BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BW-WMT-P12–050611Datum11.06.2005

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–050611 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WMT-P12–050611

Datum 11.06.2005

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 7 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 insg. 9 Punkte

Die Grenzkostenfunktion eines Unternehmens lautet

( )

⁼³ ²⁻⁸ ⁺⁸

′ x x x

K , wobei x∈R,x>0.

Bestimmen sie die Gesamtkostenfunktion ^K

( )

^x und die Stückkostenfunktion ^k

( )

^x , wenn für eine Produktions- menge von x=10 die Gesamtkosten 744 GE (Geldeinheiten) betragen.

Aufgabe 2 insg. 12 Punkte

Gegeben sind die Matrizen

















−

=

0 2 4

2 2 6

2 0 4

A und 

 



−

= 8 2 10

4 6

B 2 .

Berechnen Sie die folgenden Matrixprodukte, wo dies möglich ist; andernfalls begründen Sie, warum dies nicht möglich ist.

(1) AB

(2) A^TB

(3) BA

Aufgabe 3 insg. 13 Punkte

Wie Ihnen bekannt ist, liefert der GAUßsche Algorithmus nicht nur die Lösungen eines linearen Gleichungssystems (LGS), sondern auch Informationen über die Lösbarkeit des LGS.

3.1 Welche Lösungsmöglichkeiten können bei einem LGS auftreten? 3 Pkte

3.2 Welche Lösungsmöglichkeit tritt bei folgendem LGS auf? 10 Pkte

20 10

6 4

2 2

2 4

6 2

2 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

−

=

− +

−

= +

+

−

=

− +

x x

x

x x

x

x x

x

(3)

BW-WMT-P12–050611 Seite 2/3

Aufgabe 4 insg. 14 Punkte

Gegeben ist die Funktion

ax

xb

k x

f( )= ⋅ ⋅e

mit den Parametern a∈Z, b∈Z und k∈R,k>0.

4.1 Bestimmen Sie die Elastizitätsfunktion

( ) ( )

^x ^x

f x

x f

f_, = ′ ⋅

ε der Funktion ^f

( )

^x ^. ^{8 Pkte}

4.2 Zu welcher Funktionsklasse gehört ε_f_,_x^? ^{2 Pkte}

4.3 Ist ε_f_,_x >1, so bezeichnet man f an den betreffenden Stellen als elastisch; ist dagegen

,_x <1

εf , so heißt f an diesen Stellen unelastisch.

Welche Art von Elastizität liegt für die Funktion f₁(x)=x⁻¹⋅e²^x im Intervall

{

^∈ ⁰^< ^<¹

}

= x x

I R vor?

4 Pkte

Aufgabe 5 insg. 24 Punkte

Ein Unternehmen stellt aus einem Rohstoff R ein Produkt XXL her.

Für einen Output x – gemessen in Tausend Stück (TStück) – benötigt es eine Einsatzmenge r des Rohstoffes R – gemessen in Tonnen (t) – mit folgendem funktionellen Zusammenhang

576 50 ) (

2

+

=

= x

x r

r mit x>0.

Den Rohstoff R kauft das Unternehmen zu einem Preis von 72 € pro Tonne ein.

Das Produkt XXL hat eine Nachfragefragefunktion von p

p x

x= ( )=333−0,5 ,

wobei p (in €/TStück) der variable Preis des Produktes XXL am Markt ist.

5.1 Bei welchem Output x_E erreicht das Unternehmen minimale Rohstoffkosten pro Stück? 10 Pkte 5.2 Bei welchem Marktpreis p_E erreicht das Unternehmen einen Maximalgewinn? 14 Pkte

Hinweise:

Berechnen Sie bitte die Mengen und Preise mit 2 Nachkommastellen.

Für die (Gesamt-)Rohstoffkosten gilt:

ge Einsatzmen eis

Einkaufspr sten

Rohstoffko = ⋅ .

(4)

Aufgabe 6 insg. 13 Punkte

Gegeben ist die Funktion ^f

( )

^x^, ^y ⁼⁻¹⁵^x²⁺⁷⁵⁰^x⁻²⁵^xy⁻²⁵^y² ⁺¹³²⁵^y⁻²⁴⁵⁰ mit dem Definitionsbereich

{ ( )

^∈^R ^∈^R

}

= x y x y

D , , .

Untersuchen Sie diese Funktion auf Extrema.

Aufgabe 7 insg. 15 Punkte

So genannte „logistische Funktionen“ der Form b ct

t a B

B= = + ⋅ −

e ) 1

( (t≥0,a>0,b>0,c>0)

beschreiben den Bestand an technischen Gebrauchsgütern in einer Region in Abhängigkeit von der Zeit t als un- abhängige Veränderliche (gemessen in Jahren). Dabei sind a, b und c angemessen zu wählende Konstanten.

Zum Beispiel sei für ein Gebrauchsgut G folgende (logistische) Funktion bekannt

( )

^t _t

B = + ⋅ −

e 2 1

5

G , wobei t∈R,t≥0.

7.1 Stellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion B_G(t) auf (Angabe der Funktionswerte mit zwei Nachkommastellen).

Verwenden Sie als Argument t die ganzen Zahlen aus dem Intervall

[ ]

⁰^,⁶ ^.

Skizzieren den Graph der Funktion B_G(t) in diesem Intervall.

8 Pkte

7.2 Hat die Funktion B_G(t) Nullstellen? 3 Pkte

7.3 Wie verhält sich die Funktion B_G(t) für t→∞? 4 Pkte

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–050611

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 11.06.2005

Betriebswirtschaft BW-WMT-P12 – 050611

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 29. Juni 2005

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040/35094- 311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(6)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 5, Kap. 1 und SB 7, Kap. 1.1

insg. 9 Punkte

Die Grenzkosten sind die 1. Ableitung der Kostenfunktion, also

∫

^′ ⁺

= K x x C

x

K( ) ( )d . (1 Pkt)

(

^x ^x

)

^x ^C

x

K⁽ ⁾=

∫

³ ² −⁸ +⁸ ^d + C x x x x

K( )= ³ −4 ²+8 + (2 Pkte)

Für 10x= betragen die Gesamtkosten 744 GE, d.h. es gilt K(10)=744. (1 Pkt) Damit ergibt sich

64 774 680

774 80

400 1000

774 10

8 10 4

10³ ²

=

= +

= + +

−

= +

⋅ +

⋅

−

C C C C

(2 Pkte) Also ist

64 8 4 )

(x =x³ − x²+ x+

K . (1 Pkt)

Die Stückkostenfunktion ^k

( )

^x ergibt sich zu

( ) ( )

² ₄ ₈ ⁶⁴_.

x x x x

x x K

k = = − + +

(2 Pkte)

Lösung 2

vgl. SB 6, Kap. 1.6

insg. 12 Punkte

(1) AB ist nicht möglich, da Spaltenzahl von A (3) ungleich der Zeilenzahl von B (2) ist. (2 Pkte) (2) A^TB ist nicht möglich, da Spaltenzahl von A^T (3) ungleich der Zeilenzahl von B (2) ist. (2 Pkte) (3) BA ist möglich, da Spaltenzahl von B (3) gleich der Zeilenzahl von A (3) ist. (2 Pkte)

Anwendung des FALKschen Schemas:



 



 −

⇒ =

−

20 16 84

8 4 44

20 16 84 10 2 8

8 4 44 4 6 2

0 2 4

2 2 6

2 0 4

BA (6 Pkte)

(7)

BW-WMT-P12–050611 Seite 2/8

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 2

insg. 13 Punkte

3.1 • eine eindeutige Lösung (1 Pkt)

• unendlich viele Lösungen (1 Pkt)

• keine Lösung (das LGS ist unlösbar) (1 Pkt)

3.2 Anwendung des GAUßschen Algorithmus liefert:

2 : 20 10 6 4

2 2 2 4

6 2 2 2

















−

4I III

4I II 20 10 6 4

2 2 2 4

3 1 1 1

−

 −















−

(2 Pkte)

II III 8 6 2 0

10 6 2 0

3 1 1 1

 +















−

(4 Pkte)

















−

− 2 0 0 0

10 6 2 0

3 1 1 1

(2 Pkte)

Aus der 3. Zeile folgt:

2 0

2 0 0

0 ₁ ₂ ₃

=

= +

+ x x

x

(1 Pkt)

Damit liegt ein Widerspruch vor, das LGS ist unlösbar. (1 Pkt)

Lösung 4

vgl. SB 5, Kap. 3.6

insg. 14 Punkte

4.1 Für die Elastizitätsfunktion ε_f_,_x gilt (vgl. Formelsammlung 20.7):

( ) ( )

^x ^x

f x f

x

f_, = ′ ⋅

ε ^.

Bilden der 1. Ableitung unter Verwendung der Produktregel:

( )

^x ⁼^k^⋅^x^b ^⇒ ^u^′

( )

^x ⁼^k^⋅^bx^b⁻¹

u (1 Pkt)

( )

^x ^ax ^v

( )

^x ^a ^ax

v =e ⇒ ′ = e (1 Pkt)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^x ^u ^x ^v ^x ^u ^x ^v ^x

f′ = ′ ⋅ + ⋅ ′ (1 Pkt)

( ) ( )

(

^bx ^a

)

x f

a bx kx

a kx kbx

x f

ax b

ax b ax b

+

⋅

=

+

=

⋅ +

⋅

′ =

−

1 1 1

) (

e

e e

(3 Pkte)

(8)

Somit ist

( ) ( )

( ( ) )

ax b

x a bx

x x f

a bx x f

x x f

x

x f

f

+

=

⋅ +

=

+ ⋅

= ⋅

′ ⋅

=

−

− 1

1

ε ,

(2 Pkte) 4.2 Die Elastizitätsfunktion ε_f_,_x ist eine lineare Funktion. (2 Pkte) 4.3 Die Funktion f₁(x)=x⁻¹⋅e²^x ist eine spezielle Form der in Teilaufgabe 4.1 untersuchten

Funktion f(x)=k⋅x^b⋅e^ax mit 1k= , 1b=− und a=2.

(1 Pkt) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 4.1 ergibt sich

1

, 2

1 _x = x−

εf ^.

(1 Pkt) Für alle x∈I mit ^I ⁼

{

^x^∈^R ⁰^<^x^<¹

}

^gilt

,x <1

εf ^.

(Überprüfung durch Wertetabelle oder Skizze).

(1 Pkt)

Damit ist f₁(x) im Intervall I unelastisch. (1 Pkt)

Lösung 5

vgl. SB 4, Kap. 2.4 und SB 5, Kap. 2.5

insg. 24 Punkte

5.1 Rohstoffkosten=Einkaufspreis⋅Einsatzmenge

( )

^x ^r

( )

^x

K =72⋅ (1 Pkt)

( )

8 3600 576 50 72

2 2

+

=











 +

⋅

= x x x K

(2 Pkte) Damit ergeben sich folgende Rohstoffkosten pro Stück:

x x x

x x K

k 3600

8 ) ) (

( = = + . (1 Pkt)

Bilden der 1. Ableitung von ^k

( )

^x ^:

( )

₈¹ ³⁶⁰⁰₂

x x

k′ = − (1 Pkt)

(9)

BW-WMT-P12–050611 Seite 4/8

Notwendige Bedingung für Extremum ist k′

( )

xE =⁰.

71 , 169

28800 28800 3600 8

1 3600 0 8

1

2 2 2

=

−

x x x

x x

(wegen 0x> ist x=−169,71 nicht möglich) (3 Pkte)

Hinreichende Bedingung für Extremum ist k′′

( )

xE ≠⁰.

( )

⁷²⁰⁰₃

x x

k′′ = . (1 Pkt)

Da ^′′

( )

⁼⁷²⁰⁰₃ ^>⁰

x x

k für alle x>0 liegt bei einem Output von x_E =169,71 TStück ein Mi-

nimum der Rohstoffkosten pro Stück vor. (1 Pkt)

5.2 Gewinn=Erlös−Kosten (vgl. Formelsammlung 16.13) )

( ) ( )

(x E x K x

G = − (1 Pkt)

Kostenfunktion (Herleitung siehe Teilaufgabe 5.1):

( )

^x ⁼ ^x₈² ⁺³⁶⁰⁰

K

Hinweis:

Sollten Studierende die Teilaufgabe 5.1 nicht bearbeitet haben, so sind für die korrekte Her- leitung der Kostenfunktion zusätzlich 3 Punkte zu vergeben.

Für die Erlösfunktion (vgl. Formelsammlung 16.13) gilt

( )

^x ^x ^p^(x⁾

E = ⋅ , (1 Pkt)

wobei ^p

( )

^x die Umkehrfunktion der gegebenen Nachfragefunktion ^x

( )

^p ^ist. ^{(1 Pkt)}

Umstellen von ^x

( )

^p nach p liefert:

x x

p

x p

p x

2 666 ) (

2 666 333 5

, 0

5 , 0 333

−

=

−

=

−

=

−

=

(2 Pkte) Damit ergibt sich die Erlösfunktion ^E

( )

^x ^zu

2 2

666

) 2 666 ( ) (

x x

x E

−

=

−

⋅

=

(1 Pkt)

(10)

Somit ist

8 3600 666 17

8 3600 2

666

) ( ) ( ) (

2 2 2

−

=











 +

−

=

−

=

x x

x x x

x K x E x G

(2 Pkte) Bilden der 1. Ableitung von ^G

( )

^x ^:

( )

^x ^x

G 4

666−17

′ = (1 Pkt)

Notwendige Bedingung für Extremum ist G′

( )

xE =⁰.

71 , 156 4 666 17

4 666 17 0

=

−

=

x x

x

(1 Pkt) Hinreichende Bedingung für Extremum ist ^G^′′

( )

^x ^≠⁰^.

( )

⁼⁻¹⁷₄

′′ x

G (1 Pkt)

Da ^G^′′

( )

^x ⁼⁻¹⁷₄ ^<⁰^{für alle}^x^>⁰ liegt bei einem Output von x_E =156,71 TStück ein Ma-

ximum des Gewinns vor. (1 Pkt)

Mit der Nachfragefunktion p(x)=666−2x bestimmt sich der zu x_E korrespondierende Marktpreis p_E wie folgt:

58 , 352

42 , 313 666

2 666 )

( _E _E

E

=

−

=

−

=

= p x x

p

(2 Pkte) Mit einem Marktpreis von p_E =352,58 €/TStück wird ein maximaler Unternehmensgewinn

erzielt.

Für die Teilaufgabe 5.2 ist auch der folgende (etwas umfangreichere) alternative Lösungs- weg möglich:

Kosten Erlös

Gewinn= − (vgl. Formelsammlung 16.13) )

( ) ( )

(x E x K x

G = − (1 Pkt)

Die Größen G(x), )E(x und ^K

( )

^x werden als hier Funktionen des Preises p betrachtet:

)) ( ( ) ( )

(p E p K x p

G = − . (1 Pkt)

(11)

BW-WMT-P12–050611 Seite 6/8

Hinweis:

Sollten Studierende die Teilaufgabe 5.1 nicht bearbeitet haben, so sind für die korrekte Her- leitung der Kostenfunktion zusätzlich 3 Punkte zu vergeben.

Mit der gegebenen Nachfragefunktion x(p) ergibt sich für die Erlösfunktion (vgl. Formel- sammlung 16.3):

p p x p

E( )= ( )⋅ (1 Pkt)

5 2

, 0 333

) 5 , 0 333 ( ) (

p p

p p p

E

−

=

⋅

−

=

(1 Pkt) Für die Kostenfunktion erhält man:

( ) ( ) ( )

₃₆₀₀

8 5 , 0 3600 333

8 ) ) (

(

2 2

− +

= +

= x p p

p x

K (2 Pkte)

Somit ergibt sich

( )

8 139689 8

2997 32

17

8 28800 110889

8 333 2664 32

17

32 3600 8

333 8

333 2

333 1

8 3600 ) 5 , 0 333 5 (

, 0 333

)) ( ( ) ( ) (

2 2

2 2 2

2 2

− +

−

=



 



 +

+ − +

−

=

−

− +

−

=

− −

−

=

−

=

p p

p p p

p p p p

p x K p E p G

(3 Pkte) Bilden der 1. Ableitung von ^G

( )

^p ^:

( )

⁼⁻₁₆¹⁷ ⁺ ²⁹⁹⁷₈

′ p p

G (1 Pkt)

Notwendige Bedingung für Extremum ist G′

( )

pE =⁰.

58 , 352

17 16 8 2997

8 2997 16

17

8 2997 16

0 17

=

⋅

=

+

−

=

p p p

p

(2 Pkte) Hinreichende Bedingung für Extremum ist ^G^′′

( )

^p ^≠⁰^.

( )

⁼⁻₁₆¹⁷

′′ p

G (1 Pkt)

Da ^G^′′

( )

^p ⁼⁻₁₆¹⁷ ^<⁰^{für alle}^p^>⁰ liegt bei einem Marktpreis von p_E =352,58 € ein Maximum des Gewinns vor.

(1 Pkt)

(12)

Lösung 6

vgl. SB 9, Kap. 1.4.1

insg. 13 Punkte

Bildung der partiellen Ableitungen:

y x

f_x = −30 +750−25 ; f_y = −50y+1325−25x (2 Pkte)

−30

xx =

f ; f_yy = −50 ; f_xy = f_yx = −25 (2 Pkte)

Prüfung der notwendigen Bedingungen für ein Extremum (vgl. Formelsammlung, 19.2):

0 25 750

30 + − =

−

= x y

f_x (I) (1 Pkt)

0 25 1325

50 + − =

−

= y x

f_y (II) (1 Pkt)

Aus (II) folgt durch Umformen 53

2 +

−

= y

x (III) (1 Pkt)

Einsetzen in (I) liefert

0 25 750 ) 53 2 (

30 − + + − =

− y y

24 0

840

35y− = ⇒ y= (2 Pkte)

Einsetzen in (III) liefert schließlich x=5. (1 Pkt)

Zu Prüfen bleibt die hinreichende Bedingung für lokale Extrema (vgl. Formelsammlung,19.2):

(

⁵^,²⁴

)

^⋅ yy

(

⁵^,²⁴

)

⁻ xy²

(

⁵^,²⁴

)

^>⁰

xx f f

f . (1 Pkt)

Diese liefert

(

⁻³⁰

) ( ) (

^⋅ ⁻⁵⁰ ⁻ ⁻²⁵

)

² ⁼ ⁸⁷⁵^>⁰^. (1 Pkt)

Da fxx

( )

⁵^,²⁴ ⁼ ⁻³⁰^<⁰, liegt bei

(

⁵^,²⁴

)

^einMaximum vor. (1 Pkt)

Lösung 7

vgl. SB 4, Kap. 2.5.1 und 3.5

insg. 15 Punkte

7.1

( )

) e 2 1 (

G t 5 t

B = + ⋅ −

Wertetabelle: (je Spalte 0,5 Pkte

max.

4 Pkte)

t 0 1 2 3 4 5 6

)

G(t

B 1,67 2,88 3,93 4,55 4,82 4,93 4,98

(13)

BW-WMT-P12–050611 Seite 8/8

Skizze: (4 Pkte)

7.2 Betrachtung des Nenners

t t

e 1 2 e 2

1+ ⁻ = +

Für 0t≥ ist e^t ≥1 und damit et

1+ 2 immer positiv. (1 Pkt)

Mit positivem Nenner ist damit auch

( )

⁰

) e 2 1 (

G 5 >

⋅

= + ₋_t

t

B für alle t≥0. (1 Pkt)

Die Funktion B_G(t) hat somit keine Nullstellen. (1 Pkt)

7.3 Bilden des Grenzüberganges t→∞ (Grenzwertsätze, Formelsammlung 16.3):

e ) lim 1 2 1 lim (

5 lim )

( lim _G

t t t

t

t B t

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→ + ⋅

= (2 Pkte)

) 5 0 2 1 ( ) 5 ( lim e 0

lim 1 _G =

⋅

= +

= ⇒

∞

→

∞

→ B t

t t

t (2 Pkte)

Die Funktion B_G(t) konvergiert für t→∞ gegen den Wert 5.

5/(1+2e-t)

0 5 10

0 1 2 3 4 5 6 7