Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 22.12.2007 Wirtschaftsrecht WR-WMT-P11-071222

Wirtschaftsrecht WR-WMT-P11-071222

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

65 69,5 3,0 befriedigend

60 64,5 3,3 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

50 54,5 4,0 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 09. Januar 2008

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab-

Lösung 1

21 Punkte

1.1 siehe auch Lösung ÜA 1.21 h):

0 15

2x⁴−x²− = (biquadratische Gleichung)

Mit der Substitution z =x² folgt 1

2 0 15 2

0 15 2

2 2

=

−

−

=

−

− z z

z z

2

4 11 4 1 16 121 4

1

2 15 16

1 4 1

2 , 1

±

=

±

=

+

±

= z

3

1=3

z , z₂=−2,5 1

Rücksubstitution:

=3 ⇒

z1 x₁= 3 ,x₂=− 3 2

− ⇒

= 2,5

z2 keine reelle Lösung 1

1.2 3x−4 <2

1. Fall: 3x−4≥0, d. h.

3

≥4

x 1

Dann ist 3x−4 =3x−4 und wir erhalten

2 6 3

2 4 3

<

<

<

− x x

x 3

Unter der Bedingung 3

≥4

x folgt







 ≤ <

= 2

3 4

1 x x

L . 1

2. Fall: 3x−4<0, d. h.

3

<4

x 1

Dann ist 3x−4 =−(3x−4) und wir erhalten

3 2 2 3

2 4 3

2 ) 4 3 (

>

−

<

−

<

+

−

<

−

−

x x x x

3

Unter der Bedingung 3

<4

x folgt







 < <

= 3

4 3

2 x 2 x

L . 1





<

<

=

∪

= 2 2

x x L L L

Lösung 2

21 Punkte

siehe Lösung ÜA 1.24):

2.1

0 1 2 3 4 5 6

300.000 Angebot 1:

240.000

Angebot 2: 500.000

480.000

800.000 Angebot 3:

5

Bewertung: Für jede richtig eingezeichnete Zahlung 1 Punkt 2.2 Berechnung der Barwerte erfolgt mit Hilfe von:

n n nn K q q

K0 = K = ⋅ ⁻ (Formelsammlung 8.2). 1

Unter Berücksichtigung der jeweiligen Zahlungszeitpunkte erhält man mit q=1,06: 1 Angebot 1:

92 , 683 . 658 06

, 1 000 . 480 000 .

300 ⁵

0= + ⋅ ⁻ =

K € 2

Angebot 2:

64 , 809 . 659 06

, 1 000 . 500 000 .

240 ³

0= + ⋅ ⁻ =

K € 2

Angebot 3:

43 , 968 . 563 06

, 1 000 .

800 ⁶

0= ⋅ ⁻ =

K €. 2

2.3 Berechnung der Kapitalwerte erfolgt mit Hilfe von:

n K qn

K = 0⋅ (Formelsammlung 8.2). 1

Unter Berücksichtigung der jeweiligen Zahlungszeitpunkte erhält man mit q=1,06: 1 Angebot 1:

73 , 355 . 934 06 , 1 000 . 480 06 , 1 000 .

300 ⁶

6 = ⋅ + ⋅ =

K € 2

Angebot 2:

59 , 952 . 935 06

, 1 000 . 500 06 , 1 000 .

240 ^{6 3}

6 = ⋅ + ⋅ =

K € 2

Angebot 3:

000 .

6=800

K € (keine Verzinsung). 2

Lösung 3

8 Punkte

siehe Lösung ÜA 2.5):

Hier ist nach dem Barwert (1) einer vorschüssigen (1) Rente gefragt. 2 Entsprechend Formelsammlung 9.2 gilt:

1 1

0 1 −

⋅ −

= ₋

q q q

R _nr ⁿ . 1

Mit 000r =10. € (0,5), 20n= (0,5) und q=1,05 (1) ergibt sich: 2 21

, 853 . 1 130 05 , 1

1 05 , 1 05 , 1

000 .

10 ²⁰

0 19 =

−

⋅ −

=

R €. 3

Lösung 4

10 Punkte

siehe Lösung ÜA 2.1):

Es sind die Berechnungsvorschriften für eine Ratentilgung anzuwenden. 1 Aus der Aufgabenstellung folgt S₀ =150.000€ (0,5), 10n= (0,5) und i=0,075 (1). 2 Die Tilgung berechnet sich nach Formelsammlung 10.1 zu:

000 . 10 15

000 .

0 =150 =

= n

T S €. 2

Die Annuität A_j, die im j-ten Jahr zu entrichten ist, bestimmt sich nach Formelsammlung 10.1 zu:

[

]

T

A_j = ⋅1+( − +1)⋅ . 1

Mit 000T =15. € folgt für A₅ und A₈:

[

]

000 .

5 =15 ⋅ + − + ⋅ =

A € 2

[

]

000 .

8=15 ⋅ + − + ⋅ =

A €. 2

Lösung 5

6 Punkte

siehe Lösung ÜA 3.1 a):

Wir setzen (x₁, y₁)=(1,6) und (x₂, y₂)=(3,12). Zunächst berechnen wir die Steigung

1 2

1 2

x x

y m y

−

= − (Formelsammlung 16.5): 1

1 3 3

6 12

1 2

1

2 =

−

= −

−

= − x x

y

m y . 2

Einsetzen von m und (x₁, y₁)=(1,6) in die Punkt-Steigungsform y=mx+(y₁−mx₁) ergibt (Formelsammlung 16.5):

1

3 3

1 3 6 3

+

=

⋅

− +

= x y

x

y . 2

Lösung 6

19 Punkte

siehe Lösung ÜA 4.3):

6.1 Gewinnfunktion nach Formelsammlung 16.13: G(x)=E(x)−K(x). 1 Für die Umsatzfunktion E(x)ergibt sich (Formelsammlung 16.13):

x x

x x x

x p x

E( )= ( )⋅ =(2.520−30 ) =−30 ²+2.520 . 2

Dies führt zu der Gewinnfunktion:

. 000 . 168 200 . 5 40

) 000 . 168 680 . 2 10 ( 520 . 2 30

) ( ) ( ) (

2

2 2

− +

−

=

+

−

− +

−

=

−

=

x x

x x

x x

x K x E x G

3

6.2 Zur Berechnung der Gewinnschwellen müssen die Nullstellen der Gewinnfunktion berechnet wer- den:

0 000 . 168 200 . 5 40 )

(x =− x²+ x− =

G 1

0 200 . 4 130

0 000 . 168 200 . 5 40

2 2

= +

−

=

− +

−

x x

x

x 1

2 10 2 130 4

100 2

130

4 800 . 16 4

900 . 16 2

200 130 . 4 4 900 . 16 2

2 130

, 1

±

=

±

=

−

±

=

−

±

= x

3

1=70

x und x₂=60. 2

6.3 Deckungsbeitrag nach Formelsammlung 16.3: D(x)=E(x)−K_v(x). 1 Mit K(x)=K_v(x)+K_f (1) und K(x)=10x²−2.680x+168.000 folgt 1

x x

x

K_v( )=10 ² −2.680 (1) (K_f =168.000)(1). 2

Mit )D(x)=E(x)−K_v(x folgt

x x

x x

x x

D( ) =−30 ²+2.520−(10 ²−2.680 )=−40 ²+5.200 . 2

Lösung 7

15 Punkte

7.1 siehe Lösung ÜA 3.1 a):

Aussagen zur Monotonie erhält man durch Betrachtung der 1. Ableitung von f(x).

2 1

) 1 ( ) (x = x−

f 1

Ableitung einer Potenzfunktion, Kettenregel mit innerer Funktion f₁(x)=(x−1):

1 2 1 1 ) 1 2( ) 1

( ²

1

= −

⋅

−

=

′ ⁻

x x x

f 3

Es ist f′(x)>0 für alle x>1 (1) und daher ist (siehe Formelsammlung 19.1) f(x) auf dem ge- samten Definitionsbereich streng monoton wachsend (1).

2

7.2 siehe Lösung ÜA 3.6):

Für die Lösung benötigt man die Erlösfunktion )

( )

(x x p x

E = ⋅ (Formelsammlung 16.13) 1

und die Gewinnfunktion ) ( ) ( )

(x E x K x

G = − (Formelsammlung 16.13). 1

Mit p(x)=32−0,3x und K(x)=0,2x²+2x+20 folgt x

x x

x x

E( )= ⋅(32−0,3 )=−0,3 ²+32 1

20 30 5

, 0 ) 20 2 2 , 0 ( 32 3

, 0 ) ( ) ( )

(x =E x −K x =− x² + x− x²+ x+ =− x² + x−

G . 2

Für ein Extremum gilt notwendigerweise: G′(x)=0. 30

) ( =− +

′ x x

G 1

30 0

30= ⇒ _E =

+

−x x 2

Da 0G′′(x)=−1< liegt bei x_E ein Maximum vor, d. h. der Gewinn erreicht für x_E =30 sein Maximum.

1