WirtschaftsingenieurwesenFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.WI-WMT-S12–031115Datum15.11.2003

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12–031115 Studiengang

Wirtschaftsingenieurwesen

Fach

Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung

Studienleistung

Klausur-Knz.

WI-WMT-S12–031115

Datum

15.11.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzu- fassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 8 - Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: - 100 -

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 8 Punkte

Bestimmen Sie in der Menge der reellen Zahlen R den größtmöglichen Definitionsbereich D der Funktion

( )

( 6)

1

2

2 - -

= +

x x x x x

f .

Aufgabe 2 9 Punkte

Geben Sie für die Funktion

( )

₃ ₂

) 1 6 4 (

1 +

= -

x x x

f drei Funktionen w=w(x), v=v(w) und u=u(v) so an, dass ^f

( )

^x ⁼^u

(

^v

(

^w

( )

^x

) )

^gilt.

Aufgabe 3 15 Punkte

Lösen Sie die biquadratische Gleichung 0

4 5 ²

4- x + = x

in der Menge der reellen Zahlen R.

Aufgabe 4 14 Punkte

Gegeben sind die Mengen ^A⁼

{

³^,⁴^,⁸

}

^,^B⁼

{ }

¹^,⁵ ^und^C⁼

{

⁴^,⁵^,⁷^,⁹

}

^.

Geben Sie die Elemente der folgenden Mengen an:

4.1 AÇB 2 Pkte

4.2 AÈC 2 Pkte

4.3 BÈC 2 Pkte

4.4

(

^A^Ç^B

)

^È^C ^{2 Pkte}

4.5

(

^A^È^C

) (

^Ç ^B^È^C

)

^{2 Pkte}

4.6 B \ C 2 Pkte

4.7 C \ B 2 Pkte

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-S12–031115 Seite 2/2

Aufgabe 5 15 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens die Lösung der Gleichung x ex

3+ ²=

auf mindestens drei Nachkommastellen genau. Verwenden Sie als Startwert den Wert x₀ =2,0.

Aufgabe 6 9 Punkte

Bestimmen Sie die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion

( )

^w ³^w ₂³^w ³ ²^w⁵

a = - ^- - , ^D⁼

{

^w^Î^R ^w^³⁰

}

nach der Variablen w.

Aufgabe 7 14 Punkte

Gegeben ist die Funktion

( )

x x x

f 1

4 +

= mit ^D⁼

{

^x^Î^R ^x^>⁰

}

^.

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x), den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x=1.

Aufgabe 8 16 Punkte

Der Graph der Funktion ^f

( )

^x ⁼¹₄^x ¹⁶^-^x² ^mit^x^Î^R begrenzt mit der x-Achse eine Fläche, die um die x-Achse rotiert.

Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f(x) und berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

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Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 15.11.2003

Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12 – 031115

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

· Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

· Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

· Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

· Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

· Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

· Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“

(Ergebnisliste) ein.

· Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

· Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

03. Dezember 2003

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen ein Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrenleiter anzuzeigen.

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Korrekturrichtlinie, Studienleistung 11/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-S12–031115 Seite 1/4

Lösung 1 vgl. SB 4; Kap. 3.3 8 Punkte

( )

( 6)

1

2

2 - -

= +

x x x x x f

Umformung des Nenners liefert:

( )

(

³

)(

²

)

1

2 - +

= +

x x x x x

f (3 Pkte)

Als Nullstellen des Nenners ergeben sich: x=0, x=3 und x=-2. (3 Pkte) Der größtmöglicher Definitionsbereich ist somit : D=R \

{

^-²^,⁰^,³

}

^. ^{(2 Pkte)}

Hinweis:

Zur Berechnung der Nullstellen des Nenners kann alternativ auch die p,q-Formel auf den Ausdruck

(

^x²^-^x^-⁶

)

angewendet werden.

Lösung 2 vgl. SB 4; Kap. 3.7.2 9 Punkte

Innere Funktion: ^w

( )

^x ⁼⁴^x³^-⁶^x⁺¹ ^{(3 Pkte)}

Mittlere Funktion: ^v

( )

^w ⁼^w² ^{(3 Pkte)}

Äußere Funktion: ^u

( )

^v ⁼_v¹ ^{(3 Pkte)}

Lösung 3 vgl. SB 1; Kap. 1.4.4 15 Punkte

0 4 5 ²

4- x + = x

Substitution: x² =z (2 Pkte)

0 4 5 ²

4- x + =

x Û z²-5z+4=0 (2 Pkte)

Die quadratische Gleichung liefert zwei Lösungen für z:

2 3 2 4 5 4 25 2 5

2 /

1 = ± - = ±

z (2 Pkte)

1 , 4 ₂

1= z =

z (2 Pkte)

Rücksubstitution: z =x² (2 Pkte)

2 =4

x liefert x₁=2 und x₂=-2 (2 Pkte)

2 =1

x liefert x₃=1 und x₄ =-1 (2 Pkte)

Damit ergibt sich die Lösungsmenge zu ^L⁼

{

^-²^,^-¹^,¹^,²

}

^. ^{(1 Pkt)}

(6)

Lösung 4 vgl. SB 1; Kap. 1.1 14 Punkte

4.1 AÇB=Æ (leere Menge) (2 Pkte)

4.2 ^A^È^C ⁼

{

³^,⁴^,⁵^,⁷^,⁸^,⁹

}

^{(2 Pkte)}

4.3 ^B^È^C ⁼

{

¹^,⁴^,⁵^,⁷^,⁹

}

^{(2 Pkte)}

4.4

(

^A^Ç^B

)

^È^C⁼

{

⁴^,⁵^,⁷^,⁹

}

^{(2 Pkte)}

4.5

(

^A^È^C

) (

^Ç ^B^È^C

) {

⁼ ⁴^,⁵^,⁷^,⁹

}

^{(2 Pkte)}

4.6 B \ C⁼

{}

¹ ^{(2 Pkte)}

4.7 C \ B ⁼

{

⁴^,⁷^,⁹

}

^{(2 Pkte)}

Lösung 5 vgl. SB 5; Kap. 3.6 15 Punkte

NEWTON-Verfahren

( )

(

1

)

1 1

- - - ¢ -

=

n n n

n f x

x x f

x (2 Pkte)

Startwert x₀ =2

( )

^x ^x ^x

f =3+ ² -e ; (1 Pkt)

( )

^x ^x ^x

f¢ =2 -e (1 Pkt)

:

=1

n

( )

0 ² ³⁰^,^,³⁸⁹⁰⁶³⁸⁹⁰⁶ ¹^,⁸⁸⁵²⁰ 0 0

1 =

- --

¢ = -

= f x

x x f

x (3 Pkte)

:

=2

n

( )

1 ¹^,⁸⁸⁵² ²⁰^,^,⁸¹⁷²⁷⁰³³⁶⁹ ¹^,⁸⁷³²⁴ 1 1

2 =

- --

¢ = -

= f x

x x f

x (3 Pkte)

:

=3

n

( )

2 ¹^,⁸⁷³²⁴ ²⁰^,^,⁷⁶²⁸⁷⁰⁰⁰³² ¹^,⁸⁷³¹² 2 2

3 =

- --

¢ = -

= f x

x x f

x (3 Pkte)

Da sich bei x₃ gegenüber x₂ die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert, kann die Iteration ab- gebrochen werden.

Die Lösung der Gleichung 3+x² =e^x auf drei Nachkommastellen lautet demnach x=1,873. (2 Pkte) Hinweis:

Die obige Berechnung wurde mit gerundeten Werten durchgeführt. Bei Verwendung von zwi- schengespeicherten Werten ergeben sich in den einzelnen Schritten geringfügig andere Werte.

(7)

WI-WMT-S12–031115 Seite 3/4

Lösung 6 vgl. SB 5; Kap. 2 9 Punkte

Funktion: ^a

( )

^w ⁼ ³^w^-₂³^w^-³^-²^w⁵

Erste Ableitung: ^a^¢

( )

^w ⁼ ³^×₂¹^w^-²¹ ⁺₂⁹^w^-⁴ ^-¹⁰^w⁴ ^{(3 Pkte)}

Zweite Ableitung: ^a^¢¢

( )

^w ⁼^- ₄³^w^-²³ ^-¹⁸^w^-⁵ ^-⁴⁰^w³ ^{(3 Pkte)}

Dritte Ableitung: ^a^¢¢¢

( )

^w ⁼³₈³^w^-²⁵ ⁺⁹⁰^w^-⁶ ^-¹²⁰^w² ^{(3 Pkte)}

Lösung 7 vgl. SB 7; Kap. 3.4 14 Punkte

Die Funktion hat in x₀ =0 eine Unendlichkeitsstelle und im Intervall

(

⁰^,¹

]

keine Nullstelle (nur positive Funktionswerte).

(1 Pkt)

Für eine beliebiges aÎR mit 0<a<1 existiert das bestimmte Integral

( )

⁼

ò

¹_ççè^æ⁴ ⁺ ¹ _÷÷ø^ö^d

a

x x x a

A (Funktion der Fläche in Abhängigkeit von a).

(3 Pkte)

Bestimmung von A(a):

( )

[ ]

a a

x x

x x x

x x x a

A

a a

a

2 2 4

2 2

d 4

1 d 4

2 2 1 1

2 1 1

- -

= +

=

÷÷

÷ ø ö çç

ç è

æ +

=

÷÷øö ççèæ +

=

ò ò

- (1 Pkt)

(3 Pkte) (2 Pkte)

Für a®0 hat ^A

( )

^a den Grenzwert 4. (2 Pkte)

Folglich gilt für den Flächeninhalt ⁼ ^lim₀

( )

⁼⁴

® Aa

A a . (2 Pkte)

(8)

Lösung 8 vgl. SB 7; Kap. 4.2 16 Punkte

Da der Wurzelausdruck 16-x² nur positive Werte ( 0³ ) annehmen kann, ist die Funktion

( )

^x ¹₄^x ¹⁶ ^x²

f = - definiert für x-Werte mit -4£ x£+4, d.h. ^D⁼

{

^x^Î^R ^-⁴^£^x^£⁴

}

^{(3 Pkte)}

Nach [SB 11, 20.5] gilt für das Volumen einer um die x-Achse rotierenden Fläche

[ ] ( )

ò

p

=

b a

x x f

V ²d für a < b. (2 Pkte)

Da die Funktion ^f

( )

^x ⁼¹₄^x ¹⁶^-^x² nur im Intervall

[

^-⁴^,⁴

]

definiert ist, liegen die Integrati- onsgrenzen fest: a=-4 und b=+4.

(2 Pkte)

x x x

V 16 d

4

1 ²

4 4

ò

2

- úûù

êëé -

p

=

(

^x

)

^x

x 16 d

16

4 2 4

2 -

= p

ò

-

(2 Pkte)

-

ò

p -

=

4 4

4

2 )d

16

16 ( x x x (1 Pkt)

4 4 5 3

5 1 3 16 16

+

úû-

êë ù

é -

= p x x (2 Pkte)

( ) ( )

_ú

û ê ù

ë

é ÷

ø ç ö

è

æ - - -

- p -

= ³ ⁵ ³ 4 ⁵

5 4 1 3 4 16 5 4 1 3 16

16 (2 Pkte)

[

¹³⁶^,⁵³³ ¹³⁶^,⁵³³

]

⁵³^,⁶²

16p + =

= (2 Pkte)

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt 53,62 VE.