BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistung Klausur-Knz.BW-WMT-P12–021221Datum21.12.2002

(1)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/02, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–021221 Studiengang

Betriebswirtschaft

Fach

Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur-Knz.

BW-WMT-P12–021221

Datum

21.12.2002

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten FFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: - 6 - Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: - 100 -

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/02, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft FFH · Fern-Fachhochschule Hamburg

Aufgabe 1 insg. 10 Punkte

Berechnen Sie aus der Gesamtkostenfunktion

( )

^x ⁼ ³^x⁵ ⁺^x

(

²^x⁺¹

)

³ ⁺ ^x⁺_x¹^-^e² ^×^ln

(

³^x⁺¹

)

K ^x

die Grenzkostenfunktion K¢(x).

Aufgabe 2 insg. 19 Punkte

Für ein bestimmtes Produkt sind die Gesamtkostenfunktion ^K

( )

^x und die Erlösfunktion ^E

( )

^x gegeben durch

( )

^x ^x ^x ^x

K 245 12

2

7 ₃ ₂

+ -

= und ^E

( )

^x ⁼ ₄¹^x⁴^-⁴¹₂ ^x³⁺¹¹⁵^x² ⁺¹²^x^.

Berechnen Sie

2.1 diejenige Stückzahl, bei der mimimale Stückkosten entstehen. 6 Pkte 2.2 die Warenmenge, bei der ein maximaler Gewinn erwirtschaftet wird. 13 Pkte

Aufgabe 3 insg. 16 Punkte

Mit Hilfe des GAUß-Algorithmus soll die Lösung des nachfolgenden linearen Gleichungssystems (LGS) be- stimmt werden:

0 3

2 ₂ ₃ ₄

1 + x - x +x =

x

4 2

2 -x =

x

3 5

3 3

2x₁ + x₂ - x₃ + x₄ = - 4 4 ₃

2

1 + + =

-x x x .

3.1 Wandeln Sie die Koeffizientenmatrix des LGS in eine obere Dreiecksmatrix um. 8 Pkte 3.2 Bestimmen Sie mittels der Dreiecksmatrix die Lösungsmenge des LGS. 8 Pkte

Aufgabe 4 insg. 14 Punkte

Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen ^f

( )

^x ⁼ ^x³^-^x^und^g

( )

^x ⁼ ^-^x³⁺^x²^begrenzt

wird.

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/02, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft FFH · Fern-Fachhochschule Hamburg

BW-WMT-P12 – 021221 Seite 2/2

Aufgabe 5 insg. 15 Punkte

Ein Fernsehgerätehersteller produziert zwei Produktvarianten. Die Preisabsatzfunktionen lauten jeweils x

p₁ = 1200-15 und p₂ = 1680-25y.

Die Kostenfunktion ist gegeben durch ^K

( )

^x^,^y ⁼ ²⁵^xy⁺⁴⁵⁰^x⁺³⁵⁵^y⁺²⁴⁵⁰^.

Bestimmen Sie aus der Gewinnfunktion ^G

( )

^x^,^y = ^p1×^x+ ^p2×^y-^K

( )

^x^,^y die Produktmengen x und y so, dass der Gewinn des Herstellers maximiert wird.

Aufgabe 6 insg. 26 Punkte

Zur Herstellung zweier Varianten von Polygonwellen-Verbindungen kommen je eine Fräs-, Dreh- und Rund- schleifmaschine zum Einsatz. Die Reihenfolge der eingesetzten Maschinen ist für die Herstellung unerheblich.

Die Herstellung von 1 Mengeneinheit (ME) der Variante V₁ erfordert auf der Fräsmaschine eine Bearbeitungs- zeit von 2 Stunden, auf der Drehmaschine 4 Stunden und auf der Rundschleifmaschine 1 Stunde. Für 1 ME der Variante V₂ lauten die Bearbeitungszeiten für das Fräsen 3 Stunden, das Drehen 2 Stunden und das Rund- schleifen 0 Stunden.

Die maximalen Jahreslaufzeiten der Maschinen betragen 2400 Stunden für die Fräsmaschine, 3000 Stunden für die Drehmaschine und 400 Stunden für die Rundschleifmaschine.

Der Stück-Deckungsbeitrag für die Variante V₁ beträgt 500 GE und für die VarianteV₂ 200 GE.

Ermitteln Sie für das lineare Optimierungsproblem (LO)

6.1 die Zielfunktion. 2 Pkte

6.2 die Restriktionsungleichungen. 6 Pkte

6.3 die Nichtnegativitätsbedingungen. 2 Pkte

6.4 das Ausgangstableau für den Simplexalgorithmus. 10 Pkte

Das folgende Tableau zeigt die optimale Lösung des Problems

67 , 306666 0

0 0

0

400 0

1 0 0 0 1

0 1

0 0

1 0

3 1100 3

200 1

3 1000 3

8 3

2 2

3 1600 3

2 3

2 1

3 2 1 2 1

Z x y x

q b

Z y y y x

x _i _i

- -

-

6.5 Interpretieren Sie dieses Tableau, indem Sie die Basisvariablen mit ihren Werten angeben und deren Bedeutung erläutern.

6 Pkte

(4)

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 21.12.2002

Betriebswirtschaft BW-WMT-P12 – 021221

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

· Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht ges- tattet.

· Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

· Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

· Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weite- ren Abzug.

· Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

· Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

· Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

· Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

08. Januar 2003

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen ein Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrenleiter anzuzeigen.

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/02, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft FFH · Fern-Fachhochschule Hamburg

BW-WMT-P12 – 021221 Seite 1/6

Lösung 1 vgl. SB 5, Kap. 3.1 – 3.5 insg. 10 Punkte

Unter Anwendung der Differentiationsregeln (vgl. Formelsammlung, 18.3) erhält man für die einzelnen Terme

( )

³ ⁵ ¹⁵ ⁴

d

d x x

x = (1 Pkt)

( )

(

² ¹

)

¹

⁽

² ¹

⁾

³

⁽

² ¹

⁾

²

⁽

² ¹

^{) (}

⁸ ¹

⁾

d

d ₃ ₃ ₂ ₂

+ +

=

× +

× + +

×

=

+ x x x x x

x

x x (3 Pkte)

( )

2 2

1 1

1 d

d

x x

x x x

x

x ÷ = × - + × = -

ø ç ö è

æ + (2 Pkte)

( )

(

^e ^ln³ ¹

)

²^e ^ln

⁽

³ ¹

⁾

^e ₃ ³ ₁

d

d ₂ ₂ ₂

× + + +

×

= +

× x x x

x

x x

x

( )

^÷

ø ç ö

è æ

+ + +

= 3 1

1 3 3 ln 2 e²

x x

x (3 Pkte)

Summation liefert die gesuchte Grenzkostenfunktion K¢(x)

( ) ( ) ( ) ( )

÷

ø ç ö

è æ

+ + + -

- + +

+

¢ =

1 3 1 3 3 ln 2 1 e

1 8 1 2

15 ²

2 2

4

x x x x

x x x

K ^x (1 Pkt)

Lösung 2 vgl. SB 4, Kap. 5 und SB 5, Kap. 4 insg. 19 Punkte

2.1 Minimierung der Stückkosten 6 Pkte

Division der Gesamtkostenfunktion K(x)durch x ergibt die Stückkostenfunktion ^k

( )

^x ^:

( ) ( )

x

x x x

x x x K

k

12 2 245

7 ₃ ₂

+

= -

= (2 Pkte)

( )

^x ⁼ ⁷₂^x² ^-²⁴⁵^x⁺¹²

k . (1 Pkt)

Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind ^k^¢

( )

^x ⁼⁰^und^k^¢¢

( )

^x ^> ⁰^.

Die Berechnung ergibt

( )

⁼ ⁷ ^-²⁴⁵ ⁼ ⁰

¢ x x

k Þ x=35 mögliche Extremstelle! (2 Pkte)

( )

⁼ ⁷^>⁰

¢¢ x

k Þ Minimumstelle bei x=35 (1 Pkt)

Bei 35 Stück sind die Stückkosten minimal.

2.2 Maximaler Gewinn 13 Pkte

Die Gewinnfunktion^G

( )

^x errechnet sich (vgl. Formelsammlung, 16.13) nach

( )

^x ^E

( ) ( )

^x ^K ^x

G = - . (2 Pkte)

(6)

Einsetzen von ^E

( )

^x ^und ^K

( )

^x ^liefert

( )

^÷

ø ç ö

è

æ - +

- + +

-

= x x x x x x x

x

G 245 12

2 12 7 2 115

41 4

1 ₄ ₃ ₂ ₃ ₂

(1 Pkt)

( )

^x ₄¹^x⁴ ²⁴^x³ ³⁶⁰^x²

G = - + . (1 Pkt)

Bedingungen für die Maxima dieser Funktion sind ^G^¢

( )

^x ⁼ ⁰ ^und ^G^¢¢

( )

^x ^< ⁰^.

Die Berechnung ergibt

( )

⁼ ³^-⁷² ²⁺⁷²⁰ ⁼ ⁰

¢x x x x

G Þ ^x

(

^x²^-⁷²^x⁺⁷²⁰

)

⁼ ⁰ ^{(2 Pkte)}

Mögliche Extremstellen sind damit x₁=0 und die Lösungen der quadratischen Gleichung 0

720

2-72x+ =

x . (1 Pkt)

Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert 12

24 36 720 36

36 ² ₂

3 ,

2 = ± - = ± Þ x =

x und x₃=60. (2 Pkte)

Da bei einer Stückzahl von 0 keine Produktion stattfindet, ist der Wert x₁=0 wirtschaftlich nicht von Interesse!

Bestimmung der Art der Extrema x₂ und x₃:

( )

⁼ ³ ²^-¹⁴⁴ ⁺⁷²⁰

¢¢x x x

G (1 Pkt)

( )

¹² ⁼ ³^×¹²²^-¹⁴⁴^×¹²⁺⁷²⁰ ⁼ ^-⁵⁷⁶ ^< ⁰

¢¢

G Maximalstelle (2 Pkte)

( )

⁶⁰ ⁼ ³^×⁶⁰² ^-¹⁴⁴^×⁶⁰⁺⁷²⁰ ⁼ ²⁸⁸⁰ ^> ⁰

¢¢

G Minimum (1 Pkt)

Der Maximalgewinn ist bei 12 Stück zu verzeichnen.

Lösung 3 vgl. SB 6, Kap. 3 insg. 16 Punkte

3.1 Obere Dreiecksmatrix 8 Pkte

Bildung der erweiterte Matrix

÷÷

÷ ø ö çç

çç ç è æ

-

- -

4 0 4 1 1

3 5 3 3 2

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

(2 Pkte)

Zur Beachtung:

Für die Umformung der Koeffizientenmatrix des LGS in eine obere Dreiecksmatrix sind un- terschiedliche Vorgehensweisen möglich. Die Punkte sind dann sinngemäß auf den gewählten Lösungsansatz zu verteilen.

(7)

BW-WMT-P12 – 021221 Seite 3/6

Ausführung folgender elementarer Zeilenoperationen:

Addiere die 1. Zeile zur 4. Zeile

Addiere das

( )

^-² -fache der 1. Zeile zur 3. Zeile (2 Pkte)

÷÷

÷ ø ö çç

çç ç è æ

- -

4 1 1 3 0

3 3 3 1 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

Addiere die 2. Zeile zur 3. Zeile

Addiere das

( )

^-³ -fache der 2. Zeile zur 4. Zeile (2 Pkte)

÷÷

÷ ø ö çç

çç ç è æ

- - - -

2 4 1 0 0

1 2 3 0 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

Addiere das

( )

^-³ -fache der 4. Zeile zur 3. Zeile

Vertausche die 3. und 4. Zeile (2 Pkte)

÷÷

÷ ø ö çç

çç ç è æ

- - - -

5 10 0 0 0

2 4 1 0 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

Die obere Dreiecksmatrix ist erreicht (unterhalb der Hauptdiagonale sind nur Nullen)!

b) Lösungsmenge des LGS 8 Pkte

„Rückwärtsrechnung“ ergibt die eindeutige Lösung des LGS:

5 10 ₄ =

- x Þ

2

4 = -1

x (2 Pkte)

2 2 2

4 ₄ ₃

3+ ×x = - Þ x - =-

x Þ x₃ = 0 (2 Pkte)

2 2

2 ₂ 1

4

2-x = Þ x + =

x Þ

2

2 = 3

x (2 Pkte)

2 0 3 1 0

3

2 ₂ ₃ ₄ ₁

1+ x - x +x = Þ x + - =

x Þ

2

1 = -5

x (2 Pkte)

Als Lösung erhalten wir somit

÷÷

÷

ø ö

çç çç ç

è æ

- -

=

12 2352

xr 0

(8)

Lösung 4 vgl. SB 7, Kap. 4 und Kap. 5.1.2 insg. 14 Punkte

Bestimmung der Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) durch Gleichsetzen

2 3

3 x x x

x - = - + (1 Pkt)

Û ^x

(

²^x² ^-^x^-¹

)

⁼ ⁰ ^Þ ^x¹ ⁼ ⁰ ^{(1 Pkt)}

Lösen der quadratischen Gleichung 0 2 1 2

2- x - =

x liefert

2 1 16

1 4

3 1

,

2 = ± +

x 4

3 4 1±

= Þ x₂ = -0,5 und x₃ = 1. (2 Pkte)

Berechnung der Fläche:

( ) ( )

[ ] ò [ ( ) ( ) ]

ò

^- ⁺ ^-

=

-

1 0 0

5 , 0

d

dx f x g x x

x g x f

A (2 Pkte)

( )

[ ] _ò [ ( ) ]

ò

^- ^- ^- ⁺ ⁺ ^- ^- ^- ⁺

=

-

1 0

2 3 0 3

5 , 0

2 3

3 x x x dx x x x x dx

x

A (2 Pkte)

[ ] _ò [ ]

ò

^- ^- ⁺ ^- ^-

=

-

1 0

2 0 3

5 , 0

2

3 d 2 d

2x x x x x x x x

A (1 Pkt)

1 0 2 3 0 4

5 , 0 2 3 4

2 1 3 1 2 1 2

1 3 1 2

1 úûù

êëé - -

úû + êë ù

é - -

=

-

x x x x

x x

A (1 Pkt)

(

⁰^,⁵

)

¹₃

(

⁰^,⁵

)

₂¹

(

⁰^,⁵

)

₂¹ ¹ ₃¹ ¹ ¹₂ ¹ ⁰

2

0 1 ⁴ ³ ² ÷-

ø ç ö

è

æ × - × - ×

÷ + ø ç ö

è

æ - - - - -

-

=

A (1 Pkt)

3 1 8

1 24

1 32

1 ÷ + -

ø ç ö

è

æ + -

-

=

A (1 Pkt)

96 32 96

12 4

3- + +

= -

A (1 Pkt)

96

= 37 A

385 ,

= 0

A (Flächeneinheiten) (1 Pkt)

(9)

BW-WMT-P12 – 021221 Seite 5/6

Lösung 5 vgl. SB 9, Kap. 2.4 insg. 15 Punkte

Maximaler Gewinn

Ermittlung der Gewinnfunktion:

( )

^x ^y ^p ^x ^p ^y ^K

( )

^x ^y

G , = ₁× + ₂× - ,

(

¹²⁰⁰^-¹⁵

) (

⁺ ¹⁶⁸⁰^-²⁵

) (

^- ²⁵ ⁺⁴⁵⁰ ⁺³⁵⁵ ⁺²⁴⁵⁰

)

= x x y y xy x y

2450 355

450 25

25 1680 15

1200 - ² + - ²- - - -

= x x y y xy x y (1 Pkt)

2450 1325

25 25 750

15 ² + - - ²+ -

-

= x x xy y y (1 Pkt)

Bildung der partiellen Ableitungen:

y x

G_x = -30 +750-25 ; G_y = -50y+1325-25x (2 Pkte)

-30

xx =

G ; G_yy = -50 ; G_xy = G_yx = -25 (2 Pkte)

Prüfung der notwendigen Bedingungen für ein Extremum (vgl. Formelsammlung, 19.2):

0 25 750

30 + - =

-

= x y

G_x (I) (1 Pkt)

0 25 1325

50 + - =

-

= y x

G_y (II) (1 Pkt)

Aus (II) folgt durch Umformen 53

2 + -

= y

x (III) (1 Pkt)

Einsetzen in (I) liefert

0 25 750 ) 53 2 (

30 - + + - =

- y y

24 0

840

35y- = Þ y=

(1 Pkt) (1 Pkt)

Einsetzen in (III) liefert schließlich x=5. (1 Pkt)

Zu Prüfen bleibt die hinreichende Bedingung für lokale Extrema (vgl. Formelsammlung,19.2):

( )

⁵^,²⁴ ^× yy

( )

⁵^,²⁴ ^- xy²

( )

⁵^,²⁴ ^> ⁰

xx G G

G . (1 Pkt)

Diese liefert

( ) (

^-³⁰ ^× ^-⁵⁰

) (

^- ^-²⁵

)

² ⁼ ⁸⁷⁵^>⁰^. ^{(1 Pkt)}

Da Gxx

(

⁵^,²⁴

)

⁼ ^-³⁰^<⁰, liegt bei

( )

⁵^,²⁴ das Gewinnmaximum. (1 Pkt)

(10)

Lösung 6 vgl. SB 10, Kap. 2.2 insg. 26 Punkte

x1, x₂ bezeichnen die produzierten Stückzahlen der Varianten V₁ bzw.V₂. Das mathematische Modell lautet:

6.1 Zielfunktion

! Max 200

500 ₁+ ₂ Þ

= x x

Z (2 Pkte)

6.2 Restriktionsungleichungen 6 Pkte

Fräsmaschine 2x₁+3x₂ £ 2400 (2 Pkte)

Drehmaschine 4x₁+2x₂ £ 3000 (2 Pkte)

Rundschleifmaschine x₁ £ 400 (2 Pkte)

6.3 Nichtnegativitätsbedingungen 0

;

0 ₂

1 ³ x ³

x (2 Pkte)

6.4 Ausgangstableau 10 Pkte

Nach dem Einführen von Schlupfvariablen erhält man folgendes Gleichungssystem

0 200

500

400 3000 2

4

2400 3

2

2 1

3 1

2 2

1

1 2

1

= +

- -

= +

+

= +

+

Z x

x

y x

x

y x

x

(je 1 Pkt, max.

4 Pkte) (mit y₁ ³ 0; y₂ ³ 0; y₃ ³ 0 )

Aus dem Gleichungssystem ergibt sich folgendes Ausgangstableau

0 1 0 0 0 200 500

400 0 1 0 0 0 1

3000 0 0 1 0 2 4

2400 0 0 0 1 3 2

3 2 1

3 2 1 2 1

- -

Z y y y

q b Z y y y x

x _i _i

(je Zeile 1 Pkt, max.

4 Pkte)

6.5 Basisvariablen: 6 Pkte

67 , 306666 3 ,

, 1000 3 , 1600

400 ₂ ₂

1= x = y = Z=

x

x1: Von der Variante I werden 400 Stück produziert. (1 Pkt)

x2: Von der Variante II werden =533,33 Þ 3

1600 533 Stück produziert (nur ganze

Bauteile). (2 Pkte)

y2: An der Drehmaschine bestehen freie Kapazitäten für 333,33 333 3

1000= » Minuten. (1 Pkt)

Z: Der Deckungsbeitrag beläuft sich auf laut Tableau auf 306 666,67 GE. Da jedoch ein 2 Pkte für

Struktur des Tableaus