BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungStudienleistungKlausur-Knz.BW-WMT-S12–051105Datum05.11.2005

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-S12–051105 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung

Klausur-Knz. BW-WMT-S12–051105

Datum 05.11.2005

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend.

Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift ab- zufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täu- schungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 90 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 7 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 13 Punkte

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung

2 1 4 1

3 3 6

6

− = ⋅ + x

x .

Geben Sie die Lösung mit 3 Nachkommastellen an.

Aufgabe 2 12 Punkte

Die Inflationsrate p_inf gibt denjenigen Prozentsatz an, um den alle Preise in einem Jahr im Durchschnitt steigen.

Sie wird über einen Warenkorb und statistische Erhebungen in den Haushalten ermittelt.

Für den Zeitraum 1991 – 2002 (12 Jahre) wurde eine durchschnittliche jährliche Inflationsrate von

% 29 ,

inf =2

p ermittelt, d. h. im Jahr 1992 waren allen Preise im Durchschnitt um 2,29 % höher als im Jahre 1991, im Jahre 1993 um 2,29 % höher als im Jahre 1992, im Jahre 1994 um 2,29 % höher als im Jahre 1993 usw.

2.1 Mit welchem Ihnen bekannten mathematischen Begriff kann die Entwicklung der durchschnittlichen Inflationsrate über den Zeitraum 1991 – 2002 beschrieben werden?

Nennen Sie den Begriff und beschreiben Sie den Sachverhalt formelmäßig.

5 Pkte

2.2 Im Jahre 1991 kostete ein Produkt 5867,49 DM (3000,00 €). Wie viel Euro hätte man für dieses Produkt im Jahre 2002 ausgeben müssen, wenn von der oben beschriebenen durchschnittlichen jährlichen Inflationsrate p_inf =2,29% ausgegangen wird.

7 Pkte

Aufgabe 3 15 Punkte

Ermitteln Sie die Gleichung der quadratischen Funktion, die bei x=−1 eine Nullstelle besitzt und deren Graph durch die Punkte P₁(3,2) und P₂(0,−1) führt.

Aufgabe 4 13 Punkte

Gegeben ist die Funktion 16 2

)

(x x x

f = ⋅ − .

4.1 Bestimmen Sie den Definitionsbereich D der Funktion f(x). 4 Pkte

4.2 Untersuchen Sie die Funktion f(x) auf Symmetrie. 4 Pkte

4.3 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x). 5 Pkte

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Klausuraufgaben, Studienleistung 11/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-S12 – 051105 Seite 2/2

Aufgabe 5 16 Punkte

Ein Kapital K₀ wird 5 Jahre lang mit einer Verzinsung von 7,5 % p.a. angelegt (Verzinsung mit Zinseszins).

5.1 Zu welchem Jahreszinssatz p müsste das Kapital K₀ angelegt werden, wenn es nach 10 Jah- ren auf den gleichen Betrag angewachsen sein soll (gleiche Art der Verzinsung vorausge- setzt)?

Geben Sie den Zinssatz mit 2 Nachkommastellen an.

8 Pkte

5.2 Zu welchem Jahreszinssatz p müsste das Kapital K₀ bei einfacher Verzinsung angelegt werden, wenn es nach 10 Jahren auf den gleichen Betrag angewachsen sein soll wie bei der obigen 5-jährigen Verzinsung von 7,5 % p.a.?

Geben Sie den Zinssatz mit 2 Nachkommastellen an.

8 Pkte

Aufgabe 6 14 Punkte

Herr Mustermann möchte langfristig seine spätere staatliche Rente durch eine private Altersvorsorge ergänzen.

Welchen Betrag müsste er 40 Jahre jährlich nachschüssig sparen, um anschließend 20 Jahre vorschüssig über eine jährliche Rente von 24.000,00 € verfügen zu können.

Der Zinssatz in der Sparphase soll 5 % p.a. und in der Rentenphase 4 % p.a. betragen.

Aufgabe 7 17 Punkte

Ein Vater will seinen Sohn beim Bau eines Eigenheimes unterstützen, indem er ihm aus seiner privaten Altersvor- sorge 185.000,00 € bereitstellt. Er vereinbart mit dem Sohn eine Rückzahlung der Summe in 4 Jahren durch gleich große jährliche Tilgungsraten. Damit sein Kapital sich nicht entwertet, verlangt er außerdem 2,3 % Zinsen jährlich (mittlere Teuerungsrate).

Stellen Sie den Tilgungsplan für diese Ratentilgung gemäß nachstehender Vorlage auf und geben Sie die For- meln für die erforderlichen Berechnungen an.

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j

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Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 05.11.2005

Betriebswirtschaft BW-WMT-S12 – 051105

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine sum- marische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsse- lung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema erge- bende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Er- gebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu le- gen:

Punktzahl Ergebnis

von bis einschl.

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

23. November 2005

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüber- schreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzei- gen (Tel. 040 / 35094311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

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Korrekturrichtlinie, Studienleistung 11/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-S12 – 051105 Seite 1/5

Lösung 1

vgl. SB 1; Kap. 1.4.7

13 Punkte

Gleichung logarithmieren liefert

















⋅

=

− 2+

1 4 1

3 ln 3 6

6 ln

x

x (2 Pkte)

6 2 ln

1 3 4

ln 6 ln ) 1 3

( ⋅



 



 +

+

=

⋅

− x

x

Hinweis:

Die Verwendung des dekadischen Logarithmus log führt zum gleichen Ergebnis, die Punkte sind

dann entsprechend zu vergeben. (3 Pkte)

(

³ ¹

)

⁴ ₂ ¹ ^⋅^ln⁶⁼^ln³



 



 



 



 +

−

− x

x (2 Pkte)

3 ln 6 2 ln 2 1 1

3 ⋅ =



 



 x− − x− (1 Pkt)

6 ln

3 ln 2 3=



 



x− (2 Pkte)

6 ln

3 ln 2 3+

=

x (1 Pkt)

113 , 7917 2 , 1

0986 , 1 2

3+ ≈

=

x (2 Pkte)

Lösung 2

vgl. SB 1; Kap. 2.3

12 Punkte

2.1 Es handelt sich um eine geometrische Zahlenfolge. (2 Pkte)

Bei einer durchschnittlichen jährlichen Inflationsrate p_inf wird aus einem Preis P_n im Jahr n im Folgejahr der Preis

q P

P_n₊₁= _n⋅ , mit ) 1 100 ( p^inf

q= + und 1991≤n≤2001.

(3 Pkte)

2.2 Anwendung der Formel für eine geometrische Folge (Formelsammlung 6.3):

1⋅ −1

= ^k

k a q

a , mit k=1,2,K und Anfangswert a₁ (1 Pkt)

Mit den Zahlenwerten 00 , 000 .

1=3

a € (Preis 1991) (1 Pkt)

0229 , 100 1 1 ^inf =



 



 +

= p

q (2 Pkte)

=12

n (Zeitraum 1991 – 2002) (1 Pkt)

ergibt sich

45 , 848 . 3 0229 , 1

3000 ¹¹

1 11

12=a ⋅q = ⋅ =

a €. (2 Pkte)

(6)

Lösung 3

vgl. SB 1; Kap. 1.4.3

15 Punkte

Die allgemeine Form der Parabel lautet y=ax²+bx+c. Im Folgenden sind die Parameter a, b und c zu bestimmen.

(1 Pkt)

Die Funktion geht durch den Punkt P₁(3,2), daraus erhält man die Gleichung:

2 3

9a+ b+c= (I) (2 Pkte)

Die Funktion geht durch den Punkt P₂(0,−1), daraus erhält man die Gleichung:

−1

=

c (II) (2 Pkte)

Die Funktion hat eine Nullstelle bei P(−1,0), daraus erhält man die Gleichung:

=0 +

−b c

a (III) (2 Pkte)

Einsetzen von c=−1 in die Gleichungen (I) und (III) liefert 0

1 2 1 3 9

=

−

=

− +

b a

b

a bzw.

1 3 3 9

=

−

= +

b a

b

a . (2 Pkte)

Aus der zweiten Gleichung erhält man a=b+1. Setzt man dieses in die erste Gleichung ein, so erhält man:

2 6 1

12 3

3 9 9 3

3 ) 1 (

9b+ + b= ⇔ b+ + b= ⇔ b=− ⇔ b=− (3 Pkte)

Dann ist

2 1 1 2 1=−1+ = +

=b

a (2 Pkte)

Die Gleichung der Parabel lautet damit 2 1

1 2 1 ₂

−

= x x

y . (1 Pkt)

Lösung 4

vgl. SB 4; Kap. 1.1, 2.1 und 2.3

13 Punkte

4.1 Für den Ausdruck unter der Wurzel muss gelten:

0

16−x² ≥ . (1 Pkt)

Daraus folgt x² ≤16, also x∈[−4,4]. (2 Pkte)

Somit ist ^D⁼

{

^x^∈^R ⁻⁴^≤^x^≤⁴

}

oder auch ^D⁼

[

⁻⁴^,⁴

]

^. ^{(1 Pkt)}

4.2 Es ist der Funktionswert f(−x) zu betrachten.

) ( 16

) ( 16 )

( x x x ² x x² f x

f − =− ⋅ − − =− ⋅ − =− (3 Pkte)

Da )f(−x)=−f(x für alle x aus dem Definitionsbereich, ist die Funktion ungerade (vgl.

Formelsammlung 16.2), d. h. zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

(1 Pkt)

(7)

BW-WMT-S12 – 051105 Seite 3/5

4.3 Zur Bestimmung der Nullstellen muss man f(x)=0 setzen:

0 0

16− ² = ⇔ =

⋅ x x

x oder 16−x² =0. (2 Pkte)

Quadrieren von 16−x² liefert:

4

; 4 0

16−x² = ⇔ x₁= x₂ =− (2 Pkte)

Nullstellen sind somit: ^L⁼

{

⁰^,⁴^,⁻⁴

}

_{(1 Pkt)}

Lösung 5

vgl. SB 2; Kap. 1.2 und 1.3

16 Punkte

5.1 Es ist das Endkapital K_n in beiden Varianten der Verzinsung mit Zinseszins zu betrachten.

Für das Endkapital nach n Zinsperioden gilt (Formelsammlung 8.3)

n n

n p

K q K

K 



 



 +

⋅

=

⋅

= ₀ ₀ 1 100 . (1 Pkt)

Gleichsetzen beider Varianten mit den Ausgangswerten

5 0

10

0 100

5 , 1 7

1 100 



 



 +

⋅

=



 



 +

⋅ p K

K (2 Pkte)

10 5

075 , 100 1

1  =



 



 + p

(1 Pkt)

1 075 ,

100 1 ¹⁰

5

−

p = (2 Pkte)

% 68 , 3 100 1 075 ,

1 ¹⁰

5

=

⋅















−

=

p (2 Pkte)

5.2 Es ist das Endkapital K_n in den Varianten der verschiedenen Verzinsungen zu betrachten.

Endkapital nach n Zinsperioden bei einfacher Verzinsung gilt (Formelsammlung 8.2):

) 1

0 ( n i K

K_n = ⋅ + ⋅ mit 100

i= p . (1 Pkt)

Gleichsetzen beider Verzinsungsarten mit den Ausgangswerten

5 0

0 100

5 , 1 7 10 100

1 



 



 +

⋅

=



 



 + ⋅

⋅ p K

K (2 Pkte)

0755

, 10 1

1 =



 



 + p

(2 Pkte) 1

075 , 10 1

5 − p =

(1 Pkt)

% 36 , 4 10 ) 1 075 , 1

( ⁵− ⋅ =

=

p (2 Pkte)

(8)

Lösung 6

vgl. SB 2; Kap. 2.2 und 2.3

14 Punkte

Zunächst ist der Barwert R₀der vorschüssigen über 20 Jahre laufenden Jahresrente von 24.000 € zu bestimmen.

Der Barwert ergibt sich zu (Formelsammlung 9.2):

1 1

0 1 −

⋅ −

= ₋ q q q

R r ⁿ

n , mit

1 100p

q= + . (1 Pkt)

Einsetzen von r=24.000,00€, 20n= und 1,04 100 1 4

1 100 =



 



 +

=



 



 +

= p

q liefert (3 Pkte)

55 , 214 . 04 339

, 0

1 04 , 1 04 , 1

000 .

24 ²⁰

0 = 19 ⋅ − =

R € (2 Pkte)

Dieser Betrag muss durch eine über 40 Jahre laufende nachschüssige Jahresrente aufgebracht werden, er entspricht dem Rentenendwert R_n dieser nachschüssigen Rente.

(2 Pkte) Für die Rentenrate gilt (Formelsammlung 9.1):

1 ) 1 (

−

= ⁿ_n − q

q

r R , mit

1 100p

q= + . (1 Pkt)

Einsetzen von R_n =339.214,55 €, n=40 und 1,05 100 1 5

1 100 =



 



 +

=



 



 +

= p

q liefert (3 Pkte)

07 , 808 . 1 2

05 , 1

05 , 0 55 , 214 . 339

40 =

−

= ⋅

r €. (2 Pkte)

Lösung 7

vgl. SB 3; Kap. 2.2

17 Punkte

Für die Ratentilgung ergeben sich folgende Werte (Formelsammlung 10.1)

Laufzeit 4n= (1 Pkt)

Schuldsumme 00S₀ =185.000, € (1 Pkt)

Zinssatz %p=2,3 (1 Pkt)

Zinsrate 0,023 100=

= p

i (1 Pkt)

Tilgungsrate 46.250,00

4 000 .

0 =185 =

=

= n

T S

T _j € (2 Pkte)

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität S_j =S0− j⋅T , mit j=1,K,4 (1 Pkt) Zinsen der j-ten Periode ^Zj =

[

^S0−(^j−1)⋅^T

]

⋅ⁱ=^Sj₋1⋅ⁱ, mit j=1,K,4 (1 Pkt) Annuität der j-ten Periode A_j =T +Z_j, mit j=1,K,4 (1 Pkt)

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BW-WMT-S12 – 051105 Seite 5/5

Mit diesen Werten und Formeln ergibt sich der folgende Tilgungsplan (in Euro):

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j

1 185.000,00 4.255,00 46.250,00 50.505,00 (2 Pkte)

2 138.750,00 3.191,25 46.250,00 49.441,25 (2 Pkte)

3 92.500,00 2.127,50 46.250,00 48.377,50 (2 Pkte)

4 46.250,00 1.063,75 46.250,00 47.313,75 (2 Pkte)