Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WMT-P12–051203
Datum 03.12.2005
Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:
• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestan- den.
• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.
• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.
• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.
• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.
Hilfsmittel :
Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner
Anzahl Aufgaben: – 6 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –
Vorläufiges Bewertungsschema:
Punktzahl
von bis einschl. Note
95 100 1,0 sehr gut
90 94,5 1,3 sehr gut
85 89,5 1,7 gut
80 84,5 2,0 gut
75 79,5 2,3 gut
70 74,5 2,7 befriedigend
65 69,5 3,0 befriedigend
60 64,5 3,3 befriedigend
55 59,5 3,7 ausreichend
50 54,5 4,0 ausreichend
0 49,5 5,0 nicht ausreichend
Viel Erfolg!
Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
BW-WMT-P12–051203 Seite 1/2
Aufgabe 1 insg. 24 Punkte
Ein Unternehmen kennt für ein wichtiges Produkt
• die Preis-Absatzfunktion (Nachfragefunktion) x=x(p)=250−2,5p und
• die Gesamtkostenfunktion K(x)=0,4x2 −8x+1440 (p>0 Preis; x>0 abgesetzte Menge).
1.1 Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten k(x) entstehen. 8 Pkte 1.2 Bestimmen Sie die Gewinnschwellen und diejenige Stückzahl, bei der ein maximaler
Gewinn )G(x entsteht. 16 Pkte
Aufgabe 2 insg. 17 Punkte
Gegeben sei die Matrix
−
−
−
=
3 2 0
1 1 0
5 2 2
A .
2.1 Bestimmen Sie die inverse Matrix A−1 von A. 12 Pkte
2.2 Zeigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass Ihre Lösung aus Teilaufgabe 2.1 richtig ist. 5 Pkte
Aufgabe 3 insg. 13 Punkte
Mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens lässt sich näherungsweise eine Nullstelle der Gleichung x
x
f ex 2 ln
2 ) 1
( = − −
bestimmen.
Zeigen Sie, dass x0 =0,3 ein geeigneter Startwert für die Iterationen des NEWTON-Verfahrens ist.
Hinweis:
Als Startwert ist in der Regel ein x0 geeignet, für das 1 )
(
) ( ) (
0 2 0
0 <
′
⋅ ′′
x f
x f x
f gilt.
Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
Aufgabe 4 insg. 13 Punkte
Lösen Sie mit Hilfe des GAUßschen Algorithmus das folgende lineare Gleichungssystem:
4 4
4 8
2 2
2 4
12 4
4 4
3 2
1
3 2
1
3 2
1
−
= +
+
−
= +
+
−
=
− +
x x
x
x x
x
x x
x
.
Aufgabe 5 insg. 16 Punkte
Gegeben sind die Funktionen f
( )
x =x2 −6x+5 und g( )
x =2,5x−10 mit D( ) ( )
f =D g =R.Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den Schnittpunkten der Graphen beider Funktionen liegt.
Aufgabe 6 insg. 17 Punkte
Gegeben ist die Funktion von 3 unabhängigen Variablen
2 2
) 2
, ,
(x y z x y z
f = + + , mit D(f)=R.
Ermitteln Sie die Extremwerte der Funktion f(x,y,z) unter der Nebenbedingung
=1 + y
x .
Hinweis:
Wenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die LAGRANGE-Methode an.
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–051203
Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 03.12.2005
Betriebswirtschaft BW-WMT-P12 – 051203
Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:
• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.
• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.
• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.
• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.
• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.
• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.
• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:
Punktzahl Note
von bis einschl.
95 100 1,0 sehr gut
90 94,5 1,3 sehr gut
85 89,5 1,7 gut
80 84,5 2,0 gut
75 79,5 2,3 gut
70 74,5 2,7 befriedigend
65 69,5 3,0 befriedigend
60 64,5 3,3 befriedigend
55 59,5 3,7 ausreichend
50 54,5 4,0 ausreichend
0 49,5 5,0 nicht ausreichend
• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 21. Dezember 2005
in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040/35094- 311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
Lösung 1
vgl. SB 4, Kap. 4 und SB 5, Kap. 3.3insg. 24 Punkte
1.2 Stückkostenfunktion (Formelsammlung 16.13):
x x x K
k ( )
)
( = (1 Pkt)
x x x
x x x
k 1440
8 4 , 1440 0 8
4 , ) 0
( = 2 − + = − + (1 Pkt)
Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind k′(x)=0 und k′′(x)>0. (1 Pkt)
2
4 1440 , 0 )
(x x
k′ = − (1 Pkt)
3600 1440
4 , 1440 0
4 , 0
0 2 2
2 ⇒ = ⇒ =
−
= x x
x (1 Pkt)
60 3600= +
=
x Stck. (1 Pkt)
3
) 2880 (x x
k′′ = (1 Pkt)
> ⇒
′′(60) 0
k Minimum (1 Pkt)
1.2 Die Gewinnfunktion G(x) bestimmt sich (vgl. Formelsammlung 16.13) zu )
( ) ( )
(x E x K x
G = − , mit der Erlösfunktion E(x)=x⋅p(x). (2 Pkte) )
(x
p ist die Umkehrfunktion von x(p): p
x=250−2,5 x p=250− 5
, 2
x
p=100−0,4 (2 Pkte)
Damit ist
4 2
, 0 100 ) 4 , 0 100 ( )
(x x x x x
E = ⋅ − = − . (1 Pkt)
(
0,4 8 1440)
0,8 108 14404 , 0 100 ) ( ) ( )
(x =E x −K x = x− x2− x2 − x+ =− x2+ x−
G (1 Pkt)
Gewinnschwellen sind die (positiven) Nullstellen von G(x), vgl. Formelsammlung 16.13: (1 Pkt)
0 1800 135
0 1440 108
8 , 0
2 2
= +
−
=
− +
−
x x
x x
4 7200 4
18225 2
1800 135 4
135 2
135 2
2 ,
1 = ± − = ± −
x (2 Pkte)
2 105 2 135 4
11025 2
2 135
,
1 = ± = ±
x (1 Pkt)
1=120
x Stck. ; x2=15 Stck. (2 Pkte)
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
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Gewinnmaximum:
Bedingungen für die Maxima von G(x) sind G′(x)=0 und G′′(x)<0. (1 Pkt) 1440
108 8
, 0 )
(x =− x2+ x− G
108 6 , 1 )
( =− +
′ x x
G (1 Pkt)
68 5 , 67 108
6 , 1 108
6 , 1
0=− x+ ⇒ x= ⇒ x= ≈ Stck. (1 Pkt)
< ⇒
−
′′(x)= 1,6 0
G Maximum (1 Pkt)
Lösung 2
vgl. SB 6, Kap. 2.4insg. 17 Punkte
2.1
Bilden der erweiterten Matrix
( )
−
−
−
=
1 0 0 3 2 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 5 2 2 ,E
A . (1 Pkt)
Mittels elementarer Zeilenoperationen ist die linke „Hälfte“ von (A, E) in eine Einheitsmatrix zu überführen:
2II III
2II I 1 0 0
0 1 0
0 0 1 3 2 0
1 1 0
5 2 2
−
−
−
−
−
(4 Pkte)
III II
3III I 1 2 0
0 1 0
0 2 1 1 0 0
1 1 0
3 0 2
−
−
−
−
−
−
−
(4 Pkte)
) 1 ( :
2 : 1 2 0
1 3 0
3 4 1 1 0 0
0 1 0
0 0 2
−
−
−
−
−
(2 Pkte)
−
−
− 1 2 0
1 3 0
5 , 1 2 5 , 0 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Hinweis:
Bei der Überführung sind auch andere Schritte denkbar, Die Punkte sind dann sinngemäß zu verteilen.
Die inverse Matrix ist damit
−
−
−
− =
1 2 0
1 3 0
5 , 1 2 5 , 0
A 1 . (1 Pkt)
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
2.2 Überprüfung durch Matrixmultiplikation, ob A⋅A−1=E oder A−1⋅A=E gilt.
Anwendung des Schema von FALK:
1 0 0 3 2 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 5 2 2
1 2 0
1 3 0
5 , 1 2 5 , 0
−
−
−
−
−
−
(5 Pkte)
Hinweis:
Die Punkte sind auch zu vergeben, wenn die Inverse fehlerhaft berechnet, aber das Matrix- produkt korrekt berechnet wurde.
Lösung 3
vgl. SB 5, Kap. 3.7insg. 13 Punkte
Überprüfung, ob Startbedingung für das NEWTON-Verfahren (vgl. Formelsammlung 19.1) gilt:
) 1 (
) ( ) (
0 2 0
0 <
′
⋅ ′′
x f
x f x
f .
Bestimmung der Ableitungen:
x x
f ex 2 ln
2 ) 1
( = − −
x x
f x 1
2e ) 1 (
' = − (2 Pkte)
2
e 1 2 ) 1
(x x
f ′′ = x + (2 Pkte)
Einsetzen von x0=0,3:
1211 , 0 3 , 0 ln 2 2e
) 1 3 , 0
( = 0,3− − =−
f (2 Pkte)
6584 , 3 2 , 0 e 1 2 ) 1 3 , 0
( = 0,3 − =−
′
f (2 Pkte)
7860 , 3 11 , 0 e 1 2 ) 1 3 , 0
( 2
3 ,
0 + =
′′ =
f (2 Pkte)
1 2020 , 0671 0 , 7
4273 , 1 )
6584 , 2 (
7860 , 11 1211 , 0
2 = ≈ <
−
⋅
− (2 Pkte)
Damit ist x0 =0,3 ein geeigneter Startwert. (1 Pkt)
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
BW-WMT-P12–051203 Seite 4/7
Lösung 4
vgl. SB 6, Kap. 2insg. 13 Punkte
Alternative 1:
Bilden der erweiterten Matrix ( ,bv)
A und Anwendung des GAUßschen Algorithmus liefert:
4 : 4 4 4 8
2 2 2 4
12 4 4 4
−
−
−
−
(1 Pkt)
8I III
4I II 4 4 4 8
2 2 2 4
3 1 1 1
−
−
−
−
−
−
(4 Pkte)
(-2) : 20 12 4 0
10 6 2 0
3 1 1 1
−
−
−
−
(1 Pkt)
4II III 20 12 4 0
5 3 1 0
3 1 1 1
+
−
−
−
−
−
(2 Pkte)
−
−
−
− 0 0 0 0
5 3 1 0
3 1 1 1
Hinweis:
Es können auch andere Zeilenoperationen zu diesem Ergebnis führen. Die Punkte sind dann entspre- chen zu vergeben.
Die letzte Zeile entspricht der Gleichung 0x1+0x2 +0x3 =0, sie ist nicht relevant und kann weg- gelassen werden. Es entsteht ein LGS mit 3 Unbekannten in 2 Gleichungen, d. h. eine Variable ist frei wählbar und das LGS hat unendlich viele Lösungen.
(2 Pkte) Wählen:
t
x3= , t∈R. (1 Pkt)
Aus der zweiten Zeile folgt:
5 3 5
3 2
2 − t=− ⇒ x = t−
x . (1 Pkt)
Aus der ersten Gleichung folgt
2 2 3
) 5 3
( 1
1+ t− −t=− ⇒ x =− t+
x . (1 Pkt)
Als allgemeine Lösung erhalten wir somit
∈R
− +
−
= t
t t
t
x 3 5 ,
2
v 2 .
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
Alternative 2:
Die 3. Gleichung ist das 2-fache der 2. Gleichung, damit ist sie nicht relevant und kann bereits vorab weggelassen werden. Das Gleichungssystem hat damit 2 Gleichungen in 3 Unbekannten, es ist un- terbestimmt. Eine Variablen kann frei gewählt werden und das LGS hat unendlich viele Lösungen.
(6 Pkte)
Bilden der erweiterten Matrix ( ,bv)
A und Anwendung des GAUßschen Algorithmus liefert:
4 : 2 2 2 4
12 4 4
4
−
−
− (1 Pkt)
4I II 2 2 2 4
3 1 1 1
−
−
−
− (2 Pkte)
) 2 ( : 10 6 2 0
3 1 1 1
−
−
−
− (1 Pkt)
−
−
−
−
− 5 3 1 0
3 1 1 1
Hinweis:
Es können auch andere Zeilenoperationen zu diesem Ergebnis führen. Die Punkte sind dann entspre- chen zu vergeben.
Wählen:
t
x3= , t∈R. (1 Pkt)
Aus der zweiten Zeile folgt:
5 3 5
3 2
2 − t=− ⇒ x = t−
x . (1 Pkt)
Aus der ersten Gleichung folgt
2 2 3
) 5 3
( 1
1+ t− −t=− ⇒ x =− t+
x . (1 Pkt)
Als allgemeine Lösung erhalten wir somit
∈R
− +
−
= t
t t
t
x 3 5 ,
2
v 2 .
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
BW-WMT-P12–051203 Seite 6/7
Lösung 5
vgl. SB 7, Kap. 4.1.2insg. 16 Punkte
Schnittpunkte der Funktionen durch Gleichsetzen:
10 5 , 2 5
2−6x+ = x−
x (1 Pkt)
0 2 15
2 −17x+ = x
4 7 4 17 16 240 4
17 4
17 2
2 /
1 − = ±
±
=
x (2 Pkte)
Schnittpunkte der Funktionen sind x1 =2,5 und x2 =6. (2 Pkte) Flächeninhalt (Formelsammlung 20.5):
( ) ( )
[ ]
∫
−=
6 5 , 2
dx x g x f
A (1 Pkt)
( )
[ ]
∫
− + − −=
6 5 , 2
2 6x 5 2,5x 10 dx x
A
∫
− + =
6 5 , 2
2 15 d
2
17x x
x
A (2 Pkte)
6 5 , 2 2
3 15
4 17 3
1
− +
= x x x
A (3 Pkte)
− ⋅ + ⋅
−
⋅ +
⋅
−
= 2,5 15 2,5
4 17 3 5 , 6 2 15 4 6
17 3
63 2 3 2
A (2 Pkte)
146 , 16 9−
=
A (2 Pkte)
146 ,
= 7
A (1 Pkt)
Der Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen beträgt 7,146 FE.
Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule
Lösung 6
vgl. SB 9, Kap. 1.4.2.2insg. 17 Punkte
Die Extremwerte der Funktion f(x,y,z) unter der gegebenen Nebenbedingung können unter Ver- wendung der LAGRANGE-Methode (Formelsammlung 16.9) ermittelt werden.
Mit der Funktion f(x,y,z)=x2+ y2 +z2 und der Nebenbedingung 0
1 )
, ,
(x y z =x+ y− =
g (2 Pkte)
lautet die LAGRANGE-Funktion
) , , ( ) , , ( ) , , ,
(x y z f x y z g x y z
L λ = +λ
) 1 (
) , , ,
(x y z =x2 +y2 +z2 + x+y−
L λ λ . (2 Pkte)
Zur Bestimmung der Extremwerte werden die partiellen Ableitungen gebildet und Null gesetzt:
0 2
) , , ,
(x y z λ = x+λ=
Lx (I) (2 Pkte)
0 2
) , , ,
(x y z λ = y+λ=
Ly (II) (2 Pkte)
0 2 ) , , ,
(x y z = z=
Lz λ (III) (1 Pkt)
0 ) 1 (
) , , ,
(x y z = x+ y− =
Lλ λ (IV) (1 Pkt)
Aus (I) folgt:
2
−λ
=
x (V) (1 Pkt)
Aus (II) folgt:
2
−λ
=
y (VI) (1 Pkt)
Aus (III) folgt: z=0 (1 Pkt)
Einsetzen von (V) und (VI) in (IV) ergibt
1 0
1 2 1
1=−2 − − =− − = ⇒ =−
−
+ y λ λ λ λ
x (2 Pkte)
Mit 1λ=− folgt 5 , 2 0
) 1 (− =
−
=
x und 0,5
2 ) 1 (− =
−
=
y (2 Pkte)
Damit ergibt sich ein Extremwert bei )
0
; 5 , 0
; 5 , 0 ( ) , , (x y z =
P .
