WirtschaftsingenieurwesenFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.WI-WMT-S12–041030Datum30.10.2004

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Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. WI-WMT-S12–041030

Datum 30.10.2004

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 6 - Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: - 100 -

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 10/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-S12–041030 Seite 1/2

Aufgabe 1 13 Punkte

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 1

3 3x− x+ =

im Bereich der reellen Zahlen.

Aufgabe 2 14 Punkte

Eine Volkssportgruppe Laufen will Ausdauer trainieren, um letztendlich an einem Marathon teilzunehmen. Sie verständigen sich auf folgendes Trainingskonzept:

• einmaliges wöchentliches Training

• Beginn in der ersten Novemberwoche mit 15 km

• jede Woche wird die Strecke um 1 km verlängert.

2.1 Nach wie viel Wochen hat die Laufgruppe beim Training (a) 21 km (Halbmarathon)

(b) 30 km (Zwischenstand) (c) 42 km (Marathon) erreicht ?

5,5 Pkte

2.2 Wie viel Trainings-Kilometer wurden bis zu den Marken aus Teilaufgabe 2.1 absolviert? 2,5 Pkte 2.3 Wie sind die Verhältnisse aus den Teilaufgaben 2.1 und 2.2 wenn die Strecke jede Woche

um 2 km verlängert wird?

4 Pkte 2.4 Schätzen Sie beide Trainingsvarianten ein (verbale Beurteilung bzgl. Trainingsquantum und

-intensität).

2 Pkte

Aufgabe 3 30 Punkte

Gegeben ist die Funktion x x x

f

y= = 1+

ln )

( .

3.1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich dieser Funktion. 5 Pkte

3.2 Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion 10 Pkte

3.3 Untersuchen Sie die Funktion für x>0 auf Monotonie. 5 Pkte

3.4 Bestimmen Sie für x>0 die Umkehrfunktion von f(x). 10 Pkte

(3)

Klausuraufgaben, Studienleistung 10/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 4 15 Punkte

Gegeben ist die Funktion 2 2

) 1

( = +

= f x x

y

4.1 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. 3 Pkte

4.2 Die Fläche, die von der x-Achse, der y-Achse und dem Graphen der Funktion begrenzt wird, rotiert um die x-Achse.

Welche Form hat der Rotationskörper?

1 Pkt

4.3 Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers aus Teilaufgabe 4.2. 11 Pkte

Aufgabe 5 14 Punkte

Berechnen Sie das bestimmte Integral

∫

^⋅ ⁻

1 0

d

e x

x ^x .

Aufgabe 6 14 Punkte

Für ein Unternehmen besteht (näherungsweise) folgende Preis-Absatz-Funktion 1000

) (p =−p+ x

und folgende Kostenfunktion 15000 ln

7500 530

)

(x = x− x+

K .

Bestimmen Sie die Menge x, bei der das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

(4)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 10/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12–041030

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 30.10.2004

Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-S12 – 041030

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“

(Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

17. November 2004

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen ein Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzei- gen (Tel. 040 / 35094311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(5)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 10/04, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 1.4.5

13 Punkte

1 3

3x− x+ = Wurzel isolieren

x x+3=1−3

− quadrieren (2 Pkte)

9 2

6 1

3 x x

x+ = − + umformen (2 Pkte)

0 2 7

9x² − x− = auf Normalform bringen (1 Pkt)

9 0 2 9

2 −7x− =

x Lösung mit p, q-Formel (1 Pkt)

324 121 18

7 324

72 49 18

7 9 2 324

49 18

7

2 ,

1 = ± + = ± + = ±

x (2 Pkte)

18 11 18

7

2 ,

1 = ±

x (1 Pkt)

1=1 x ;

9

2 =−2

x (1 Pkt)

Durchführung der Probe (Einsetzen in Ausgangsgleichung):

1=1

x ⇒ 3⋅1− 1+3=3−2=1 (Gleichung erfüllt) (1 Pkt)

9 2

2 =−

x ⇒ 1

3 7 3 5 3 2 9 25 9 3 6 9 2 9

3 2− − + =− − =− − =− ≠



 



−

⋅ (keine Lösung) (1 Pkt)

Damit ist ^L⁼

{ }

¹ ^. ^{(1 Pkt)}

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap. 2.2

14 Punkte

2.1/

2.2

Es handelt sich um eine arithmetische Folge a_n=a₁+(n−1)dmit

1=15

a und

=1

d .

(1 Pkt) (1 Pkt) (1 Pkt) Für die Anzahl der Wochen folgt aus der allgemeinen Formel: n=(a_n −a₁+d)/d. (1 Pkt) Die Trainingskilometer ermitteln sich aus (Formelsammlung, 6.2): ( )

2 ¹ ⁿ

n n a a

s = + . (1 Pkt)

Ermittlung der Wochen und der Trainingskilometer:

an in km n in Wochen s_n in km

15 1 15

21 7 126 (3 Pkte)

30 16 360

42 28 798

(6)

WI-WMT-S12–041030 Seite 2/7

2.3 Die einzige Änderung ist der Wert von d: d =2 (1 Pkt)

an in km n in Wochen s_n in km

15 1 15

21 4 72 (3 Pkte)

30 8,5 191,25

42 14,5 413,25

2.4 Beim 2. Trainingsplan (Steigerung pro Woche um 2 km) werden die geplanten Marken (21, 30, 42) wesentlich schneller erreicht. Die gelaufenen Trainings-km sind niedriger, das Training ist weniger intensiver. Der 1. Trainingsplan (Steigerung um 1 km pro Woche) ist besser.

(2 Pkte)

Jede sinnvolle (verbale) Antwort ist als richtig mit insgesamt 2 Punkte zu bewerten.

Lösung 3

vgl. SB 4; Kap. 2.2, 2.3 und 3.6 sowie

SB 5; Kap. 2.4, 2.5 und 3.1

30 Punkte

3.1 Es muss gelten: 1 0 + >

x

x (Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert). (1 Pkt) Damit der Nenner nicht 0 wird, muss x≠0 auf jeden Fall gelten.

Weiterhin sind folgende Fälle zu unterscheiden. (1 Pkt)

1. Fall: x>0 x x

x > ⋅

+ 0

1

1 0

1+x> −

−1

>

x

Zusammen mit x>0 erhält man L1=

{

x x>⁰

}

. (1 Pkt) 2. Fall: x<0

x x

x > ⋅

+ 0

1

1 0

1+x< −

−1

<

x

Zusammen mit x<0 erhält man ^L² ⁼

{

^x ^x^<⁻¹

}

^. ^{(1 Pkt)}

Der gesamte Definitionsbereich ist L₁∪L₂, damit ^D⁼

{

^x ^x^<⁻¹^oder^x^>⁰

}

^. ^{(1 Pkt)}

(7)

Zum gleichen Resultat führt der folgende alternative Lösungsweg:

1 0 + >

x x

Umformen zu 1 1 0

>

x+

1 1

−

x> (1 Pkt)

Die Gleichung ist auf jeden Fall für x>0 erfüllt. Für x<0 folgt: (1 Pkt) x>−1 ⋅x

1

( )

¹

1<−x ⋅ − (1 Pkt)

>x

−1

<

x (1 Pkt)

Also ^D⁼

{

^x ^x^<⁻¹^oder^x^>⁰

}

^. ^{(1 Pkt)}

3.2 Ableitung nach der Kettenregel z

x

f( )=ln mit x z=1+x

(1 Pkt) z z

x

f′ =1⋅ ′ )

( (1 Pkt)

2 2

2

1 1

1 ) 1 ( 1

x x

x x x

x

z′= ⋅x− + ⋅ = − − =− (Quotientenregel) (4 Pkte)

(Alternativ: 1 1 +

= x

z , also 1₂

z′=−x )

) 1 ( 1

1 ) 1

( ₂ ₂

x x

x x x

f +

= −



 



− + ⋅

′ = (3 Pkte)

) 1 ( ) 1

(x x x

f′ =− + (1 Pkt)

3.3 Hier sind mehrere Lösungswege möglich:

Weg 1: Nutzung der Ableitung (Formelsammlung, 19.1) Da 0x> und x+1>0 folgt 0

) 1 ( ) 1

( <

− +

′ =

x x x

f , also ist f(x) monoton fallend. (5 Pkte) Weg 2:

Sei 0x₁>x₂ > . Dann ist 1 1

1

2 > +

x

x (1 Pkt)

(8)

WI-WMT-S12–041030 Seite 4/7

1 ln 1 1

1

2 x

x > +

+ anwenden, ln ist monoton wachsend (1 Pkt)



 



 +

>



 



 +

1 2

1 1 1 ln

1

ln x x (1 Pkt)



 



 +

>



 



 +

1 1 2

2 1

1 ln

ln x

x x

x (1 Pkt)

) ( ) (x₂ f x₁

f > , also f(x) monoton fallend (1 Pkt)

Weg 3: Skizze anfertigen (5 Pkte)

Da die Funktion kein Extrema hat (1. Ableitung kann nicht 0 werden), kann man am Verlauf des Graphen erkennen, dass die Funktion für x>0 monoton fallend ist.

3.4

x y= 1+x

ln zur Basis e Potenzieren und nach x auflösen x x

y =1+x ⋅

e (3 Pkte)

x x

x⋅e^y =1+ − (1 Pkt)

1

e − =

⋅ x

x ^y (1 Pkt)

1 ) 1 e

( ^y − =

x (2 Pkte)

1 e

1

= _y −

x (1 Pkt)

Durch Vertauschung von x und y erhält man die Umkehrfunktion 1

e ) 1 (x = _x −

y (2 Pkte)

(9)

Lösung 4

vgl. SB 4; Kap. 3.1 und SB 7; Kap. 4.2

15 Punkte

4.1 Für 0x= folgt y=2. Nullstelle liegt bei x=−4 vor. (3 Pkte) Skizze:

4.2 Es entsteht ein Kegel als Rotationskörper. (1 Pkt)

4.3 Nullstelle der Funktion:

2 2 0=1x+

2 2

1x=− ⇒ x=−4 (2 Pkte)

Berechnung des Volumens:

[

^f ^x

]

^x

V

b a

d ) ( ²

∫

π

= (Formelsammlung, 20.5) (1 Pkt)

−

∫



 



 +

=

0 4

2

d 2 2

π 1 x x

V (2 Pkte)

−

∫



 



 + +

=

0 4

2 2 4 d

4

π 1x x x

V (2 Pkte)

( ) ( ) ( )























 − + − + ⋅ −

− π

 =









 + +

π

=

−

4 4 12 4

0 4 12 4

3 2 0

4 3 2

x x x

V (2 Pkte)

π

= π

=



 



 



 



− + −

− π

= 3

16 12 16 64 12 16

V 64 (2 Pkte)

Alternativ kann das Volumen auch über die Volumenformel des Kegels berechnet werden:

h r

V ²

3 1π

= (Formel kein Bestandteil der Formelsammlung WMT) (3 Pkte)

Mit 2r= (y-Achsenabschnitt) und h=4 (Nullstelle) folgt (6 Pkte) π

=

⋅

⋅ π

= 3

4 16 3 2

1 ₂

V . (2 Pkte)

(10)

WI-WMT-S12–041030 Seite 6/7

Lösung 5

vgl. SB 7; Kap. 2.3 und 3.2

14 Punkte

Bestimmung der Stammfunktion mittels partieller Integration

∫

^u^v^′^d^x⁼^uv⁻

∫

^u^′^v^d^x (Formelsammlung, 20.4) (1 Pkt)

x x e⁻^xd

∫

^⋅

1 ) (

; )

(x =x u′ x =

u (2 Pkte)

x x v x

x

v′( )=e⁻ ; ( )=−e⁻ (2 Pkte)

( )

x x

x x x

x

x x

−

− −

−

=

+

−

=

−

⋅

−

=

⋅

∫

e e

d e e

d e 1 e

d e

(6 Pkte)

Berechnung des bestimmten Integrals

[

^e ^e

]

¹_e _e¹

⁽

⁰ ¹

⁾

d

e ¹₀

1 0

−



 



− −

=

−

⋅

−

=

⋅ ⁻ ⁻ ⁻

∫

^x ^x ^x ^x ^x ^x ^{(2 Pkte)}

e 1 d 2 e

1 0

+

−

=

∫

^x⋅ ⁻^x ^x ^{(1 Pkt)}

Lösung 6

vgl. SB 4; Kap. 4.3 und SB 5; Kap. 3.2

14 Punkte

Gewinn: )G(x)=E(x)−K(x , wobei E(x) die Erlösfunktion

Für )E(x gilt (Formelsammlung, 16.13): E(x)=x⋅p(x). (1 Pkt)

Aus 1000x(p)=−p+ folgt p(x)=−x+1000. (1 Pkt)

Somit ergibt sich für G(x):

15000 ln

7500 470

15000 ln

7500 530

1000

) 15000 ln

7500 530

( ) 1000 (

) (

2 2

− +

+

−

=

− +

−

=

+

−

− +

−

=

x x

x

x x

x x x G

(3 Pkte)

Notwendige Bedingung für ein lokales Maximum ist G′(x)=0. Hinreichende Bedingung für ein

lokales Maximum ist G′(x)=0 und G′′(x)<0. (1 Pkt)

x x x

G 7500

470 2

)

( =− + +

′ (1 Pkt)

2

2 7500 )

(x x

G′′ =− − (1 Pkt)

(11)

Auflösung von G′(x)=0 liefert:

x x

x+ + = ⋅

− 7500 0

470 2

) 2 ( : 0 7500 470

2 ² + + = −

− x x

0 3750

2 −235x− =

x (2 Pkte)

2 265 2

235 4

70225 2

3750 235 4

55225 2

2 235

,

1 = ± + = ± = ±

x

2 250

1=500=

x (1 Pkt)

2 15

2 =−30 =−

x (nicht sinnvoll) (1 Pkt)

0 12 , 2 12 , 0 250 2

2 7500 )

250

( =− − 2 =− − =− <

′′

G (1 Pkt)

Damit liegt bei einer Menge von x=250 ein lokales Maximum vor. (1 Pkt) Da die Funktion im Bereich x>0 nur ein Maximum hat, entfällt die Randbetrachtung