StudiengangBetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.BB-WMT-S11-061216 / BW-WMT-S12-061216Datum16.12.2006

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Klausuraufgaben, Studienleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-S11-061216 / BW-WMT-S12-061216 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. BB-WMT-S11-061216 / BW-WMT-S12-061216

Datum 16.12.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 6 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 18 Punkte

Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen R.

1.1 5x²+2x+6=x+4 7

1.2 x⁴−7x² =−12 6

1.3 ^lg

(

⁷^x⁺²

)

⁼¹⁺^lg

(

^x⁻⁴

)

⁵

Aufgabe 2 16 Punkte

Rechnen mit Folgen und Reihen:

2.1 Zwischen 32 und 4 sind 3 Zahlen so einzufügen, dass eine arithmetische Folge entsteht.

Welche Zahlen sind einzufügen?

5

2.2 Zwischen 32 und 4 sind 2 Zahlen so einzufügen, dass eine geometrische Folge entsteht.

Welche Zahlen sind einzufügen?

4

2.3 Berechnen Sie den Wert der Summe

∑

= 12

1 i

ai mit a_i =7+(i−1)⋅32. 3

2.4 Berechnen Sie den Wert der Summe

∑

= 5 1 i

bi mit

1

5 32 1 ⁻



 



⋅

= ⁱ

bi . 4

Aufgabe 3 24 Punkte

Gesucht ist eine Kostenfunktion ^K

( )

^x ^.

Die Fixkosten K_f betragen 200 €. Weiterhin ist bekannt, dass die Herstellungskosten von 13 Stück 616 € betragen, und dass für 19 Stück 1150 € Kosten anfallen.

3.1 Überprüfen Sie, ob ^K

( )

^x eine lineare Funktion ist. 5

3.2 Finden Sie die Gleichung der Kostenfunktion ^K

( )

^x , wenn man einen quadratischen Zusammen- 11

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Klausuraufgaben, Studienleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-S11-061216 / BW-WMT-S12-061216 Seite 2/2

Aufgabe 4 14 Punkte

Ein Geldbetrag von 6 500,00 € wird für 5 Jahre fest zu einem Zinssatz von 4 % p.a. (Zinseszins) angelegt.

Berechnen Sie den zusätzlichen Wert des Kapitalwerts, wenn

4.1 statt üblich einmal jährlich alle vier Monate die Zinsen gutgeschrieben werden, 6 4.2 statt üblich einmal jährlich alle Monate die Zinsen gutgeschrieben werden. 3 4.3 Wie lautet im Falle der Teilaufgaben 4.1 und 4.2 jeweils der effektive Zinssatz?

Geben Sie die Werte in Prozent und mit 3 Dezimalstellen an.

5

Aufgabe 5 12 Punkte

Herr Sparsam möchte seine Ferienwohnung verkaufen. Er hat drei Angebote erhalten:

• Angebot 1: 100 000,00 € sofort und 160 000,00 € in 5 Jahren

• Angebot 2: 80 000,00 € sofort und 165 000,00 € in drei Jahren

• Angebot 3: 290 000,00 € in 6 Jahren.

5.1 Stellen Sie die drei Angebote mit Hilfe einer Zeitskala graphisch dar. 3 5.2 Berechnen Sie die Barwerte der drei Angebote bei einer Verzinsung von 5 %. 4 5.3 Berechnen Sie die Kapitalwerte nach 6 Jahren bei einer Verzinsung von 4 %. 4

5.4 Wie sollte sich Herr Sparsam entscheiden? 1

Aufgabe 6 16 Punkte

Frau Müller möchte eine Schuld von 50 000,00 € bei gleichbleibenden Annuitäten mit jährlich 6 % Zinsen nachschüssig in n Jahren tilgen.

6.1 Berechnen Sie die Tilgung im ersten Jahr, wenn Sie als Laufzeit n=3,4und5 wählen. 8 6.2 Wie groß ist die Restschuld zu Beginn des vorletzten Jahres, wenn sie als Laufzeit n=5,6und7

wählen?

8

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Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 16.12.2006

Betriebswirtschaft

BB-WMT-S11-061216 / BW-WMT-S12-061216

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Er- gebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

•

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Korrekturrichtlinie, Studienleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-S11-061216/ BW-WMT-S12-061216 Seite 1/6

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 2.4 und 2.5

18 Punkte

1.1 5x² +2x+6 =x+4 Gleichung quadrieren

2 16

8 6

2

5x²+ x+ =x²+ x+ Zusammenfassen 1

0 10 6

4x² − x− = Normieren 1

0 5 , 2 5 ,

2 −1 x− =

x Lösungsformel quadratische Gleichung

4 7 4 3 16 40 16

9 4

2 3

,

1 = ± + = ±

x 2

5 ,

1=2

x und x₂ =−1 1







 −

= , 1 2 L 5

1.2 x⁴ −7x²=−12 Substitution x² =z 1

0 12

2 −7z+ =

z Lösungsformel quadratische Gleichung 1

2 1 2 7 4 48 4 49 2 7

2 ,

1 = ± − = ±

z 2

1=3

z und z₂ =4 Rücksubstitution

2 , 3 x , 3

,

2 ₂ ₃ ₄

1=− x =− = x =

x 2

{

⁻ ³^,⁻²^, ³^,²

}

= L

1.3 ^lg

(

⁷^x⁺²

)

⁼¹⁺^lg

(

^x⁻⁴

)

^Umformen

(

⁷ ²

) (

^lg ⁴

)

¹

lg x+ − x− = Logarithmengesetze 1

4 1 2 lg 7 =



 





− + x

x Logarithmusdefinition 10^a =b⇔a=lgb 2

101

4 2

7 =



 





− + x

x Umformen 1

(

⁴

)

¹⁰ ⁴⁰

10 2

7x+ = x− = x− Vereinfachen

=14

x 1

{ }

¹⁴

= L

(6)

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap. 3.2 und 3.3

16 Punkte

2.1 a₁=32,a₅ =4 Indizes zuordnen 1

7

; 28

4d=a₅−a₁=− d=− Abstand d der Reihe berechnen 1

11

; 18

; 25 7

32 ₃ ₄

1

2 =a +d= − = a = a =

a Werte berechnen 3

2.2 a₁=32,a₄=4 Indizes zuordnen 1

2

; 1 2 1 8 1 32

; 4

3 3 1

4  =



 



=

=

=q q

a

a Quotient q der Reihe berechnen 1

8

; 2 16

32 1 ₃

1

2 = a q = ⋅ = a =

a Werte berechnen 2

2.3

∑

= 12 1 i

ai mit a_i=7+(i−1)⋅32 arithmetische Reihe

(

n

)

n n a a

s = ₁+

2 Partialsumme einer arithmetischen Reihe 1

(

¹² ¹

)

³² ⁷ ¹¹ ¹² ³⁵⁹

12=7+ − ⋅ = + ⋅ =

a letztes Folgenglied berechnen 1

( )

⁶

(

⁷ ³⁵⁹

)

²¹⁹⁶

2

12 1 12

12 = a +a = ⋅ − =

s Summe berechnen 1

2.4

∑

= 5 1 i

bi mit

1

5 32 1 ⁻



 



⋅

=

i

bi geometrische Reihe erkennen 1

1

1 − 1

= − q a q

s_n ⁿ Partialsumme einer geometrischen Reihe 1

5 5;

; 1

1=32 q= n=

a Zuordnung erkennen 1

9872 , 625 39 32 781 5 1

1 5 1 1 32

5

5 = ⋅ =

−



 





=

s Summe berechnen 1

(7)

Lösung 3

vgl. SB 4; Kap. 5.1, 4.1, 4.2, 4.5 und 4.7

24 Punkte

3.1 Kostenfunktion ^K

( )

^x wäre linear, wenn die Wertepaare (0, 200), (13, 616) und (19, 1150) auf ei-

ner Geraden liegen. 2

0 32 13

200 616

1 2

1

12 2 =

−

= −

−

= − x x

y

m y Steigung berechnen 1

13 89 19

616 1150

2 3

2

23 3 =

−

= −

−

= − x x

y

m y Steigung berechnen 1

23 12 m

m ≠ keine gemeinsame Steigung, Kostenfunktion ist

nicht linear 1

3.2 ^K

( )

^x ⁼^ax²⁺^bx⁺^c Ansatz quadratische Funktion

=200

c Bedeutung der Fixkosten ^Kf

( )

^x 1

200 19 19

1150

200 13 13

616

2 2

+

⋅ +

⋅

=

+

⋅ +

⋅

=

b a

b

a Einsetzen der Wertepaare 2

950 19 361

416 13 169

= +

b a

b

a Gleichungssystem in a und b 2

12350 247

4693

7904 247

3211

−

=

−

= +

b a

b

a Gleichung 1 multipliziert mit 19 und Gleichung 2

multipliziert mit (-13) 1

4446 1482 =−

− a Additionsmethode 1

=3

a 1

416 13 3

169⋅ + b= Einsetzen in Gleichung 1 1

7

; 91

13b=− b=− Ausrechnen 1

( )

^x ⁼³^x² ⁻⁷^x⁺²⁰⁰

K Kostenfunktion 1

3.3 ^Kv

( )

^x ⁼^ab^x Ansatz übernehmen

19 13

200 1150

200 616

ab ab

=

−

=

− Wertepaare einsetzen, Beachtung von

( )

^x ^K ^x ^K

( )

^x

K_v = ( )− _f 2

6 6

13

19 416

950=ab =ab ⋅b = b Umformen 1

416

6 =950

b 6-te Wurzel ziehen 1

1476 ,

=1

b 1

987934 , 5 1476

, 1

416=a⋅ ¹³=a⋅ Einsetzen in Gleichung 1 1

4730 ,

=69

a 1

( )

^x

v x

K =69,4730⋅1,1476 Einsetzen in Ansatz 1

(69,4730⋅1,1476¹⁹=950,25) (Kontrolle für 19 Einheiten)

(8)

Lösung 4

vgl. SB 2; Kap. 2.3 und 2.4

14 Punkte

4.1

1 100 mit

0q p

q K

K_n = ⁿ = + Formel für Kapitalwert, vgl. Formelsammlung,

Abschnitt 8.2 1

1 100 mit

0q = + ⋅

= m

q p K

K_k ^k Formel für unterjährigen Kapitalwert, vgl. Formel-

sammlung, Abschnitt 8.4 (k Anzahl der unterjähri- gen Zinsperioden und m Anzahl der gleichlangen Zinsperioden pro Jahr)

1

5

5 100

1 4 500 .

6 



 



 +

=

K Kapitalwert übliche Verzinsung für 5 Jahre 1

15

15 3 100

1 4 500 .

6 



 



 + ⋅

=

K Kapitalwert unterjährige Verzinsung 5 Jahre,

=3

m und k=15 1

39 , 100 20

1 4 300

1 4 500 . 6

5 15

=











 



 



 +

−



 



 + € Berechnung zusätzlicher Kapitalwert 2

4.2 ⁶⁰

60 12 100

1 4 500 .

6 



 



 + ⋅

=

K Kapitalwert unterjährige Verzinsung 5 Jahre,

=12

m und k=60 1

23 , 100 28

1 4 1200

1 4 500 . 6

5 60

=











 



 



 +

−



 



 + € Berechnung zusätzlicher Kapitalwert 2

4.3 i_eff =

(

¹+ir

)

^m−¹ mit

100

r = nom⋅ m

i p Effektiver Jahreszins, vgl. Formelsammlung, Ab- schnitt 8.4 (m Anzahl der gleichlangen Zinsperio- den pro Jahr, p_nom Jahreszinssatz)

eff 100

eff=i ⋅

p Effektiver Zinssatz 1

Teilaufgabe 4.1:

% 054 , 4 100 300 1

1 4

3

ff ⋅ =









  −



 



 +

e =

p Berechnung für m=3 2

Teilaufgabe 4.2:

% 074 , 4 100 1200 1

1 4

12

eff ⋅ =



  −



 



 +

=

p Berechnung für m=12 2

(9)

Lösung 5

vgl. SB 2; Kap. 2.6

12 Punkte

5.1

0 1 2 3 4 5 6

100000 160000

80000 165000

290000

je 1, max.

3

5.2

n n

q K0 = K mit

1 100p

q= + Barwert nach n Zinsperioden, vgl. Formelsammlung,

Abschnitt 8.2 1

Barwert Angebot 1:

19 , 364 . 05 225

, 1

000 . 000 160 .

100 ₅

bar = + =

K € Berechnen 1

Barwert Angebot 2:

20 , 533 . 05 222

, 1

000 . 000 165 .

80 3

bar = + =

K € Berechnen 1

Barwert Angebot 3:

47 , 402 . 05 216

, 1

000 . 290

bar = 6 =

K € Berechnen 1

5.3

1 100 mit

0q p

q K

K_n = ⁿ = + Formel für Kapitalwert, vgl. Formelsammlung, Ab- schnitt 8.2. Für die Kapital(end)wertberechnung sind die einzelnen Zahlungen entsprechend ihren Lauf- zeiten zu verzinsen.

1

Berechnen Kapitalwert Angebot 1:

90 , 931 . 292 04 , 1 000 . 160 04

, 1 000 .

100 ⁶

End = ⋅ + ⋅ =

K € 1

08 , 828 . 286 04

, 1 000 . 165 04

, 1 000 .

80 ⁶ ³

End = ⋅ + ⋅ =

K € 1

000 .

End =290

K € 1

5.4 Der größte Vorteil liegt im Angebot 1 (größter Barwert), das sollte gewählt werden. 1 Angebot 1:

Angebot 2:

Angebot 3:

(10)

Lösung 6

vgl. SB 3; Kap. 2.3

16 Punkte

6.1

1 ) 1 (

−

= ⋅ ⁿ_n q

q q

A S Annuität, vgl. Formelsammlung 10.2 1

1

1 A Z

T = − mit 



 



 +

⋅

= 100

1 6 000 .

1 50

Z Tilgung im 1. Jahr 1

Laufzeit 3n= :

49 , 705 . 15 000 . 3 49 , 705 . 18 06 , 0 000 . 1 50

06 , 1

) 1 06 , 1 ( 06 , 1 000 . 50

3 3

1 − ⋅ = − =

−

= ⋅

T € 2

Laufzeit 4n= :

57 , 429 . 11 000 . 3 57 , 429 . 14 06 , 0 000 . 1 50

06 , 1

) 1 06 , 1 ( 06 , 1 000 . 50

4 4

1 − ⋅ = − =

−

= ⋅

T € 2

Laufzeit 5n= :

82 , 869 . 8 000 . 3 82 , 869 . 11 06 , 0 000 . 1 50

06 , 1

) 1 06 , 1 ( 06 , 1 000 . 50

5 5

1 − ⋅ = − =

−

= ⋅

T € 2

6.2

−1

= ⁿ_n− ^j

j q

q Sq

S Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität, vgl.

Formelsammlung 10.2 1

Für die Bestimmung der Restschuld im vorletzten Jahr ist j=n−2 zu setzen. 1 Laufzeit 5n= :

04 , 762 . 1 21 06 , 1

06 , 1 06 , 0001 .

50 5

3 5

3 =

−

= −

S € 2

Laufzeit 6n= :

18 , 642 . 1 18 06 , 1

06 , 1 06 , 0001 .

50 6

4 6

4 =

−

= −

S € 2

Laufzeit 7n= :

24 , 421 . 06 16 , 1 06 , 0001 .

50 ⁷ − ⁵ =

=

S € 2