BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.BB-WMT-S11-060624 / BW-WMT-S12-060624Datum24.06.2006

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Klausuraufgaben, Studienleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-S11-060624 / BW-WMT-S12-060624 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. BB-WMT-S11-060624 / BW-WMT-S12-060624

Datum 24.06.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 7 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 12 Punkte

Gegeben sind die Teilmengen der reellen Zahlen (Intervalle)

{

^∈ ⁰^≤ ^≤⁴

}

= x x

A R und ^B⁼

{

^x^∈^R ²^<^x^<⁷

}

^.

Bilden Sie die Mengen

• A∪B

• A∩B

• A\B

• A_R (Komplement von A in der Menge der reellen Zahlen R)

und geben Sie jeweils in obiger Schreibweise an, welche Elemente zu diesen Mengen gehören.

Aufgabe 2 12 Punkte

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung 1

2

1= −

−

− x x

x

und überprüfen Sie das Ergebnis auf Richtigkeit.

Aufgabe 3 12 Punkte

Von einer arithmetischen Zahlenfolge

( )

an sind die folgende Beziehungen zwischen einzelnen Gliedern der Zahlenfolge bekannt:

8 1

5+a = a

6 0

2 +a =

a .

Bestimmen Sie das Anfangsglied a₁ der Zahlenfolge.

Aufgabe 4 16 Punkte

Gegeben ist die reelle Funktion

2 3 5 ) 2

( ²

4

+

−

= x x

x

f .

4.1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich D der Funktion f(x). 2

4.2 Untersuchen Sie die Funktion f(x) auf Symmetrie. 3

4.3 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x). 11

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Klausuraufgaben, Studienleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-S11-060624 / BW-WMT-S12-060624 Seite 2/2

Aufgabe 5 14 Punkte

Ein Geldbetrag von K₀ =15000,00 € wird nach dem Prinzip der Bundesschatzbriefe für 4 Jahre lang fest ange- legt (Verzinsung mit Zinseszins). Für die jährlichen Verzinsungen gelten folgende Staffelzinssätze:

1. Jahr: p₁=2,25% p.a.

2. Jahr: p₂ =2,50% p.a.

3. Jahr: p₃=3,00% p.a.

4. Jahr: p₄ =4,00% p.a.

5.1 Welches Guthaben steht am Ende der Laufzeit zur Verfügung? 7

5.2 Ermitteln Sie den durchschnittlichen effektiven Zinssatz p_eff für die Anlage, d. h. denjenigen Zinssatz der über die Zinsperioden der Laufzeit gewährt werden müsste, um dasselbe Guthaben zu erzielen wie mit den vereinbarten Staffelzinssätzen.

Geben Sie den Zinssatz mit 2 Nachkommastellen an.

7

Aufgabe 6 15 Punkte

Herr P. besitzt auf seinem Bankkonto, das mit 2,5 % p.a. verzinst wird, am 01.01.2004 ein Guthaben von 50 000,00 €. Er möchte jedes Jahr am 01. Januar (beginnend im Jahre 2005) 4 000,00 € abheben.

6.1 Berechnen Sie die Anzahl der abzuhebenden Raten, bis das Konto erschöpft ist. 10 6.2 Berechnen Sie den Kontostand von Herrn P. nach der fünften Abhebung. 5 Hinweis:

Verwenden sie zur Lösung dieser Aufgabe die Sparkassenformeln für Kapitalverzehr.

Aufgabe 7 19 Punkte

Herr Mustermann will seinen Sohn beim Bau eines Eigenheimes unterstützen, indem er ihm aus seiner privaten Altersvorsorge 185 000,00 € bereitstellt. Damit sein Kapital sich nicht entwertet, verlangt er außerdem 2,3 % Zin- sen jährlich (mittlere Teuerungsrate).

Er vereinbart mit dem Sohn eine Annuitätentilgung mit einer Laufzeit von 4 Jahren.

Stellen Sie den Tilgungsplan für die Annuitätentilgung gemäß nachstehender Vorlage auf und geben Sie die Formeln für die erforderlichen Berechnungen an.

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j 1

2 3 4

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Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 24.06.2006

Betriebswirtschaft

BB-WMT-S11-060624 / BW-WMT-S12-060624

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Er- gebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

12. Juli 2006

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzei- gen (Tel. 040 / 35094311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(5)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 1.1 / 1.2

12 Punkte

{ }

{

⁰ ⁷

}

7 2 oder 4 0

oder

<

≤

∈

=

<

≤

∈

=

∈

=

∪

x x

x

B x A

x x B A

R R R

3

{ }

{

² ⁴

}

7 2 und 4 0

und

≤

<

∈

=

<

≤

∈

=

∈

=

∩

x x

x

B x A x x B A

R R R

3

A\^B⁼

{

^x^∈^R ^x^∈^A ^und ^x^∉^B

}

A\^B⁼

{

^x^∈^R ⁰^≤^x^≤⁴ ^und ⁽^x^≤² ^oder ^x^≥⁷⁾

}

A\^B⁼

{

^x^∈^R ⁰^≤^x^≤²⁾

}

3

{ }

{

⁰ ^oder ⁴

}

) 4 oder 0 ( und und

>

<

∈

=

>

<

∈

=

∉

∈

=

x x

x

x x

A x x

x A

R R R

R

R R

3

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap. 1.4.5

12 Punkte

1 2

1= −

−

− x x

x quadrieren

(

^x ⁻ ^x⁻¹

) (

² ⁼ ²^x⁻¹

)

² ¹

1 2 ) 1 ( 1

2 − + − = −

− x x x x

x zusammenfassen 2

1 2 ) 1 ( 2 ) 1 2

( x− − x x− = x− umformen 1

0 ) 1 (

2 − =

− x x 1

0 ) 1 (x− =

x erneut quadrieren 1

(

^x⁽^x⁻¹⁾

)

² ⁼⁰ 1

0 ) 1 (x− =

x 1

1 ,

0 ₂

1= x =

x 2

Probe:

− ⇒

=

−

⇒ −

=0 1 1

x1 Widerspruch, 0x₁= ist keine Lösung 1

= ⇒

=1 ⇒ 1 1

x2 x₂=1 ist Lösung der Wurzelgleichung 1

(6)

Lösung 3

vgl. SB 1; Kap. 2.2

12 Punkte

Bildungsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlung 6.2):

d k a

a_k = ₁+( −1) mit k∈N⁺,d≠0. 1

Damit ist d a a

d a a

7 4

1 8

1 5

+

= +

= 1

und

d a a

1 5

6 1 2

+

= +

= . 1

Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt 1 11 2 ) 7 (

4 ₁ ₁

1 8

5+a =a + d+ a + d = a + d =

a (I) 2

0 6 2 ) 5

( ₁ ₁

1 6

2 +a =a +d + a + d = a + d=

a (II) 2

Aus (II) folgt

2 3 6 0

6

2 ₁ ₁ a¹

d a

d d

a + = ⇒ =− ⇒ =− 2

Einsetzen in (I) liefert

5 3 3 1 5

3 1 11 3 6

3 1 2 11

1 1 1 1

1 1

−

=

−

=

−

=

−

a a a a a a

3

Das Anfangsglied der Zahlenfolge ist

5

1=−3

a .

(7)

Lösung 4

vgl. SB 1; Kap. 1.4.4 und SB 4, Kap. 2.1 und 2.3

16 Punkte

4.1 Die Funktion f(x) ist für alle reellen Zahlen definiert, damit gilt für den Definitionsbereich:

=R

D . 2

4.2 Es ist der Funktionswert f(−x) zu betrachten.

) 2 ( 3 5 2 2 ) 5 ( 2 3

) ) (

( ⁴ ² x⁴ x² f x

x x x

f − = − − − + = − + = 2

Da )f(−x)= f(x für alle x aus dem Definitionsbereich, ist die Funktion gerade (vgl. Formel- sammlung 16.2), d. h. axialsymmetrisch zur y-Achse.

1

4.3 Zur Bestimmung der Nullstellen muss man f(x)=0 setzen:

2 0 3 5 2

4 2

= +

− x

x 1

Die biquadratische Gleichung lässt sich durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen.

Substitution:x² =z. 1

2 0 3 5 2 1 ₂

= +

− z

z .

0 5

2−6z+ =

z . 1

2 4 3

3 16 4 20 4 3 36

2 ,

1 = ± − = ± = ±

z 2

1=1

z und z₂ =5 2

Alternative:

Anwendung der binomischen Formeln ergibt

(

^z⁻¹

) (

^⋅ ^z⁻⁵

)

⁼⁰

mit den Lösungen z₁=1 und z₂=5. Rücksubstitution:

2 =1

x ⇒ x₁=1 und x₂=−1 2

2 =5

x ⇒ x₃ = 5 und x₄ =− 5 2

Lösungsmenge: ^L⁼

{

⁻ ⁵ ^; ⁻¹^; ¹^; ⁺ ⁵

}

^.

(8)

Lösung 5

vgl. SB 2; Kap. 1.3 und SB 3, Kap. 3

14 Punkte

5.1 Das Endkapital K₄ ergibt sich mit den Aufzinsungsfaktoren 0225

, 100 1

25 , 1 2 1 100¹

1 = + =



 



 +

= p

q 1

0250 , 100 1

50 , 1 2 1 100²

2 = + =



 



 +

= p

q 1

0300 , 100 1

00 , 1 3 1 100³

3 = + =



 



 +

= p

q 1

0400 , 100 1

00 , 1 4 1 100⁴

4 = + =



 



 +

= p

q 1

zu

4 3 2 1 0

4 K q q q q

K = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2

27 , 840 16 400 , 1 300 , 1 0250 , 1 0225 , 1 000

4 =15 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

K € 1

5.2 Für den effektiven Zinssatz p_eff muss gelten

ef 4 0

4 3 2 1 0

4 1 100 









 +

⋅

=

⋅

= p ^f

K q q q q K

K . 2

Mit 



 



 +

= 1 100p^eff

q_eff folgt

eff4 0 4 3 2 1

0 q q q q K q

K ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 1

eff4 4 3 2

1 q q q q

q ⋅ ⋅ ⋅ =

4 1 2 3 4

eff q q q q

q = ⋅ ⋅ ⋅ 1

0294 , 1 02935 , 1 0400 , 1 0300 , 1 0250 , 1 0225 ,

41

eff = ⋅ ⋅ ⋅ = ≈

q 2

Damit ist



 



 +

= 1 100 0294

,

1 p^eff

% 94 , 2 100 ) 1 0294 , 1

ff =( − ⋅ =

pe 1

Hinweis:

Die in der Formelsammlung unter 8.7 genannte Formel für den effektiven Zinssatz 1

2 ...

1⋅ ⋅ ⋅ −

=ⁿ _n

eff q q q

p

ist nicht korrekt, die rechte Seite entspricht der effektiven Zinsrate (zur Berechnung des effektiven Zinssatzes fehlt die Multiplikation mit 100). Sollten Studierende diese Formel verwendet und als Ergebnis p_e_ff =(1,0294−1)=0,0294 erhalten haben, so sollte die Teilaufgabe als korrekt bewertet

(9)

Lösung 6

vgl. SB 2; Kap. 2.4

15 Punkte

6.1 Anwendung der Sparkassenformel für den Kapitalverzehr bei nachschüssig entnommenen Raten mit 0E_n = (vgl. Formelsammlung 9.3):

1 0 ₀ 1

−

⋅ −

−

⋅

= q

r q q

K ⁿ ⁿ . 1

Umstellen nach der Periode n ergibt:

r rq q q

K − ⁿ − ⁿ +

= ( 1)

0 ₀ 1

r q

K r

qⁿ( − ₀( −1))= 1

)

0(q q K r qⁿ r

−

= − 1



 





−

= −

⋅log log ( 1)

0 q K r q r

n 1

( )

q q K r

r

n log

log 1

0 



 





−

= − . 1

Einsetzen von K₀ =50000 € ; q =1,025 und r=4000 € liefert: 1

( )

(

¹^,⁰²⁵

)

¹⁵^,¹⁷

log

1 025 , 1 000 50 000 4

000 log 4

=



 





−

= −

n . 3

Es können 15 volle Raten und eine stark verminderte 16-te Schlussrate abgehoben werden.

6.2 Anwendung der Sparkassenformel für den Kapitalverzehr bei nachschüssig entnommenen Raten (vgl. Formelsammlung 9.3):

1 1

0 −

⋅ −

−

⋅

= q

r q q K

E_n ⁿ ⁿ . 1

Einsetzen von K₀ =50000€ ; q=1,025 ; r=4000 € und n=5 liefert: 1 000

= 50

En ⋅1,025⁵−4000

1 025 . 1

1 025 .

1 ⁵

−

⋅ − 2

10 , 545

= 35

En €. 1

Der Kontostand nach der fünften Abhebung beträgt 35545,10 €.

(10)

Lösung 7

vgl. SB 3; Kap. 2.3

19 Punkte

Für die Annuitätentilgung ergeben sich folgende Werte (Formelsammlung 10.2) Laufzeit: n=4

Schuldsumme: S₀ =185000€ Zinssatz: p=2,3 %

Aufzinsungsfaktor: 1,023 1+100=

= p

q 1

Annuität:

1

0 1

−

⋅ −

⋅

= ⁿ _n

q q q S

A 1

61 , 939 1 48

023 , 1

023 , ) 0 023 , 1 ( 000

185 ⁴ ₄ =

⋅ −

⋅

=

A € 2

Zinsen der j-ten Periode: ( 1)

100 ¹

1⋅ = ⋅ −

= ₋ p S ₋ q

S

Z_j _j _j , mit j=1,K,4 1

Tilgung der j-ten Periode: T_j =A−Z_j, mit j=1,K,4 1

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität:

−1

⋅ −

= ⁿ_n ^j

j q

q S q

S , mit j=1,K,4 1

alternativ:

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität: S_j =S_j₋₁−T_j, mit j=1,K,4

Mit diesen Werten und Formeln ergibt sich der folgende Tilgungsplan (in Euro):

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j

1 185 000,00 4 255,00 44 684,61 48 939,61 3

2 140 315,39 3 227,25 45 712,35 48 939,61 3

3 94 603,04 2 175,87 46 736,74 48 939,61 3

4 47 839,30 1 100,30 47 839,30 48 939,61 3

Hinweis zur Bewertung des Tilgungsplanes:

Für jeden korrekt berechneten Wert der Spalten S_j₋₁, Z_j und T_j jeweils 1 Punkt, Bewertung der Annuität siehe oben.