BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BW-WMT-P12–031220Datum20.12.2003

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–031220 Studiengang

Betriebswirtschaft

Fach

Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur-Knz.

BW-WMT-P12–031220

Datum

20.12.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 6 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 insg. 5 Punkte

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion x x

x x

f( )=ln ³+3 ²×e² , ^D⁼

{

^x^Î^R ^x^>⁰

}

^.

Aufgabe 2 insg. 9 Punkte

Ein Unternehmen, dass nur einen Artikel produziert, hat die Kostenfunktion K(x)=0,2x² +2x+20 sowie die Preis-Absatz-Funktion p(x)=32-0,3x. Es wird ein vollständiger Absatz der hergestellten Artikel vorausgesetzt.

Bei welcher Ausbringungsmenge x erzielt das Unternehmen den maximalen Gewinn.

Aufgabe 3 insg. 13 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des GAUß-Algorithmus den Lösungsvektor xr des linearen Gleichungssystems b

xr= r

A ,

mit

÷÷

÷ ø ö çç ç è æ

= 8 6

3 2

2 2

A und

÷÷

÷ ø ö çç ç è æ - -

= 2 1 0 br

.

Aufgabe 4 insg. 20 Punkte

Wie groß ist der Flächeninhalt A (in Flächeneinheiten FE) des Flächenstücks, das im Intervall

[

^-²^,²

]

^zwischen

dem Graphen der Funktion f(x)=x³-x und der x-Achse liegt.

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-P12–031220 Seite 2/2

Aufgabe 5 insg. 27 Punkte

Ein Fahrradhersteller produziert zwei Fahrradvarianten. Die Preis-Absatz-Funktionen der Varianten lauten x

x

p₁( )=1800-12,5 bzw. p₂(y)=2000-10y. Die Kostenfunktion hängt von x und y in der folgenden Art ab:

( )

^x^,^y ⁼¹⁵^xy⁺⁹⁵⁰^x⁺¹⁰⁵⁰^y⁺²⁵⁰⁰

K .

Bestimmen Sie x und y so, dass der Gewinn des Fahrradherstellers maximiert wird.

Aufgabe 6 insg. 26 Punkte

Ein Unternehmen stellt die beiden Produkte P₁ und P₂ auf den Maschinen M₁, M₂ und M₃ her.

Im Laufe eines Monats steht Maschine M₁ höchstens 300 Stunden, M₂ höchstens 75 Stunden und M₃ höchs- tens 120 Stunden zur Verfügung.

Die Fertigstellung einer Mengeneinheit von P₁ verlangt auf Maschine M₁ eine Bearbeitungszeit von 5 Stunden, zusätzlich benötigt man auf M₃ 4 Stunden; M₂ wird zur Herstellung von P₁ nicht benötigt.

Für eine Mengeneinheit des Produktes P₂ lauten die entsprechenden Bearbeitungszeiten: 10 Stunden auf Ma- schine M₁, 3 Stunden auf M₂ und 2 Stunden auf M₃.

Für ein Produkt ist es unerheblich, in welcher Reihenfolge es auf den einzelnen Maschinen bearbeitet wird.

Der Stückgewinn für Produkt P₁ beträgt 200 € und für P₂ 300 €.

Wie viel Einheiten der beiden Produkte sollte das Unternehmen in einem Monat herstellen, um seinen Gewinn zu maximieren?

6.1 Stellen Sie für die Aufgabenstellung das mathematische Modell, bestehend aus

· Zielfunktion

· Restriktionsungleichungen und

· Nichtnegativitätsbedingungen (NNB) auf.

10 Pkte

6.2 Lösen Sie die Aufgabe graphisch. 16 Pkte

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Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 20.12.2003

Betriebswirtschaft BW-WMT-P12 – 031220

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

· Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht ges- tattet.

· Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

· Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

· Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weite- ren Abzug.

· Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

· Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

· Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-P12–031220 Seite 1/6

Lösung 1 vgl. SB 5, Kap. 2 insg. 5 Punkte

x x

f( )=ln ³+3 ²×e²

Anwendung von Summen-, Produkt- und Kettenregel ergibt:

x x z x

x

z 3

1 3

ln ²

3

3 Þ ¢= × =

= (Kettenregel) (2 Pkte)

(

⁶ ^e ³ ^e ²

)

e

3 ²× ² Þ ¢= × ² + ²× ² ×

= x ^x g x ^x x ^x

g (Produktregel) (2 Pkte)

( )

^x _x

(

^x ^x ^x ^x

)

f 3 6 e² 6 ²e² + +

¢ =

( )

^x _x ^e

( )

^x ^x

f¢ = 3+6 ²^x ²+ (1 Pkt)

Lösung 2 vgl. SB 5, Kap. 3.3 insg. 9 Punkte

Für die Gewinnfunktion gilt:

( ) ( ) ( )

^x ^E ^x ^K ^x

G = - , wobei ^E

( )

^x die Erlösfunktion ist. (1 Pkt)

Die Erlösfunktion ergibt sich zu:

( ) ( )

^x ^p ^x ^x

(

³² ⁰^,³^x

)

^x ³²^x ⁰^,³^x²

E = × = - = - (2 Pkte)

Daraus folgt für die Gewinnfunktion:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 30 5

, 0

20 2 2 , 0 3 , 0 32

2

2 2

- + -

=

+ + -

-

= -

=

x x

x x x

x x K x E x G

(2 Pkte) Bildung der 1. Ableitung von ^G

( )

^x ^:

30 )

( =- +

¢ x x

G (1 Pkt)

Maximum liegt vor für G¢(x)=0 und G¢¢<0: 30 30

0 0

)

( = Þ =- + Þ =

¢ x x x

G (2 Pkte)

Da G¢¢(x)=-1<0 für alle x, folgt, dass die Gewinnfunktion für x=30 ein Maximum annimmt. (1 Pkt)

(6)

Lösung 3 vgl. SB 6, Kap. 2.2 insg. 13 Punkte

Bildung der erweiterten Matrix

( )

^A^,^b^r ^:

( )

÷÷÷

ø ö çç

ç è æ

- -

=

2 1 0 8 3 2 6 2 2 ,br

A . (1 Pkt)

Ausführung elementarer Zeilenoperationen (Umformung in eine Dreiecksmatrix):

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- - Þ

÷ -

÷÷ ø ö çç

ç è æ

- -

2 1 0 8 1 2 6 0 2 I

II 2 1 0 8 3 2 6 2 2

(3 Pkte)

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- - Þ

÷ -

÷÷ ø ö çç

ç è æ

- -

2 1 0 2 1 2 0 0 2 3I

III 2 1 0 8 1 2 6 0 2

(3 Pkte)

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- Þ

÷ -

÷÷ ø ö çç

ç è æ

- -

0 1 0 0 1 2 0 0 2 2II

III 2 1 0 2 1 2 0 0 2

(Dreiecksmatrix) (3 Pkte)

Somit ergibt sich 1 0 2 2

2 2 1

-

=

= +

x x

x (1 Pkt)

Einsetzen von x₂ =-1 in die obere Gleichung ergibt x₁=1. (1 Pkt) Als Lösungsvektor ergibt sich somit

÷÷øö ççèæ

= - 1

xr 1 . (1 Pkt)

Lösung 4 vgl. SB 7, Kap. 4.1.1 insg. 20 Punkte

( )

³

(7)

BW-WMT-P12–031220 Seite 3/6

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt dann (vgl. Formelsammlung, 20.5):

( ) _ò ( ) _ò ( ) _ò ( )

ò

^- ⁺ ^- ⁺ ^- ⁺ ^-

=

- -

-

2 1 1 3

0 0 3

1 1 3

2

3 x dx x x dx x x dx x x dx

x

A . (4 Pkte)

Integration von ^f

( )

^x ^:

( )

^x³^-^x ^d^x⁼ ^x₄⁴ ^- ^x₂² ⁼^x⁴^-₄²^x²

ò

^. ^{(3 Pkte)}

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt:

2 1 2 1 4

0 2 0 4

1 2 1 4

2 2 4

4 2 4

2 4

2

úú û ù êê

ë

é -

ú + úû ù êê

ë

é -

ú + úû ù êê

ë

é -

ú + úû ù êê

ë

é -

=

- -

-

x x x

x x

A x (2 Pkte)

÷ø ç ö èæ- - + - -

÷ + ø ç ö èæ- - + - -

= 4

1 4 0 8 4 1 4

0 1 4 8 4 A 1

(4 Pkte) 4 5

20 4 9 4 1 4 1 4

9 + + - + = =

-

=

A (2 Pkte)

Der Flächeninhalt beträgt 5 FE.

Alternative Lösung zur Berechnung des Flächeninhaltes (nach Nullstellenberechnung):

( )

^x

f ist ungerade Funktion

(

^f

( )

^-^x ⁼^-^f

( )

^x

)

, die symmetrisch zum Ursprung liegt. Für symmetrisch zur Null liegende Grenzen a gilt

ò

×

=

a

x x f A

0

d ) (

2 . (2 Pkte)

Durch die Ausnutzung dieser Symmetrieeigenschaft ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt zu:

( ) _ò ( )

ò

^- ⁺ ^× ^-

×

=

2 1 1 3

0

3 d 2 d

2 x x x x x x

A (2 Pkte)

Integration von ^f

( )

^x ^:

( )

^x³^-^x ^d^x⁼ ^x₄⁴ ^- ^x₂² ⁼^x⁴^-₄²^x²

ò

^. ^{(3 Pkte)}

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt:

2 1 2 1 4

0 2 4

4 2 2

úú û ù êê

ë

é -

× ú + úû ù êê

ë

é -

×

= x x x x

A (2 Pkte)

÷ø ç ö èæ- -

× + - -

×

= 4

1 4 2 8 4 0

2 1

A (4 Pkte)

4 5 20 4 2 9 4

2× -1 + × = =

=

A (2 Pkte)

Der Flächeninhalt beträgt 5 FE.

(8)

Lösung 5 vgl. SB 9, Kap. 1.4 insg. 27 Punkte

Für die Gewinnfunktion gilt:

( ) ( ) ( )

^x ^y ^E ^x ^y ^K ^x ^y

G , = , - , , wobei ^E

( )

^x^,^y die Erlösfunktion ist. (1 Pkt)

Die Erlösfunktion ergibt sich zu:

( ) ( )

2 2

2 1

10 2000 5

, 12 1800

10 2000 5

, 12 1800

) ( ,

y y x

x

y y x

x y y p x x p y x E

- +

-

=

- +

-

=

× +

×

= (2 Pkte)

(1 Pkt) (1 Pkt) Daraus folgt für die Gewinnfunktion:

( ) ( ) ( )

( ) ⁽ ⁾

2500 15

950 850 10

5 , 12

2500 1050

950 15

10 2000 5

, 12 1800

, ,

,

2 2

- - + + -

-

=

+ +

+ -

- +

-

=

-

=

xy y x y

x

y x

xy y

y x

x

y x K y x E y x G

(2 Pkte) (1 Pkt) Bilden der partiellen Ableitungen:

y x

G_x =-25 +850-15 x y

G_y =-20 +950-15 -25

xx =

G , G_yy =-20 -15

=

= _yx

xy G

G

(1 Pkt) (1 Pkt) (2 Pkte) (2 Pkte) Bestimmung der stationären Punkte durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen 1. Ordnung:

0 15 850

25 + - =

-

= x y

G_x

0 15 950

20 + - =

-

= y x

G_y

Lösung des Gleichungssystems:

950 20 15

850 15 25

= +

y x

) II (

) I

( (1 Pkt)

(1 Pkt)

Aus (II) folgt y y

x 5

34 3 25

15

850- = -

= . (2 Pkte)

Einsetzen in (I) liefert

950 5 20

34 3

15 ÷+ =

ø ç ö

è

æ - y y

(9)

BW-WMT-P12–031220 Seite 5/6

Lösung 6 vgl. SB 10, Kap. 1 insg. 26 Punkte

6.1 10 Pkte

Bezeichnet man die unbekannten Mengen der herzustellenden Produkte P₁ und P₂ mit den Variablen x₁ und x₂, so lautet das mathematische Modell:

I. Zielfunktion:

Max!

300

200 ₁+ ₂ ®

= x x

Z (2 Pkte)

II. Restriktionsungleichungen 300 10

5x₁+ x₂£ (1)

75

3x₂£ (2)

120 2

4x₁+ x₂£ (3)

(2 Pkte) (2 Pkte) (2 Pkte) III. NNB

1³0

x , x₂ ³0 (2 Pkte)

6.2 Graphische Lösung: 16 Pkte

Umformung von (1) bis (3) in Restriktionsgleichungen (Restriktionsgeraden) liefert 2 30

1 1 2=- x +

x

( )

g1

2=25

x

( )

g2

60 2 ₁

2=- x +

x

( )

g3

(2 Pkte) (2 Pkte) (2 Pkte) (Die Restriktionsungleichungen beschreiben Halbebenen die jeweils unterhalb der

Restriktionsgeraden liegen einschließlich der Restriktionsgeraden selbst.) Die NNB x₁³0 und x₂ ³0 lassen sich ebenfalls als Halbebenen deuten.

(10)

Die Schnittmenge der Halbebenen bildet den Bereich der zulässigen Lösungen (zulässiger Bereich)

x2

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60

x1

Die Isoproduktionsgerade für allgemeines Z lautet:

300 3

2 1

2 Z

x

x =- + .

Für Z =6000 erhält man beispielweise die Gerade 3 20

2 1 2=- x +

x .

Diese Gerade verschiebt man solange nach rechts oben, bis sie nur noch einen gemeinsamen Punkt mit dem zulässigen Bereich hat. Die Koordinaten dieses Punktes sind (20, 20), so dass das Produktionsprogramm von 20 Mengeneinheiten von P₁ und 20 Mengeneinheiten von

P2 optimal die Maschinenressourcen nutzt.

(2 Pkte) g₁

g₂ g₃

Z = 6000

(je Gerade 2 Pkte, max. 6 Pkte;

zulässiger Bereich 2 Pkte)

BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BW-WMT-P12–031220Datum20.12.2003