BewertungsschlüsselAufgabe123∑max. erreichbare Punkte343333100Notenspiegel

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PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-AUFGABEN Seite 1 Studiengang Wirtschaft (postgradual) / HTL

Fach Operations Research

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303

Datum 3.03.2007

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektor zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Aufgaben: 3 Studienbriefe

HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: -100-

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 34 33 33 100

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

bei Punkten 100 -

95 94,5 -

90 89,5 -

85 84,5 -

80 79,5 -

75 74,5 -

70 69,5 -

65 64, 5 -

60 59,5 -

55 54,5 -

50 49,5 - 0

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Studiengang Wirtschaft (postgradual) / HTL HFH • Hamburger Fern-Hochschule

PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1 34 Punkte

Gegeben sei Ihnen die um die Rangspalte erweiterte Vorgangsliste eines kleinen Projek- tes, welches lediglich Minimalabstände aufweist. Dabei sind alle Dauerwerte und Zeitdiffe- renzen in der Einheit „Tage“ aufgeführt. Eine vorab durchgeführte Strukturanalyse hat die in der ersten Spalte genannten Rangwerte geliefert. Zusätzlich sind die Scheinvorgänge

„Anfang“ und „Ende“ berücksichtigt worden.

Rang UV(Diff) Typ Vorgang Dauer

0 − Anfang 0

3 L(2) AA A 2

5 G(2) AA B 1

1 Anfang(0) EA C 3

3 F(0) EA D 1

2 I(1) EE E 1

2 C(0) EA F 4

4 A(–1), J(0) EA G 2

4 D(–2) EA H 1

1 Anfang(0) EA I 2

3 F(–2) EE J 1

4 E(4)

A(–2)

AE EE

K 2

2 C(0), I(0) EA L 3

6 B(0),H(0),K(0) EA Ende 0

a) Führen Sie die Zeitanalyse durch, indem Sie nach einer geeigneten Sortierung der obigen Vorgänge für alle Vorgänge die vier Vorgangszeitpunkte FAZ, SAZ, FEZ und SEZ. Nen- nen Sie die Projektdauer. Bitte benutzen Sie für die Lösung dieser Teilaufgabe das beigefügte Lösungsblatt L1.

29 P

Es sei Ihnen der nachstehende Kalenderausschnitt für den November 2007 gegeben.

Mo Di Mi Do Fr Sa So

05.11.07 06.11.07 07.11.07 08.11.07 09.11.07 10.11.07 11.11.07 12.11.07 13.11.07 14.11.07 15.11.07 16.11.07 17.11.07 18.11.07 19.11.07 20.11.07 21.11.07 22.11.07 23.11.07 24.11.07 25.11.07

b) Im gesamten Zeitraum ist neben allen Samstagen und Sonntagen nur der 16.11.07 als arbeitsfreier Tag zu berücksichtigen.

b1) Erstellen Sie einen zugehörigen Betriebskalender, wenn das Projekt am 21.11.2007 abends abgeschlossen werden soll.

b2) An welchem Tag sollte das Projekt morgens beginnen? Ordnen Sie ferner nur dem Vorgang K die Kalenderdaten FAT, SAT, FET und SET zu.

5 P

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PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-AUFGABEN Seite 3

Aufgabe 2 33 Punkte

Ein Handelsreisender soll vom Ort 1 aus die Orte 2, 3, 4 und 5 aufsuchen und an- schließend wieder zum Ort 1 zurückkehren. In folgender Matrix D („Distanzmatrix“) sind die günstigsten Kosten dik für die Fahrt vom Ort i zum Ort k für i,k=1,2,3,4,5 festgehal- ten.

0 37 42 44 45 38 0 43 46 47 D= 44 43 0 50 48 45 46 51 0 50 44 48 47 51 0

 

 

 

In welcher Reihenfolge sollte der Handelsvertreter die einzelnen Orte anfahren und danach zum Ausgangsort 1 zurückkehren, um die Gesamtkosten zu minimieren? Fin- den Sie den gesuchten Hamiltonschen Zyklus unter Verwendung von Reduktionsta- bellen mit der Methode Branch–and–Bound. Nennen Sie den kürzesten Hamiltonschen Zyklus und die zugehörigen Gesamtkosten. Achtung: Ein anderes Lösungsverfahren wird nicht gewertet.

33 P

Aufgabe 3 33 Punkte

Lösen Sie die nachstehende LO-Aufgabe mit der Zweiphasenmethode ohne zu dualisieren.

+

= − + →

− ≥

− + ≤

+ − ≥

≥

1 2

1 2 3

1 2

2 3

1 3

1 2 3

I Z 2x x 3x min

II x x 6

x x x 2

2x x x 10

III x , x ,x 0

a) Nennen Sie die Lösungswerte der echten Variablen, der Schlupfvariablen und den

zugehörigen minimalen Zielfunktionswert der obigen (primalen) LO-Aufgabe. 29 P

b) Nennen Sie ohne erneute Rechnung die Werte der echten Variablen, der Schlupf- variablen und den Zielwert der zugehörigen dualen Aufgabe. Erläutern Sie zuvor Ihre benutzten Symbole für die Variablen.

4 P

Viel Erfolg !

(4)

PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-AUFGABEN L 1

Lösungsblatt L1

Name, Vorname:

Matrikel-Nr:

Aufgabe 1 a)

UV(Diff) Typ V D FAZ SAZ FEZ SEZ GP

Projektdauer: ________________________ .

Bitte geben Sie dieses Blatt mit Ihrer Lösung ab.

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PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-Korrekturrichtlinie Seite 1 Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303

Datum 3.03.2007

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zu Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Notenspiegel

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

Punkte 100 - 95

94,5 - 90

89,5 - 85

84,5 - 80

79,5 - 75

74,5 - 70

69,5 - 65

64,5 - 60

59,5 - 55

54,5 - 50

49,5 - 0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

21. März 2007

in Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrumsleiter anzuzeigen.

BEWERTUNGSSCHLÜSSEL

Aufgabe 1 2 3 ∑

max. erreichbare Punkte 34 33 33 100

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PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-Korrekturrichtlinie Seite 2

Lösung Aufgabe 1 34 Punkte

a)

UV(Diff) Typ V D FAZ SAZ FEZ SEZ

− Anfang 0 0 0 0 0, 1

Anfang(0) EA C 3 0 0 3 4 , 3

Anfang(0) EA I 2 0 1 2 5 , 3

I(1) EE E 1 2 5 3 6

C(0) EA F 4 3 4 7 8 , 8

C(0), I(0) EA L 3 3 , 2 3 6 6

L(2) AA A 2 5 5 7 7, 11

F(0) EA D 1 7 8 8 10 , 9

F(–2) EE J 1 4 5 5 6

A(–1), J(0) EA G 2 6 , 5 6 8 8

D(–2) EA H 1 6 8 7 9

E(4) A(–2)

AE EE

K 2 4 7 6

5

9

G(2) AA B 1 8 8 9 9

B(0), H(0), K(0) EA Ende 0 9, 7 , 6 9 9 9

Die Projektdauer beträgt 9 Arbeitstage.

^{1 P}

b) b1)

lfd. Nr. 1 2 3 4 5

Datum 08.11.07 09.11.07 12.11.07 13.11.07 14.11.07

lfd. Nr. 6 7 8 9

Datum 15.11.07 19.11.07 20.11.07 21.11.07

b

2

) Das Projekt sollte am 08.11.07 morgens beginnen.

FAT SAT FET SET

K 14.11.07 20.11.07 15.11.07 21.11.07

7 P 7 P 7 P 7 P

2 P

2 P 1 P

(7)

Lösung Aufgabe 2 33 Punkte

1 2 3 4 5 Min 1 2 3 4 5

1 ∞ 37 42 44 45 37 1 ∞ 0 5 7 8

2 38 ∞ 43 46 47 38 2 0 ∞ 5 8 9

3 44 43 ∞ 50 48 43 3 1 0 ∞ 7 5

4 45 46 51 ∞ 50 45 4 0 1 6 ∞ 5

5 44 48 47 51 ∞ 44 5 0 4 3 7 ∞

207 Min 0 0 3 7 5 15

1 2 3 4 5

1 ∞ 0⁰ 2 0⁰ 3

2 0¹ ∞ 2 1 4

3 1 0⁰ ∞ 0⁰ 0⁰

4 0⁰ 1 3 ∞ 0⁰

5 0⁰ 4 0² 0⁰ ∞

1) M→M1: Wahl der Verbindung (5, 3). Das liefert

d

^*₃₅:=∞.

1 2 4 5

1 ∞ 0⁰ 0⁰ 3

2 0¹ ∞ 1 4

3 1 0⁰ 0⁰ ∞

4 0⁰ 1 ∞ 0³

2) M

→

M

2

: Entscheidung für ( ) 5,3 . Das ergibt d

₅₃^∗ := ∞

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 ∞ 0 2 0 3 1 ∞ 0 0 0 3

2 0 ∞ 2 1 4 2 0 ∞ 0 1 4

3 1 0 ∞ 0 0 3 1 0 ∞ 0 0

4 0 1 3 ∞ 0 4 0 1 1 ∞ 0

5 0 4 ∞ 0 ∞ 5 0 4 ∞ 0 ∞

Min 0 0 2 0 0 2

M: ρ=s(M)=207+15=222

1P 1 P

1P

2P

1 P

M1: ρ1=0 ; s(M1)=s(M)+ρ1=222+0=222 1 P

1 P

1 P 1 P

1P

M2: ρ2=2 ;

s(M2)=s(M)+ρ2=222+2=224 1 P

(8)

3) M

1→

M

3

: Wahl von (4, 5). Das bedingt d :

₅₄^∗

= ∞ , was nicht interessiert. Um den Kurzzyklus 4–5–3–4 zu verbieten, wird d :

₃₄^∗

= ∞ verlangt.

1 2 4

1 ∞ 0⁰ 0¹

2 0² ∞ 1

3 1 0¹ ∞

4) M

1→

M

4

: Entscheidung für ( 4, 5 . Das bedeutet ) d :

^∗₄₅

= ∞ .

1 2 4 5 1 2 4 5

1 ∞ 0 0 3 1 ∞ 0 0 0

2 0 ∞ 1 4 2 0 ∞ 1 1

3 1 0 0 ∞ 3 1 0 0 ∞

4 0 1 ∞ ∞ 4 0 1 ∞ ∞

Min 0 0 0 3 3

5) M

3→

M

5

: Wahl von (2, 1). Das bedingt d

₁₂

∗ = ∞ : .

2 4

1 ∞ 0

3 0 ∞

6) M

3→

M

6

: Entscheidung für ( ) 2, 1 . Das bedeutet d :

₂₁^∗

= ∞ ^.

1 2 4 Min 1 2 4

1 ∞ 0 0 0 1 ∞ 0 0

2 ∞ ∞ 1 1 2 ∞ ∞ 0

3 1 0 ∞ 0 3 1 0 ∞

1 Min 1 0 0 1

1 2 4

1 ∞ 0 0

2 ∞ ∞ 0

3 0 0 ∞

M3: ρ3=0 ;

s(M3)=s(M1)+ρ3=222+0=222

M4: ρ4=3 ;

s(M4)=s(M1)+ρ4=222+3=225

M5: ρ5=0 ; s(M5)=s(M3)+ρ5=222+0=222

Zusätzlich sind die Verbindungen (1, 4) und ( 3, 2) ablesbar.

1 P

M6: ρ6=1+1=2 ;

s(M6)=s(M3)+ρ6=222+2=224 1 P

1 P

2 P

(9)

PW-OPR-P11-070303 / WH-OPR-P11-070303-Korrekturrichtlinie Seite 5 Ergebnis: Der kürzeste Hamiltonsche Zyklus enthält die Verbindungen (5, 3), (4, 5), (2, 1),

(1, 4) und (3, 2) und lautet 1–4–5–3–2–1. Seine wahre Länge beträgt 222.

2 P

(1,4) (3,2)

3 P

(2,1)

(4,5)

(5,3)

M₃

222

222 M₁

224 M₂

225 M₄

222 M₅

M₆ (5,3) 224

(4,5)

(2,1)

M

(10)

Lösung Aufgabe 3 33 Punkte

a)

x1 x2 x3 s1 s2 s3 k1 k2 r.S.

0 0 0 0 0 0 −1

−1 0

3 0 –1 –1 0 –1 0 0 16

1 –1 0 –1 0 0 1 0 6

–1 1 1 0 1 0 0 0 2

2 1 –1 0 0 –1 0 1 10

0 –³₂ ¹₂

–1 0

¹2 0

–

³₂

1

0

^–³2 1

2

–1 0

¹2 1 –¹₂ 1

0 ³2 1

2 0 1 –¹₂ 0 ¹2 7

1 ¹2 –¹₂ 0 0 –¹₂ 0 ¹2 5

0 0 0

0 0 0 −1 −1 0

0 –3 1

–2 0 1 2 –1 2

0 3 0

1 1 –1 –1 1 6

1 –1 0

–1 0 0 1 0 6

x1 x2 x3 s1 s2 s3 r.S.

–2

1 −3 0 0 0 0

0 –10 0 –8 0 3 18

0

–3 1 –2 0 1 2

0 3 0 1 1 –1 6

1 –1 0 –1 0 0 6

0 –1 –3 –2 0 0 12

0 –3 1 –2 0 1 2

0 0 1 –1 1 0 8

1 –1 0 –1 0 0 6

Die Optimallösung der primalen Aufgabe lautet: x1=6 , x2=0 , x3=0 , s1=0 , s₂=8 , s₃=2 mit Z_min=12.

4 P

b) Sind s₁, s₂, s₃ die echten Variablen und x₁, x₂, x₃ die Schlupfvariablen der zugehörigen dualen LO-Aufgabe, so lautet die Optimallösung s₁=2 , s₂=0 , s₃=0 , x₁=0 , x₂=1 , x₃=3 mit Z_max=12.

4 P -2 2 0 2 0 0 -12

0 9 -3 6 0 -3 -6 -2 11 -3 8 0 -3 -18

5 P

4 P 4 P

2 P