BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.BW-WMT-S12–050430Datum30.04.2005

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Klausuraufgaben, Studienleistung 04/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-S12–050430 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. BW-WMT-S12–050430

Datum 30.04.2005

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 8 - Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Höchstpunktzahl: - 100 -

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 04/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 11 Punkte

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 1

3 3x− x+ =

im Bereich der reellen Zahlen R.

Aufgabe 2 14 Punkte

Ein Fabrikgebäude (Anschaffungswert R₀ =280.000,00 €) soll degressiv abgeschrieben werden.

Bei der degressiven Abschreibung wird der von Jahr zu Jahr abnehmenden Wertminderung dadurch Rechnung getragen, dass über die gesamte Laufzeit ein (festgelegter konstanter) Prozentsatz p von dem jeweiligen aktuellen Buchwert abgeschrieben wird. Der Restbuchwert R_n am Ende eines Jahres n ergibt sich wie folgt:



 



 −

⋅

=



 



 ⋅

−

= ₋ ₋ ₋

1 100

100 ¹

1

1 p

p R R

R

R_n _n _n _n , wobei n=1,2,3,...

2.1 Die Größen R₀,R₁,...,R_n,... können als Glieder einer Zahlenfolge aufgefasst werden.

Um welche Art einer Zahlenfolge handelt es sich dabei?

2 Pkte

2.2 Der jährliche Abschreibungssatz für das o. g. Fabrikgebäude betrage p=2%. Berechnen Sie die Restbuchwerte am Ende des 3. Jahres und am Ende des 30. Jahres (jeweils gerundet auf volle Euro).

6 Pkte

Zum Vergleich soll nun lineare Abschreibung vorausgesetzt werden (vgl. Formelsammlung, Abschnitt 6 „Folgen und Reihen“).

2.3 Wie hoch ist der Restbuchwert am Ende des 3. Jahres und am Ende des 30. Jahres, wenn die Abschreibung linear bei einer Nutzungsdauer von N=50 Jahren erfolgt?

6 Pkte

Aufgabe 3 15 Punkte

Ein Unternehmen geht bei der Preis-Absatzfunktion (Nachfragefunktion) eines seiner Produkte von einem linearen Zusammenhang zwischen dem Preis p und dem Absatz x aus. Folgende Werte sind bekannt:

• ein Absatz von 600 Stück wurde erreicht bei einem Preis von 5 € pro Stück

• bei einem Preis von 30 € pro Stück wurden nur 100 Stück verkauft.

3.1 Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Nachfragefunktion x=x(p). 8 Pkte 3.2 Bestimmen Sie den Definitionsbereich D der Nachfragefunktion x=x(p) und skizzieren Sie

die Funktion in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Beachten Sie dabei die betriebs- wirtschaftlichen Aspekte einer Preis-Absatzfunktion.

7 Pkte

(3)

BW-WMT-S12 – 050430 Seite 2/3

Aufgabe 4 11 Punkte

Gegeben sei die reelle Funktion 5

)

( = −

= f x x

y .

4.1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich D von f(x) und stellen Sie den Graphen der Funktion in einem x, -Koordinatensystem dar.y

8 Pkte

4.2 Existiert eine Umkehrfunktion f⁻¹? Begründen Sie Ihre Antwort. 3 Pkte

Aufgabe 5 9 Punkte

Herr F. will seinen Lottogewinn sicher anlegen. Er zeichnet bei seiner Bank eine Anleihe zu folgenden Konditionen:

• er zahlt einen bestimmten Betrag ein, der sich 8 Jahre lang zu 5,5 % p.a. verzinst

• die jährlichen Zinsen werden zu den gleichen Bedingungen verzinst; es handelt sich also um eine Verzinsung mit Zinseszins (man spricht auch von einer „Thesaurierung der Zinsen“).

5.1 Welchen Betrag muss Herr F. anlegen, wenn er am Ende der Laufzeit von 8 Jahren einen Betrag von 15.000,00 € ausgezahlt haben möchte?

5 Pkte 5.2 Welche Laufzeit n müsste diese Anleihe haben, wenn Herr F. 11.477,00 € einzahlt und er am

Ende dieser Laufzeit ebenfalls einen Betrag 15.000,00 € erhalten will?

4 Pkte

Aufgabe 6 17 Punkte

Ein Handwerksmeister will eine neue Technologie einführen. Dafür ist eine Investition notwendig, für die ihm die folgenden zwei Alternativen vorliegen:

Alternative 1 Alternative 2 Investitionsbetrag A₀

(Anschaffungsausgabe)

11.000,00 € 15.000,00 €

Periodenüberschuss P₁ im 1. Jahr 0 € 9.000,00 € Periodenüberschuss P₂ im 2. Jahr 15.000,00 € 9.000,00 €

6.1 Vergleichen Sie die beiden Investitionsalternativen mittels der Methode des internen Zinsfußes.

15 Pkte 6.2 Wie lautet Ihre Entscheidung, wenn ein Kalkulationszinsfuß von 15 % zugrunde gelegt wird? 2 Pkte

(4)

Aufgabe 7 14 Punkte

Herr Sparsam möchte eine Ferienwohnung kaufen. Er hat drei Angebote erhalten:

• Angebot 1: 100.000 € sofort zahlbar und 160.000 € zahlbar nach 5 Jahren

• Angebot 2: 80.000 € sofort zahlbar und 165.000 € zahlbar nach drei Jahren

• Angebot 3: 290.000 € zahlbar nach 6 Jahren.

Herr Sparsam müsste an seine Bank 5 % Zinsen zahlen, wenn er den Kauf mit einem Kredit finanzieren will.

7.1 Stellen Sie die drei Angebote mit Hilfe einer Zeitskala grafisch dar. 3 Pkte 7.2 Durch welches Prinzip der Finanzmathematik können Zahlungen zu unterschiedlichen Zeit-

punkten vergleichbar gemacht werden? Beschreiben Sie das Prinzip in kurzer Form. 2 Pkte 7.3 Für welches Angebot sollte sich Herr Sparsam entscheiden? Treffen Sie Ihre Entscheidung mit

Hilfe der Barwerte der 3 Angebote.

9 Pkte

Aufgabe 8 9 Punkte

Eine Schuld von 200.000,00 €, zu 7 % verzinst, soll in 20 Jahren durch gleich hohe Annuitäten getilgt werden.

Wie hoch ist die Tilgung im letzten Jahr?

(5)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 04/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-S12 – 050430

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 30.04.2005

Betriebswirtschaft BW-WMT-S12 – 050430

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Er- gebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

18. Mai 2005

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzei- gen (Tel. 040 / 35094311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

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Korrekturrichtlinie, Studienleistung 04/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 1.4.5

11 Punkte

1 3

3x− x+ = Wurzel isolieren

x x+3=1−3

− quadrieren (1 Pkt)

2

2 1 6 9

) 3 1 (

3 x x x

x+ = − = − + umformen (1 Pkt)

0 2 7

9x² − x− = auf Normalform bringen (1 Pkt)

9 0 2 9

2 −7x− =

x Lösung mit p, q-Formel (1 Pkt)

324 121 18

7 324

72 49 18

7 9 2 324

49 18

7

2 ,

1 = ± + = ± + = ±

x (2 Pkte)

18 11 18

7

2 ,

1 = ±

x (1 Pkt)

1=1 x ;

9

2 =−2

x (1 Pkt)

Durchführung der Probe (Einsetzen in Ausgangsgleichung):

1=1

x ⇒ 3⋅1− 1+3=3−2=1 (Gleichung erfüllt) (1 Pkt)

9 2

2 =−

x ⇒ 1

3 7 3 5 3 2 9 25 9 3 6 9 2 9

3 2− − + =− − =− − =− ≠



 



−

⋅ (keine Lösung) (1 Pkt)

Damit ist ^L⁼

{ }

¹ ^. ^{(1 Pkt)}

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap. 2

14 Punkte

2.1 Es handelt sich um eine geometrische Zahlenfolge, da der Quotient q zwischen zwei Gliedern der Zahlenfolge gleich ist:

p q R

R

n

n = − =

−

100) 1 (

1

(n=1,2,3,...).

(2 Pkte)

2.2 R₀ =280.000,00 € (1 Pkt)

98 , 100 0 1 2

1 200 =



 



 −

=



 



 −

= p

q (1 Pkt)

0 3 0

1 2

3 R q R q q R q q q R q

R = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ (1 Pkt)

534 . 263 98

. 0 000 .

280 ³

3= ⋅ =

R € (1 Pkt)

Analog ergibt sich für R₃₀:

736 . 152 98

, 0 000 .

280 ³⁰

0 30

30=R ⋅q = ⋅ =

R € (2 Pkte)

(7)

BW-WMT-S12 – 050430 Seite 2/7

2.3 Für die lineare Abschreibung gilt (Formelsammlung 6.2):

N n R R

R_n = ₀− ⋅ ⁰ . (1 Pkt)

Mit 50N= und 5.600

50 000 .

0 =280 =

= N

d R € ergibt sich: (1 Pkt)

200 . 263 600 . 5 3 000 . 280 ) 3

0 (

3=R − ⋅d = − ⋅ =

R € (2 Pkte)

000 . 112 600 . 5 30 000 . 280 ) 30

0 (

30=R − ⋅d = − ⋅ =

R €. (2 Pkte)

Lösung 3

vgl. SB 4; Kap. 3.1 und 4.2

15 Punkte

3.1 Der lineare Zusammenhang bedeutet eine Funktion des Typs b

mp p x

x= ( )= + (lineare Funktion). (1 Pkt)

Bei 5p₁= ist x₁=600, also 600=5m+b (I) (1 Pkt)

Bei 30p₂ = ist x₂ =100, also 100=30m+b (II) (1 Pkt)

Subtraktion (I) – (II) liefert

20 25 500

30 5 100 600

−

=

−

=

−

=

− m

m m m

(2 Pkte) Einsetzen z. B. in (I) liefert:

700 100 600

) 20 ( 5 600

= +

−

=

+

−

⋅

= b

b b

(2 Pkte) Die gesuchte Nachfragefunktion hat die Funktionsgleichung x=x(p)=−20p+700 bzw.

p p

x

x= ( )=700−20 .

(1 Pkt)

Die gleiche Funktionsgleichung erhält man alternativ durch Anwendung der

2-Punkteform der Geradengleichung mit P₁(p₁,x₁)=(5,600) und P₂(p₂,x₂)=(30,100). 3.2 Definitionsbereich:

Da es sich um eine Preis-Absatzfunktion handelt, sind nur Argumente p>0 sinnvoll. (1 Pkt) Weiterhin sind diejenigen Argumente auszuschließen, für die x=x(p)<0 wird (kein

negativer Absatz möglich).

(1 Pkt) Schnittpunkt mit p-Achse: Aus x(p₀)=0 folgt

35 20 / 700

20 700 0

0 0

0

=

−

= p p

p

(1 Pkt) Damit ergibt sich folgender Definitionsbereich für die Nachfragefunktion x=x(p):

{

^∈ ⁰^< ^≤³⁵

}

= p p

D R . (1 Pkt)

(8)

Funktionsskizze: (3 Pkte)

Hinweis:

Die Funktionsgerade nähert sich dem Punkt (0, 700) nur an, da p=0 nicht zum Definitionsbereich gehört.

Lösung 4

vgl. SB 1; Kap. 1.5.2 und SB 4; Kap. 2

11 Punkte

4.1 Da die Betragsfunktion für alle reellen Argumente definiert ist, gilt D=R. (1 Pkt) Funktionsskizze:

Anwendung der Betragsdefinition (Formelsammlung 4.3) auf f(x) liefert:

5 für

5 für ) 5 ( 5 5 )

( <

≥





−

= −

−

=

= x

x x

x x x f

y (2 Pkte)

Der „Funktionsteil“ x−5 stellt eine Gerade mit dem Anstieg m=1 dar. (1 Pkt) Der „Funktionsteil“ −(x−5)=−x+5 stellt eine Gerade mit dem Anstieg m=−1 dar. (1 Pkt)

(3 Pkte)

x(p)

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 5 10 15 20 25 30 Preis p35 40

Nachfrage x

(9)

BW-WMT-S12 – 050430 Seite 4/7

4.2 Eine Umkehrfunktion f⁻¹ existiert nicht, da zu jedem y≠0 stets 2 x-Werte gehören (keine eindeutige Zuordnung möglich).

(3 Pkte)

Lösung 5

vgl. SB 2; Kap. 1.3

9 Punkte

5.1 Es ist der Barwert K₀ bei n Zinsperioden zu berechnen.

Formelsammlung 8.2 liefert:

n n

q

K₀= K , wobei (1 Pkt)

Kn Endkapital (15.000,00 €) (1 Pkt)

n Anzahl der Zinsperioden (n=8) (1 Pkt)

055 , 100 1

5 , 1 5

1+100= + =

= p

q (Aufzinsfaktor). (1 Pkt)

Einsetzen der Werte liefert:

98 , 055 9773

, 1

000 . 15

0= 8 =

K €. (1 Pkt)

5.2 Es ist die Laufzeit n der Anleihe zu berechnen.

Formelsammlung 8.2 liefert:

q K

n Kⁿ

log log

log − ₀

= , wobei (1 Pkt)

Kn Endkapital (15.000,00 €)

K0 Anfangskapital/Barwert (11.477,00 €) (1 Pkt)

055 , 100 1

5 , 1 5

1+100= + =

= p

q (Aufzinsfaktor).

Einsetzen der Werte liefert:

00 . 055 5

. 1 log

477 . 11 log 000 . 15

log − =

=

n Jahre. (2 Pkte)

(10)

Lösung 6

vgl. SB 2; Kap. 1.6

17 Punkte

6.1 Bei der Methode des internen Zinsfußes wird derjenige Zinssatz (interner Zinsfuß) ermittelt, bei dem der Kapitalwert der Investition Null wird.

interner Zinsfuß: i=q−1 (q Aufzinsfaktor) (1 Pkt)

Der interne Zinsfuß wird aus folgender Gleichung ermittelt (Formelsammlung 8.6):

0

... ₀

2 2

1qⁿ⁻1+P qⁿ⁻ + +P_n −A qⁿ =

P (1 Pkt)

Einsetzen der Werte für A₀, P₁ und P₂ für Alternative 1:

0 000

. 11 000 . 15

0⋅q+ − ⋅q²= (1 Pkt)

11 15 000 . 11

000 .

2=15 =

q (1 Pkt)

1677 , 11 1 15=

=

q (1 Pkt)

1677 , 0 1=

−

=q

i bzw. i=16,77% (1 Pkt)

Die Alternative 1 ist vorteilhaft bis zu einem Kalkulationszinssatz von 16,77 %. (1 Pkt) Einsetzen der Werte für A₀, P₁ und P₂ für Alternative 2:

0 000

. 15 000 . 9 000 .

9 ⋅q+ − ⋅q²= (1 Pkt)

0 6 , 0 6 ,

2−0 q− =

q (1 Pkt)

8307 , 0 3 , 0 69 , 0 3 , 0 6 , 4 0 6 , 3 0 ,

0 ²

2 ,

1 = ± + = ± = ±

q (2 Pkte)

1307 ,

1=1

q (1 Pkt)

5307 ,

2 =−0

q (nicht relevant) (1 Pkt)

1307 , 0 1=

−

=q

i bzw. i=13,07% (1 Pkt)

Die Alternative 2 ist vorteilhaft bis zu einem Kalkulationszinssatz von 13,07 %. (1 Pkt) 6.2 Wird ein Kalkulationszinssatz von 15 % zugrunde gelegt, dann ist der Alternative 1 der Vor-

zug zu geben.

(2 Pkte)

(11)

BW-WMT-S12 – 050430 Seite 6/7

Lösung 7

vgl. SB 2; Kap. 1.5

14 Punkte

7.1

0 1 2 3 4 5 6

100000 160000

80000 165000

290000

(3 Pkte)

7.2 Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik: (1 Pkt)

Bestimmung der Werte dieser Zahlungen zu ein und demselben Zeitpunkt, in der Regel auf den Zeitpunkt 0 bezogen (Berechnung des Barwertes).

(1 Pkt) 7.3 Barwert nach n Zinsperioden, vgl. Formelsammlung, Abschnitt 8.2:

n n

q K₀= K mit

1 100p

q= + (1 Pkt)

Mit 1,05

100 1 5

1+100= + =

= p

q ergibt sich für die einzelnen Angebote. (1 Pkt)

Barwert Angebot 1:

19 , 364 . 05 225

, 1

000 . 000 160 .

100 5

bar = + =

K € (2 Pkte)

Barwert Angebot 2:

20 , 533 . 05 222

, 1

000 . 000 165 .

80 ₃

bar = + =

K € (2 Pkte)

Barwert Angebot 3:

47 , 402 . 05 216

, 1

000 . 290

bar = 6 =

K € (2 Pkte)

Herr Sparsam sollte Angebot 3 wählen (niedrigster Barwert). (1 Pkt)

(12)

Lösung 8

vgl. SB 3; Kap. 2.3

9 Punkte

Die Tilgungsrate für das Jahr j errechnet sich aus der Annuität und den Zinsen ( siehe Formel- sammlung 10.2) wie folgt:

j

j A Z

T = − . (1 Pkt)

Die Annuität berechnet sich nach (Formelsammlung 10.2):

1 1

−

⋅ −

= ⁿ _n

q q q S

A . (1 Pkt)

Mit 000S=200. €, q=1,07 und n=20 erhält man 59 , 878 . 1 18 07 , 1

1 07 , 07 1 , 1 000 .

200 20

20 =

−

⋅ −

⋅

=

A €. (2 Pkte)

Die Zinsen im Jahr j erhält man mit (Formelsammlung 10.2):

1 ) 1 )(

( ¹

−

⋅ −

= ⁿ _n^j⁻

j q

q q S q

Z . (1 Pkt)

Mit 20j= und den obigen Werten erhält man die Zinsrate Z₂₀ im 20. Jahr zu:

05 , 1 1235

07 , 1

) 1 07 , 1 )(

07 , 1 07 , 1 000 ( .

200 ₂₀

19 20

20 =

−

⋅ −

=

Z €. (3 Pkte)

Mit A=18.878,59 € und Z₂₀=1235,05 € lautet die Tilgungsrate T₂₀ im 20. Jahr:

54 , 643 . 17 05 , 1235 59 , 878 .

20 18

20 =A−Z = − =

T €. (1 Pkt)