WirtschaftsingenieurwesenFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.WI-WMT-S12–040508Datum08.05.2004

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Klausuraufgaben, Studienleistung 05/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12–040508 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. WI-WMT-S12–040508

Datum 08.05.2004

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 8 - Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: - 100 -

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 05/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 14 Punkte

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 4

3 2x− ≤

im Bereich der reellen Zahlen.

Aufgabe 2 12 Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

( )

^x ^x ^x ^x

f 3 6

3

1 ₃ ₂

+

−

= mit D=R.

Aufgabe 3 12 Punkte

Für welchen Wert a

(

^a^∈^R^,^a^≠⁰

)

hat die Parabel mit der Gleichung 4

2+8 −

=ax x y

zwei, einen oder keinen Schnittpunkt(e) mit der x-Achse?

Aufgabe 4 12 Punkte

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen ^f

( )

^x ^und^g

( )

^x auf Symmetrie.

4.1 ^f

( )

^x ⁼^x⁴ ⁺³^x³⁻⁴ ^{6 Pkte}

4.2 ^g

( )

^x ⁼^x⁵⁻²^x³⁺⁷^x ^{6 Pkte}

Aufgabe 5 10 Punkte

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Klausuraufgaben, Studienleistung 05/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-S12–040508 Seite 2/2

Aufgabe 6 10 Punkte

Untersuchen Sie die Funktion

( )

^x ⁼⁻^x³ ⁺²

f mit D=R

auf ihr Krümmungsverhalten.

Aufgabe 7 14 Punkte

Die Graphen der Funktionen ^f

( )

^x ^und^g

( )

^x umschließen eine Fläche A.

( )

^x ⁼¹₄^x⁴ ⁻¹₂^x³⁻₇²^x² ⁺₇¹

f ; ^g

( )

^x ⁼⁻₇²^x² ⁺₇¹

Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche (in Flächeneinheiten FE).

Aufgabe 8 16 Punkte

Bestimmen Sie die Lösung des bestimmten Integrals

−

∫

+

2 1

e d 3

e x

x x

mit Hilfe der Integration durch Substitution.

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Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 08.05.2004

Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12 – 040508

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“

(Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

26. Mai 2004

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Korrekturrichtlinie, Studienleistung 05/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-S12–040508 Seite 1/4

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 1.5.2

14 Punkte

1. Fall2x−3≥0 ⇒ x≥1,5 (2 Pkte)

4 3 2x− ≤

5 ,

≤3

x (2 Pkte)

{

^| ³^,⁵ ¹^,⁵

} {

^|¹^,⁵ ³^,⁵

}

1= x∈ x≤ ∧x≥ = x∈ ≤x≤

L R R (2 Pkte)

2. Fall2x−3<0 ⇒ x<1,5 (2 Pkte)

4 3 2 + ≤

− x 5 ,

−0

≥

x (2 Pkte)

{

^| ⁰^,⁵ ¹^,⁵

} {

^| ⁰^,⁵ ¹^,⁵

}

2= x∈ x≥− ∧x< = x∈ − ≤x<

L R R (2 Pkte)

Gesamte Lösungsmenge::

{

^| ⁰^,⁵ ³^,⁵

}

2

1∪ = ∈ − ≤ ≤

=L L x x

L R (2 Pkte)

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap.1.4.4

12 Punkte

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion ^f

( )

^x ⁼¹₃^x³⁻³^x²⁺⁶^x^.

( )

^x ⁼⁰

f 3 6 0

3

1 ₃ ₂

= +

− x x

x (1 Pkt)

⇔ 3 6 0

3 1 ₂

=



 



 x − x+

x ⇒ x₁=0 (4 Pkte)

Bleibt die quadratische Gleichung 0 18

2−9x+ =

x (1 Pkt)

⇔

(

^x⁻³

) (

^⋅ ^x⁻⁶

)

⁼⁰ (Anwendung binomischer Formel) (2 Pkte)

mit den Lösungen x₂ =3 oder x₃ =6. (4 Pkte)

Alternativ erhält man die Lösungen x₂ und x₃ auch durch Anwendung der (p, q)-Formel auf die quadratische Gleichung:

2 3 2 9 4 9 2 9 4 72 4 81 2

3 9

,

2 = ± − = ± = ±

x .

(6)

Lösung 3

vgl. SB 1; Kap. 1.4.3

12 Punkte

Der Wert der Diskriminante aus der (p, q)-Formel entscheidet über die Zahl der Schnittpunkte einer quadrati- schen Gleichung mit der x-Achse (vgl. Formelsammlung 16.5).

0 4

2+8x− =

ax (a≠0)

⇔ ₂ 8 4 0

=

− + x a

x a (2 Pkte)

Anwendung der (p, q)-Formel p p q

x =− ± −

4 2

2 2

/

1 mit

p a8

= ,

q a4

−

= liefert (2 Pkte)

a a

x a4 16 4

2 2 /

1 =− ± + . (2 Pkte)

Diskussion der Diskriminante a a

D 16 4

2 +

= für a≠0:

zwei Nullstellen: 16 4 0

2 + >

a a ⇒ a>−4 (2 Pkte)

eine Nullstelle: 16 4 0

2 + =

a a ⇒ a=−4 (2 Pkte)

keine Nullstelle: 16 4 0

2 + <

a a ⇒ a<−4 (2 Pkte)

Lösung 4

vgl. SB 4; Kap. 2.3

12 Punkte

Ersetzung von x durch –x in den Funktionsgleichungen und Überprüfung, ob die Symmetriebedingungen (vgl.

Formelsammlung 16.2) erfüllt sind.

4.1 ^f

( )

^x ⁼^x⁴⁺³^x³⁻⁴ ^f

( ) ( )

⁻^x ⁼ ⁻^x ⁴ ⁺³

( )

⁻^x ³⁻⁴ ^{(1 Pkt)}

( )

⁻^x ⁼^x⁴ ⁻³^x³ ⁻⁴

f (2 Pkte)

Es ist ^f

( ) ( )

^x ^≠ ^f ⁻^x ; es ist ebenfalls ^f

( )

^x ^≠⁻^f

( )

⁻^x ^. ^{(2 Pkte)}

Die Kurve zeigt keine erkennbare Symmetrie. (1 Pkt)

4.2 ^g

( )

^x ⁼^x⁵ ⁻²^x³⁺⁷^x ^g

( ) ( )

⁻^x ⁼ ⁻^x ⁵⁻²

( )

⁻^x ³⁺⁷

( )

⁻^x ^{(1 Pkt)}

(7)

WI-WMT-S12–040508 Seite 3/4

Lösung 5

vgl. SB 5; Kap. 3.6

10 Punkte

Anwendung des NEWTON-Verfahren

( ) (

1

)

1 1

−

− − ′ −

= n

n n

n f x

x x f

x für die Gleichung ^f

( )

^x ⁼^x² ⁻⁵^.

( )

^x ⁼^x² ⁻⁵

f ; Startwert: x₀ =2,3

( )

^x ^x

f′ =2 (2 Pkte)

:

= 1

n

( )

0 ²^,³ ⁰^,²⁹⁰⁰⁰⁴^,⁶ ²^,²³⁶⁹⁶ 0 0

1 = − =

− ′

= f x

x x f

x (3 Pkte)

:

= 2

n

( )

1 ²^,²³⁶⁹⁶ ⁴⁰^,^,⁴⁷³⁹²⁰⁰³⁹⁹ ²^,²³⁶⁰⁷ 1 1

2 = − =

− ′

= f x

x x f

x (3 Pkte)

Da sich bei x₂ gegenüber x₁ die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert, kann die Iteration ab- gebrochen werden. 5 auf drei Nachkommastellen beträgt x=2,236.

(2 Pkte)

Hinweis:

Die obige Berechnung wurde mit gerundeten Werten durchgeführt. Bei Verwendung von zwi- schengespeicherten Werten ergeben sich in den einzelnen Schritten geringfügig andere Werte.

Lösung 6

vgl. SB 5; Kap. 3.2

10 Punkte

Die Krümmungsrichtungen einer Kurve ändern sich an den Stellen x∈D mit ^f ^′′

( )

^x ⁼⁰^. ^{(2 Pkte)}

( )

^x ⁼⁻^x³ ⁺²

f ⇒ ^f^′

( )

^x ⁼⁻^3x² ^{(1 Pkt)}

( )

^x ^x

f ′′ =−6 (1 Pkt)

Es wird ^f ^′′

( )

^x ⁼⁰^für^x⁼⁰^. ^{(2 Pkte)}

Damit gilt für das Krümmungsverhalten (vgl. Formelsammlung 19.1):

( )

^≤⁰

′′ x

f für alle x≥0 ⇒ konkave Krümmung (2 Pkte)

( )

^≥⁰

′′ x

f für alle x≤0 ⇒ konvexe Krümmung (2 Pkte)

Lösung 7

vgl. SB 7; Kap. 3.4

14 Punkte

Schnittpunkte der Graphen ermitteln durch Gleichsetzen der Funktionen:

( ) ( )

^x ^g ^x

f = ⇒

7 1 7 2 7 1 7 2 2 1 4

1 ₄ ₃ ₂ ₂

+

−

= +

−

− x x x

x (2 Pkte)

⇔ 0

2 1 4

1 ₄ ₃

=

− x x

(8)

⇔ ¹₄^x³

(

^x⁻²

)

⁼⁰ ^{(2 Pkte)}

Es ergeben sich die Lösungen x₁=0 und x₂ =2. (2 Pkte)

Damit errechnet sich der Flächeninhalt zu

( ) ( )

[ ]

∫

⁻

=

2 0

dx x g x f A

(2 Pkte)

∫

_^ ⁻ _^

=

2 0

3

4 d

2 1 4

1x x x

A

(2 Pkte)

2 0 4 5

8 1 20

1 

 −

= x x

A

(2 Pkte)

4 , 20 0

8 8

16 20 2 32 8 2 1 20

1 ₅ ₄

=

−

=

−

=

−

=

A FE (2 Pkte)

Lösung 8

vgl. SB 7; Kap. 2.4 und 3.3

16 Punkte

Bestimmung der Stammfunktion ^F

( )

^x ^zu ^f

( )

^x ^x _x

e 3

e

= + :

Substitution:z=3+e^x (2 Pkte)

x

x z e d

d = (2 Pkte)

z

x _x d

e

d = 1 ⋅ (2 Pkte)

Damit ergibt sich

( )

^x _z ^z _z ^z ^z ^C

F x

x ⋅ = = +

=

∫

^e _e¹ ^d

∫

¹^d ^ln ^{(4 Pkte)}

und schließlich

( )

^x ^x ^C

F _x ^x

x

+ + + =

=

∫

₃^e_e ^d ^ln ³ ^e ^{(2 Pkte)}

Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert: