , n,h= ^b−a_n .

6. Die Exaktheitsgrade der QuadraturformelI_m(f)und der summierten QuadraturformelI_mⁿ(f)sind gleich.

7. Es gibt Stützstellen xj, 0 ≤ j ≤ m, sodass mit dem Lagrange–Interpolationspolynom P(f|x₀, . . . , x_m)bei der Gauß-Quadratur gilt:I_m(f) =Rb

a P(f|x₀, . . . , x_m)(x)dx.

8. Bei der Gauß-Quadratur hängen die Stützstellenxj,0≤j≤m, von der Funktionf ab.

9. Es seimfest gewählt. Der Fehler|I_m(f)−I(f)|ist bei einer Gauß-Quadraturformel immer kleiner als bei einer Newton-Cotes Formel.

10. Berechnen Sie eine Approximation vonR3

1 x³ mit der summierten TrapezregelI₁²(f).

(5)

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H19

5

(6)

Numerik MB H19 NAME: MATR:

Aufgabe 1 (6 Punkte)

Es sei

A=





0.2 −0.4 0.4 0.4 −0.3 0.3 0.8 0.1 0.1



.

a) Bestimmen Sie die L R-Zerlegung von A mit Spaltenpivotisierung, d. h. P A = L R, in zweistelliger Gleitpunktarithmetik (Runden Sie nach jeder Rechenoperation!).

Geben Sie die MatrizenP,LundR explizit an.

Es seien nun

L˜=





1 0 0

0.3 1 0 0.79 0 1



, R˜=





0.4 1 0.54 0 0.39 1

0 0 1



, b=



 0.34 0.71 1.3



.

Dabei sindL˜ undR˜ die Matrizen derLR-Zerlegung vonB, d.h.B= ˜LR.˜

b) Lösen Sie das Gleichungssystem Bx=b mittels Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen in zweistelliger Gleit- punktarithmetik.

(7)

Fortsetzung Aufgabe 1 Numerik MB H19

7

(8)

Gegeben sind die Punkte

xi −3 −1 2 y_i −5 −6 4 ,

die gemäß theoretischen Überlegungen auf der Kurve zu y(x) =α2^|x|+β1

2(x²+x) + 2 liegen.

Zu bestimmen sind die optimalen Parameterαundβ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate.

a) Formulieren Sie dazu das entsprechende lineare Ausgleichsproblemx^∗= argmin_x∈_RnkAx−bk2. Geben SieA, xundbexplizit an.

Wir betrachten nun das Ausgleichsproblemx^∗= argmin_x∈_RkBx−ck2 mit

B=





−12 0 5



, c=



 29

3 2



.

b) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mit Hilfe von Householder-Transformationen. Wie groß ist das Re- siduum?

Hinweis: Givens-Rotationen oder der Ansatz über Normalengleichungen werden mit 0 Punkten bewertet.

c) Wie groß darf der absolute Fehler vonc, gemessen in derk · k2-Norm, höchstens sein, damit der relative Fehler inx, ebenfalls gemessen in derk · k2-Norm, nicht größer als ein Prozent ist?

(9)

9

(10)

Die Lösungen des Gleichungssystems

y²+ 2y+x = 4

x²−y² 4 +y

2 = 33 4

sollen iterativ mit dem Newton- und dem vereinfachten Newton-Verfahren für Systeme bestimmt werden.

a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an, aus der die LageallerNullstellen hervorgeht, und geben Sie geeignete Startwerte an (Genauigkeit±0.5).

b) Benutzen Sie dann als Startwert für die Nullstelle im 2. Quadranten für beide Verfahren x0=

x₀ y₀

= −2

1

,

und führen Sie je zwei Iterationen durch.

Bem.:Die übrigen Nullstellen müssen nicht berechnet werden.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

x

y

(11)

11

(12)

Gegeben sei die Wertetabelle

xi −1 0 2 3

f(x_i) 4 3 −1 3 .

a) Berechnen Sie die drei fehlenden dividierten Differenzen im folgenden Newton-Schema und stellen Sie das InterpolationspolynomP(f|x0, x1, x2, x3)(x)in der Newton-Darstellungauf.

x₀=−1 4

&

x₁= 0 3 → [x₀, x₁]f

& &

x2= 2 −1 → [x1, x2]f → 1

& & &

x3= 3 3 → 4 → [x1, x2, x3]f → 0.25

b) Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler|P(f|x0, x1, x2, x3)(ˆx)−f(ˆx)|an der Stelle ˆx= 1an.

Hinweis:Für die Ableitungen vonf gelte:max_x∈[−1,3]|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ ^8·(n−1)_n! ² für allen∈N. Es sei nun das folgende Newton-Schema gegeben:

i yi [yi]g [y_i−1, yi]g [y_i−2, y_i−1, yi]g [y_i−3, y_i−2, y_i−1, yi]g

0 −1 0

&

1 0 −1 → −1

& &

2 1 6 → 7 → 4

& & &

3 6 −49 → −11 → −3 → −1

c) Werten Sie das InterpolationspolynomP(g|y0, y1, y2, y3)(y) mithilfe des Horner-artigen Schemas an der Stelleyˆ= 0.5aus.

(13)

13

(14)

Gegeben sei die Funktionf(x) = ln(cos(x²)). Gesucht ist eine Näherung für das Integral I(f) =

Z 1 0

f(x)dx,

die um höchstensε= 0.03von der exakten Lösung abweicht.

a) Bestimmen Sie die Anzahl der Unterteilungen, die dafür mit dersummierten Trapezregel notwendig ist.

b) Wie viele Unterteilungen wären mit der summierten Gaußformel mit 2 Stützstellen pro Intervall notwendig?

Hinweis: Fürx∈[0,1]gilt|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤(n+ 1)ⁿ⁺¹ für allen∈N.

(15)

15

(16)

Fortsetzung Aufgabe . . . Numerik MB H19 NAME: MATR:

(17)

17

(18)